16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用.docx

1、16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用精品文档1. 均匀分布 12. 正态分布（高斯分布） 23. 指数分布 24. Beta 分布（ 分布） .25. Gamma分布 36. 倒 Gamma分布 47.威布尔分布 (Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布 ).58.Pareto 分布 .69.Cauchy分布（柯西分布、柯西 - 洛伦兹分布） .710.2.7分布（卡方分布）11.t 分布 .812.F 分布 .913.二项分布 .1014.泊松分布（ Poisson 分布） .1015.对数正态分布 .111.均匀分布均匀分布 X U (a,b) 是无信息的，可作为无信息变量的先验分

2、布。f (x)1b a.精品文档a bE(X)2(b a)2Var ( X )122.正态分布（高斯分布）当影响一个变量的因素众多， 且影响微弱、 都不占据主导地位时， 这个变量很可能服从正态分布，记作X N ( ,2 ) 。正态分布为方差已知的正态分布N( , 2) 的参数的共轭先验分布。1( x )2e 22f ( x)2E(X)2Var ( X )3.指数分布指数分布 X Exp( ) 是指要等到一个随机事件发生， 需要经历多久时间。 其中0 为尺度参数。指数分布的无记忆性：P X s t | X s P X t 。f ( x)e x , x 0E(X )1Var( X )124. Be

3、ta 分布（ 分布）.精品文档Beta 分布记为 X Be(a, b) ，其中 Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数可凸也可凹。如果二项分布B( n, p) 中的参数 p 的先验分布取 Beta (a,b) ，实验数据（事件 A 发生 y 次，非事件 A 发生 n-y 次），则 p 的后验分布 Beta( ay, b n y) ，即 Beta 分布为二项分布 B(n, p) 的参数 p 的共轭先验分布。( x)0 t x 1e t dtf ( x)(ab)xa1 (1x)b 1(a)(b)E(X )aabVar ( X )abb) 2 ( a b1)( a5. Gamma分布Gamm

4、a 分布即为多个独立且相同分布的指数分布变量的和的分布，解决的问题是“要等到 n 个随机事件都发生，需要经历多久时间” ，记为 X Ga (a,b) 。其中 a 0 为形状参数， b 0 为尺度参数。 Gamma 分布为指数分布 Exp( ) 的参数 、Poisson分布 P( ) 的参数 的共轭先验分布。af ( x) b xa 1e bx , x 0( a)E(X)abVar ( X )ab2.精品文档6. 倒 Gamma分布倒 Gamma 分 布 记 为 X IGa (a, b)。 若 随 机 变 量 X Ga(a, b) ， 则1 IGa (a, b) 。其中 a0 为形状参数， b0

5、 为尺度参数。倒Gamma 分布为指X数分布 Exp( ) 的参数 1、均值已知的正态分布 N (,2) 的参数2 的共轭先验分布。f (x)bax ( a 1)e bx , x0(a)E(X )ba1Var ( X )b2,a2(a1)2 ( a2).精品文档7.威布尔分布 (Weibull 分布、韦伯分布、韦布尔分布 )威布尔分布记为 X W (m,) 。其中 m0 为形状参数，0 为尺度参数。当 m1，它是指数分布； m 2时，是 Rayleighdistribution （瑞利分布）。常用于拟合风速分布，并用最小二乘法、平均风速估计法或极大似然法求解其参数。m 1x mm xe, x

6、0f (x)E(X )11m22Var ( X )2111mm.精品文档8. Pareto 分布Pareto 分布记为 X Pa(a, b) 。其中 b0 为门限参数， a0 为尺度参数。Pareto分布是一种厚尾分布。 Pareto 分布为均匀分布 U (0,) 的参数的共轭先验分布。aa1b, xbf ( x)xbE(X)ab, a1a 1.精品文档ab2Var ( X ) (a 1)2 (a 2) , a 29.Cauchy分布（柯西分布、柯西 - 洛伦兹分布）Cauchy 分布记为 X Ca(a,b) 。其中 a 为位置参数， b0 为尺度参数。中位数 Mode( X ) a ，期望、

7、方差都不存在。如果X1, X 2, X n 是分别符合柯西分布的相互独立同分布随机变量， 那么算术平均数X1, X2, X n/ n 服从同样的柯西分布。标准柯西分布 Ca(0,1) 是 t 分布的一个自由度。 这种分布更适合拟合那种比较扁、宽的曲线。1bf ( x)2(xa)2b10.2 分布（卡方分布）n设 X1 , X 2 , , X n 是来自 N (0,1) 的样本，则称统计量2X i2 服从自由度为i 1n 的2 分布，记为2 2 ( n) 。1n 1 xf ( x)nx 2 e 2 , x 0n2 22E( X ) nVar ( X )2n.精品文档11. t 分布设 X N (

8、0,1) ， Y 2 (n) ，且 X ， Y 相互独立，则称随机变量 t X 服从Yn自由度为 n 的 t 分布。记为 t t(n) 。当自由度 n 时， t 分布将趋于 N (0,1) 。有时样本量很小， 不知道总体的标准偏差， 则可以依赖 t 统计量（也称为 t 分数）的分布，其值由下式给出： Xs t (n1)，其中 X 是样本均值， 是总体均值，ns 是样本的标准偏差， n 是样本大小。n1x2n 122f ( x)n1nn2E(X)0Var ( X )nn, n 22.精品文档12.F 分布U设 U 2 (n1 ) ， V 2 ( n2 ) ，且 U，V 相互独立，则称随机变量 F

9、n1 服从Vn2自由度为 (n1, n2 ) 的 F 分布，记为 F F ( n1 , n2 ) 。设 X1, X2 , X n1 与 Y1 ,Y2 , ,Yn2 分别是来自正态总体 N ( 1 ,12)和 N(2 , 22 ) 的样本，且这两个样本相互独立。 设 X ，Y 分别是这两个样本的样本均值；s12 ， s22 分别是这两个样本的样本方差，则有s12s22 F (n11,n2 1) ；当222时，(X Y) (12 )2) ，其中21211 t (n1 n212swn22n1sw2(n1 1)s12(n2 1)s22。n1n2 2n1 n2n1n12n1x 212n2f ( x),

10、x0nn12n1n21n1x222n2E(X)n1, n12n12Var (X )2n12 (n1n22) , n14n2 ( n1 2)2 (n14).精品文档13.二项分布二项分布十分好理解，给你 n 次机会抛硬币，硬币正面向上的概率为 p，问在这 n 次机会中有 k 次（ kn）硬币朝上的概率为多少。记为 X B(n, p) 。当 n足够大，且p 不接近于 0也不接近于 1 时，二项分布 B(n, p) 可用正态分布N (np, np(1p) 来近似。P(Xk)n!pk (1p)n k , p 0,1( n k)! k !E(X)npVar ( X )np(1p)14.泊松分布（ Poi

11、sson 分布）泊松分布解决的是“在特定一段时间里发生 n 个事件的概率” ，记为.精品文档X P( ) 。当二项分布满足 np 时，二项分布近似为泊松分布。 泊松分布 P( )n当足够大时，变成正态分布 N ( ,) 。P( Xk )ke,0k !E(X)Var ( X )15. 对数正态分布对数正态分布是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如果Y 是正态分布的随机变量，则 exp(Y)是对数正态分布；同样，如果X 是对数正态分布，则 ln(X) 为正态分布，如果一个变量可以看成是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可以看作是对数正态分布，如拟合风速分布模型，记为XLN( , 2)。1(ln x) 2e22, x 0f ( x)22E(X)e2Var ( X )( e221)e216.瑞利分布当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分布时，这个向量的模呈瑞利分布。x2f ( x)x2 e 2 2, x 0.精品文档E(X)Var ( X )24 22.精品文档.