课标A版高考数学一轮复习83 空间点直线平面之间的位置关系附答案.docx

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课标A版高考数学一轮复习83空间点直线平面之间的位置关系附答案

§8.3　空间点、直线、平面之间的位置关系

考纲解读

考点

内容解读

要求

高考示例

常考题型

预测热度

1.点、线、面

的位置关系

理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.

·公理1:

如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内.

·公理2:

过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.

·公理3:

如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

·公理4:

平行于同一条直线的两条直线互相平行.

·定理:

空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补

理解

2016浙江,2;

2015广东,8;

2014广东,7;

2013课标全国Ⅱ,4;

2013江西,8

选择题

★★☆

2.异面直线

所成的角

掌握

2017课标全国Ⅱ,10;

2017课标全国Ⅲ,16;

2016课标全国Ⅰ,11;

2015四川,14;

2015广东,18

选择题

填空题

★★★

分析解读　1.会用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面问题;会用反证法证明有关异面或共面问题.2.会判定和证明两条直线异面;会应用三线平行公理和等角定理及推论解决有关问题,会求两条异面直线所成的角;了解两条异面直线间的距离.3.高考对本节内容的考查常以棱柱、棱锥为依托,求异面直线所成的角,分值约为5分,属中档题.

五年高考

考点一　点、线、面的位置关系

1.（2016浙江,2,5分）已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则（　　）

A.m∥lB.m∥n

C.n⊥lD.m⊥n

答案　C

2.（2015广东,8,5分）若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值（　　）

A.至多等于3B.至多等于4

C.等于5D.大于5

答案　B

3.（2015福建,7,5分）若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的（　　）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案　B

4.（2013江西,8,5分）如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n=（　　）

A.8B.9C.10D.11

答案　A

教师用书专用（5—8）

5.（2014广东,7,5分）若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是（　　）

A.l1⊥l4B.l1∥l4

C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定

答案　D

6.（2013课标全国Ⅱ,4,5分）已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则（　　）

A.α∥β且l∥α

B.α⊥β且l⊥β

C.α与β相交,且交线垂直于l

D.α与β相交,且交线平行于l

答案　D

7.（2013安徽,3,5分）在下列命题中,不是公理的是（　　）

A.平行于同一个平面的两个平面相互平行

B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面

C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内

D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

答案　A

8.（2013浙江,10,5分）在空间中,过点A作平面π的垂线,垂足为B,记B=fπ（A）.设α,β是两个不同的平面,对空间任意一点P,Q1=fβ[fα（P）],Q2=fα[fβ（P）],恒有PQ1=PQ2,则（　　）

A.平面α与平面β垂直

B.平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°

C.平面α与平面β平行

D.平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°

答案　A

考点二　异面直线所成的角

1.（2017课标全国Ⅱ,10,5分）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（　　）

A.B.C.D.

答案　C

2.（2016课标全国Ⅰ,11,5分）平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为（　　）

A.B.C.D.

答案　A

3.（2017课标全国Ⅲ,16,5分）a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:

①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;

②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;

③直线AB与a所成角的最小值为45°;

④直线AB与a所成角的最大值为60°.

其中正确的是　　　　.（填写所有正确结论的编号） 

答案　②③

4.（2015四川,14,5分）如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cosθ的最大值为　　　　. 

答案　

教师用书专用（5）

5.（2015广东,18,14分）如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.

（1）证明:

PE⊥FG;

（2）求二面角P-AD-C的正切值;

（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值.

解析　

（1）证明:

因为PD=PC,点E为DC中点,

所以PE⊥DC.

又因为平面PDC⊥平面ABCD,交线为DC,

所以PE⊥平面ABCD.

又FG⊂平面ABCD,所以PE⊥FG.

（2）由

（1）可知,PE⊥AD.

因为四边形ABCD为长方形,所以AD⊥DC.

又因为PE∩DC=E,

所以AD⊥平面PDC.

而PD⊂平面PDC,所以AD⊥PD.

由二面角的平面角的定义,可知∠PDC为二面角P-AD-C的一个平面角.

在Rt△PDE中,PE==,

所以tan∠PDC==.

从而二面角P-AD-C的正切值为.

（3）连接AC.因为==,

所以FG∥AC.

易求得AC=3,PA==5.

所以直线PA与直线FG所成角等于直线PA与直线AC所成角,即∠PAC,

在△PAC中,cos∠PAC==.

所以直线PA与直线FG所成角的余弦值为.

三年模拟

A组　2016—2018年模拟·基础题组

考点一　点、线、面的位置关系

1.（2018四川泸州模拟,6）设a,b是空间中不同的直线,α,β是不同的平面,则下列说法正确的是（　　）

A.a∥b,b⊂α,则a∥α

B.a⊂α,b⊂β,α∥β,则a∥b

C.a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β,则α∥β

D.α∥β,a⊂α,则a∥β

答案　D

2.（2018四川泸州模拟,4）在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为（　　）

A.4B.5C.6D.7

答案　C

3.（2017河北邢台二模,5）设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.给出下列四个命题:

①若m∥n,m⊥β,则n⊥β;②若m∥n,m∥β,则n∥β;

③若m∥α,m∥β,则α∥β;④若n⊥α,n⊥β,则α⊥β.

其中真命题的个数为（　　）

A.1B.2C.3D.4

答案　A

4.（2017河北邯郸调研,5）如图,在三棱锥S-ABC中,G1,G2分别是△SAB和△SAC的重心,则直线G1G2与BC的位置关系是（　　）

A.相交B.平行

C.异面D.以上都有可能

答案　B

考点二　异面直线所成的角

5.（2018广东东莞模拟,6）在正四棱锥P-ABCD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成角为60°,E为PC的中点,则异面直线PA与BE所成角为（　　）

A.90°B.60°C.45°D.30°

答案　C

6.（2017广东汕头模拟,8）已知四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等,点E是PB的中点,则异面直线AE与PD所成角的余弦值为（　　）

A.B.C.D.

答案　C

7.（2016黑龙江哈尔滨四模,7）如图,四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB和△PAD都是等边三角形,则异面直线CD与PB所成角的大小为（　　）

A.90°B.75°C.60°D.45°

答案　A

B组　2016—2018年模拟·提升题组

（满分:

30分　时间:

30分钟）

一、选择题（每小题5分,共10分）

1.（2017广东惠州三调,11）如图是一个几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F分别为PA,PD的中点,在此几何体中,给出下面4个结论:

①直线BE与直线CF异面;②直线BE与直线AF异面;

③直线EF∥平面PBC;④平面BCE⊥平面PAD.

其中正确的有（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案　B

2.（2016湖南长沙模拟,8）如图,三棱锥A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别是AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值为（　　）

A.B.C.D.

答案　A

二、填空题（共5分）

3.（2018安徽皖南八校联考,15）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1,点M在线段BC上（点M异于点B,C）,点N为线段CC1的中点,若平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为四边形,则线段BM长的取值范围为　　　　. 

答案　

三、解答题（共15分）

4.（2018上海普陀一模,18）如图所示的圆锥的体积为π,底面直径AB=2,点C是的中点,点D是母线PA的中点.

（1）求该圆锥的侧面积;

（2）求异面直线PB与CD所成角的大小.

解析　

（1）∵圆锥的体积为π,底面直径AB=2,

∴π×12×PO=π,解得PO=,

∴PA==2,

∴该圆锥的侧面积S=πrl=π×1×2=2π.

（2）连接OC.∵圆锥中,

点C是的中点,O为底面圆心,

∴PO⊥平面ABC,OC⊥AB,

∴以O为原点,OC所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,OP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则A（0,-1,0）,P（0,0,）,D,B（0,1,0）,C（1,0,0）,=（0,1,-）,=,

设异面直线PB与CD所成角为θ,

则cosθ===,∴θ=.

∴异面直线PB与CD所成角为.

C组　2016—2018年模拟·方法题组

方法1　点、线、面位置关系的判断方法

1.（2018湖南衡阳模拟,6）如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱AA1,B1C1,C1D1,DD1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是（　　）

A.直线CC1B.直线C1D1C.直线HC1D.直线GH

答案　C

2.（2016四川泸州模拟,4）若m、n为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,且m⊥α,n⊥β,则下列命题中的假命题是（　　）

A.若m∥n,则α∥βB.若α⊥β,则m⊥n

C.若α、β相交,则m、n相交D.若m、n相交,则α、β相交

答案　C

3.（2017湖北武昌调研,16）若四面体ABCD的三组对棱分别相等,即AB=CD,AC=BD,AD=BC,则　　　　（写出所有正确结论的编号）. 

①四面体ABCD每组对棱相互垂直;

②四面体ABCD每个面的面积相等;

③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°;

④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分;

⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长.

答案　②④⑤

方法2　异面直线所成角的求法

4.（2018四川泸州模拟,7）在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,F为B1C1的中点,则异面直线AF与C1E所成角的正切值为（　　）

A.B.C.D.

答案　C

5.（2017河北唐山3月模拟,10）已知P是△ABC所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,若MN=BC=4,PA=4,则异面直线PA与MN所成角的大小是（　　）

A.30°B.45°C.60°D.90°

答案　A

6.（2017广东惠州调研,14）在正四棱锥P-ABCD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成的角为60°,E为PC的中点,则异面直线PA与BE所成角的大小为　　　　. 

答案　45°