16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用.docx
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16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用
1、均匀分布1
2、正态分布（高斯分布）2
3、指数分布2
4、Beta分布（分布）2
5、Gamm分布3
6、倒Gamm分布.4.
7、威布尔分布（Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布）5
8、Pareto分布6
9、Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布）7...
2
10、分布（卡方分布）.7.
11、t分布8
12、F分布9
13、二项分布10
14、泊松分布（Poisson分布）10..…
15、对数正态分布11
1.均匀分布
均匀分布X~U（a,b）就是无信息的，可作为无信息变量的先验分布
f（x）
E（X）
Var（X）世a）-
12
2.正态分布（高斯分布）
当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量很可能服从正态分布，记作X~N（,2）。
正态分布为方差已知的正态分布N（,2）的参数的共轭先验分布。
（x）2
f（x）
e22
E（X）
Var（X）
3.指数分布
指数分布X〜Exp（）就是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间其中0为尺度参数。
指数分布的无记忆性：
PXst|XsP{Xt}o
f（x）ex,x0
1
E（X）-
Var（X）
4.Beta分布（分布）
iCLJ.J-I
11
Beta分布记为X〜Be（a,b）,其中Beta（1,1）等于均匀分布，其概率密度函数可凸也可凹。
如果二项分布B（n,p）中的参数p的先验分布取Beta（a,b）,实验数据（事件A发生y次,非事件A发生n-y次）,则p的后验分布Beta（ay,bny）,即Beta分布为二项分布B（n,p）的参数p的共轭先验分布。
（x）0tx1etdt
f（x）
亘旦xa1（1x）b1
（a）（b）
E（X）
Var（X）
ab
（ab）2（ab1）
5.Gamm分布
Gamma分布即为多个独立且相同分布的指数分布变量的与的分布，解决的问
题就是“要等到n个随机事件都发生，需要经历多久时间”，记为X~Ga（a,b）。
其中a0为形状参数,b0为尺度参数。
Gamma分布为指数分布Exp（）的参数、Poisson分布P（）的参数的共轭先验分布。
ba
f（x）—xa1ebx,x0
（a）
E（X）|
b
a
Var（X）
la«Mi7□瑚nbunMih
3
b2
6■倒Gamm分布
倒Gamma分布记为X~IGa（a,b）。
若随机变量X~Ga（a,b）,则丄~IGa（a,b）。
其中a0为形状参数,b0为尺度参数。
倒Gamma分布为指数X
分布Exp（）的参数丄、均值已知的正态分布N（,2）的参数2的共轭先验分
布。
ba
f（x）甘
（a1）bx
e,x0
E（X）
Var（X）
（a1）2（a2）,a2
7.威布尔分布（Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布）
f（x）m-
m
X
X
威布尔分布记为X~W（m,）。
其中m0为形状参数，0为尺度参数。
当m1,它就是指数分布；m2时，就是Rayleighdistributen（瑞利分布）。
常用于拟合风速分布，并用最小二乘法、平均风速估计法或极大似然法求解其参数。
E（X）
2
Var（X）1
/（x;A,k）=
U"）
4
DO
1.3
A=05,f
1
a
b
a
x
ab
xb
布。
f（x）b
8.Pareto分布
Pareto分布记为X~Pa（a,b）。
其中b0为门限参数,a0为尺度参数。
Pareto
分布就是一种厚尾分布。
Pareto分布为均匀分布U（0,）的参数的共轭先验分
Weibulld.s^uiian
E（X）
柑価呦raupC）
^i.k=i
Al■
Lk
■0.5
k■
1Tk
■1
—A■
1*k
-1,5
M=
1A
=5
Var（X）
ab
2
（a1）（a2）
9.Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布）
Cauchy分布记为X~Ca（a,b）。
其中a为位置参数,b0为尺度参数。
中位数Mode（X）a,期望、方差都不存在。
如果X^Xz’I^Xn就是分别符合柯西分布的相互独立同分布随机变量，那么算术平均数X,,X2,,Xn/n服从同样的柯西分布。
标准柯西分布Ca（0,1）就是t分布的一个自由度。
这种分布更适合拟合那种比较扁、宽的曲线。
f（x）
1b
b2（xa）2
（1.7
.5.OOAo.12.」
-■=XY7TToooF*
10.2分布（卡方分布）
n
设X1,X2,|||,Xn就是来自N（0,1）的样本，则称统计量2Xi2服从自由度
i1
n彳x
1-
22
x2e2,x
为n的2分布，记为2~2（n）。
f（x）
1
n
22n
E（X）n
Var（X）2n
11.t分布
2X
设X~N（0,1）,Y~（n）,且X,Y相互独立,则称随机变量t服从自由度
为n的t分布。
记为t~t（n）。
当自由度n时,t分布将趋于N（0,1）。
有时样本量很小，不知道总体的标准偏差，则可以依赖t统计量（也称为t分数）的分布，其值
由下式给出：
仝~t（n1）,其中X就是样本均值，卩就是总体均值,s就是样本的
s
n
标准偏差,n就是样本大小。
n1
~2
f（x）
E（X）0
Var（X）,n2
n2
12.F分布
设U~2（nJ,V〜2（n2）,且U,V相互独立,则称随机变量F
为（ni,n2）的F分布，记为F〜Fg^）。
设X!
X2^|,X^与冷丫2,|||自正态总体N（!
2）与N（2,I）的样本,且这两个样本相互独立。
就是这两个样本的样本均值
；s2,s；分别就是这两个样本的样本方差
2
S2T~F（n!
叽
1
~2
2
2时,（X丫）厶
-11
Sw]——
\n1n2
2）〜tg
U
V服从自由度
Yn2分别就是来设X,Y分别
，则有
122）,其中
22
（m1）sg1）S2
qn22
n1n2
n1
ni
f（x）
n2
X
n,%
匹1“x
2n2
2
Var（X）带帯討4
13.二项分布
二项分布十分好理解，给您n次机会抛硬币，硬币正面向上的概率为p,问在这n次机会中有k次（k奇1）硬币朝上的概率为多少。
记为X~B（n,p）。
当n足够大,
且p不接近于0也不接近于1时，二项分布B（n,p）可用正态分布N（np,np（1p））来
近似。
p（xk）二pkdp）nk，p[0,1]
E（X）np
Var（X）np（1p）
ai^Tflbdtibn,rfSlOQrp=9
14.泊松分布（Poisson分布）
泊松分布解决的就是“在特定一段时间里发生n个事件的概率”，记为
x~P（）。
当二项分布满足np时,二项分布近似为泊松分布。
泊松分布P（）
当足够大时,变成正态分布N（,）
k
e
P（Xk）
k!
E（X）
Var（X）
15.对数正态分布
对数正态分布就是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。
如果丫就
是正态分布的随机变量，则exp（Y）就是对数正态分布；同样，如果X就是对数正态分布，则ln（X）为正态分布，如果一个变量可以瞧成就是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可以瞧作就是对数正态分布,如拟合风速分布模型,记为
X~LN（,2）。
（lnx）2
f（x）
~r-2~
E（X）
Var（X）（J1）e2
16.瑞利分布
当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分布时这个向量的模呈瑞利分布。
f（x）
Var（X）
4
2
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KrNo.-HvrMpetcr«Miic*.r>）
Ilrrvicmllhp）
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