［如图］
1.1.3三角函数与反三角函数
1.三角函数
正弦函数和余弦函数都是以2n为周期的周期函数，它们的定义域都是区间（-R，+労值域都是必区间［-1,1］。
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
正切函数和余切函数都是以n为周期的周期函数，它们都是奇函数。
2.反三角函数
反三角函数是三角函数的反函数，其图形都可由相应的三角函数的图形按反函数作图法的一般规则作出。
这四个反三角函数都是多值函数。
但是，我们可以选取这些函数的单值支。
例如，把Arcsinx的值限制在闭区间［-LJ,L］上，称为反正弦函数的主值，并记作arcsinx。
这样，函数y=arcsinx就是定义在闭区间［-1,1］上的单值函数，且有三'"''~
1.2数列极限的概念
设｛*｝是一个数列，a是实数，如果对于任意给定的-，总存在一个正整数N，当n>N时都有I,
我们就称a是数列｛"｝的极限，或者称数列「飞｝收敛，且收敛于a,记为--',a即为宀的极限。
rlrni心=山“_中总亠T
数列极限的几何解释：
以a为极限就是对任意给定的开区间，第N项以后的一切数全
部落在这个区间内。
1.3函数极限的概念
设函数f（x）在：
点附近（但可能除掉三=：
:
点本身）有定义，设A为一个定数，如果对任意各定二-J,一
定存在_二',使得当.时,总有\我们就称A是函数f（x）在「点
的极限，记作<|?
_：
这时称f（x）在£':
点极限存在，这里我们不要求f（x）在点丘'：
有定义，所以才有"Wm“。
例如：
—二1,当X=1时，函数是没有定义的，但在X=1点函数的极限存在，为2。
1.4单调有界数列必有极限
单调有界数列必有极限，是判断极限存在的重要准则之一，具体叙述如下：
如果数列
满足条件'■…，就称数列是单调增加的；反之则称为是单调减少的。
在前面的章节中曾证明：
收敛的数列必有界。
但也曾指出：
有界的数列不一定收敛。
现在这个准则表明：
如果数列不仅有界，而且是单调的，则其极限必定存在。
对这一准则的直观说明是，对应与单调数列的点疋*只可能向一个方向移动，所以只有两种可能情形：
或者召无
限趋近某一定点；或者吗*沿数轴移向无穷远（因为不趋向于任何定点且递增，已符合趋向无穷的定义）。
但现在
数列又是有界的，这就意味着移向无穷远已经不可能，所以必有极限。
从这一准则出发，我们得到一个重要的应用。
考虑数列”卫，易证它是单调增加且有界（小于3），故
limfl*丄、科■m
可知这个数列极限存在，通常用字母e来表示它，即…：
。
可以证明，当x取实数而趋于丨二或一
时，函数’■'的极限存在且都等于e,这个e是无理数，它的值是e=2.718281828459045…
1.5柯西（Cauchy）极限存在准则
我们发现，有时候收敛数列不一定是单调的，因此，单调有界数列必有极限准则只是数列收敛的充分条件，而不
是必要的。
当然，其中有界这一条件是必要的。
下面叙述的柯西极限存在准则，它给出了数列收敛的充分必要条
件。
柯西（Cauchy）极限存在准则数列'「收敛的充分必要条件是：
对于任意给定的正数1;I,存在着这样的正整数N，使得当m>N,n>N时，就有-'
Um%=口
必要性的证明设：
~-，若任意给定正数|;|,则-也是正数，于是由数列极限的定义，存在着正整数N,
氐—氐——
当n>N时，有；同样，当m>N时，也有
用R““时君肌_g|_|g_□=）_（口_小2|兀_诃|I|g_询|<专冷_b
因此，当m>N,n>N时，有
所以条件是必要的。
充分性的证明从略。
这准则的几何意义表示，数列il；•收敛的充分必要条件是：
对于任意给定的正数J，在数轴上一切具有足够大
号码的点耳，任意两点间的距离小于忑。
柯西极限存在准则有时也叫做柯西审敛原理。
1.6连续函数
limy（支）二x0）
1.6.1定义：
若函数f（x）在X0点的附近包括X0点本身有定义，并且
则称f（x）在X0点连续，X0为f（x）的连续点。
［如图］
1.6.2充要条件：
f（x）在X0点既是左连续又是右连续。
初等函数如三角、反三角函数，指数、对数函数等都是在自定义区间内的连续函数。
1.6.3三类不连续点：
（1）第一类不连续点：
f（X0+0）,f（x0-0）存在但不相等。
［如图］
（2）第二类不连续点：
f（xo+O），f（xo-O）中至少有一个不存在。
［如图］
（3）第三类不连续点：
f（xo+O），f（xo-O）存在且相等，但它不等于f（xo）或f（x）在xo点无定义。
［如图］
1.7一致连续性的概念及它与连续的不同
1.7.1定义：
对灯£>0，可找到只与有关而与x无关的刁〉°，使得对区间内任意两点
X1,X2,当'丁
时总有1'-1'就称f（x）在区间内一致连续。
1.7.2与连续的比较：
（1）连续可对一点来讲，而一致连续必须以区间为对象。
（2）连续函数对于某一点xo,R取决于xo和，而一致连续函数的盯只取决于国，与x值无关。
⑶一致连续的函数必定连续。
［例：
函数y=1/x，当x€（0,1）时非一致连续，当x€（C,1）时一致连续］
⑷康托定理：
闭区间［a,b］上的连续函数f（x）一定在［a,b］上一致连续。
第二章：
导数与微分
微分学是微积分的重要组成部分，他的基本概念是导数与微分，其中导数反映出自变量的变化快慢程度，而微分则指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。
2.1导数的概念
2.1.1导数的定义：
设函数y=f（x）在点xo的某个邻域内有定义，当自变量x在xo处取得增量二x（点xo+•x仍在
则称函数肿在电处可导，并称这个极限为函数
处的导数，记为•
衣■科.
=hm=lnn血囂斗。
Ax*心20
心5心,也可记作宀唸I」警
Ax
该领域内）时，相应地函数「取得增量一一匚；如果岭与之比当A：
—-时的极限存在，
，常见的有和'"'
—lim—■2.匸o弓tjt>sinf）
*十袒k2全
lizircokCx—=
2
导数的定义式也可取不同的形式
导数的概念就是函数变化率这一概念的精确描述。
2.1.2求导举例
求函数'（n为正整数）在上“处的导数
广&）-显gm-血Klim（严+处2r+十‘K"x-ax-a=20
把以上结果中的二换成」得-’八'，即厂厂
更一般地，对于幕函数「-'（"为常数），有“」■■这就是幕函数的导数公式
的导数
求函数
（cos）'■-sin工,
这就是说，正弦函数的导数是余弦函数.用类似的方法，可求得就是说，余弦函数的导数是负的正弦函数。
例求函数一-S二「1的导数.
II/〔嵐+£）-』（旳^rtfl-a1'na*-1
/（Z-）=Ilin1、'=knaa曲4
解；：
-'.='■■-即；—丁工心这就是指数函数的导数公式，特殊地，当」=存时,因」•：
-,故有
例求函数:
---一一L的导数.
解—W"
h
即得一
u=—
作代换-
这就是对数函数的导数公式，特殊地，当'■■■=■'■时,由上式得自然对数函数的导数公式
2.1.3导数的几何意义
由导数的定义可知：
函数尹■/⑴在点心处的导数广（力在几何上表示曲线丁・/（工）在点皿（心，『（&））处的切
解根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为：
yf=C—Y=--I-丸1■__戸■丄_y~2=-—
由于丄<■，于是从而所求切线方程为二即4x+y-4=0.
所求法线的斜率为k2-1/k1=1/4，于是所求法线方程为2x-8y+15=0.
2.2微分的概念
2.2.1微分的定义设函数」丿"'在某区间内有定义，巾及在这区间内，如果函数的增量
-■''■.■:
-可表示为一■丄'、
其中A是不依赖于工丫的常数，而是比一庄高阶的无穷小，那末称函数■'■'在点、是可微的，
而*2叫做函数?
■在点「-相应于自变量增量一二的微分，记作''，即」''
例求函数y=x2在x=1和x=3处的微分.
解函数「—在W处的微分为在一］处的微分为入--'
函数丁■'''在任意点止的微分，称为函数的微分，记作*或「*，即'；
例如，函数y=cosx的微分为旳■比■-他.也心函数$7的微分为妙=（ccsx）fAx=5^.
通常把自变量上的增量i：
称为自变量的微分，记作dx，即3.•于是函数y=f（x）的微分又可记作dy=f'（x）dx,从而有x=3就是说，函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数•因此，导数也叫做”微商”.
222微分的几何意义
设厶y是曲线y=f（x）上的点的纵坐标的增量，dy是曲线的切线上的纵坐标的相应的增量，
当xI很小时，〔△y-dyI比xI小得多，因此在M点的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段•
-b
「
I
第三章：
中值定理与导数的应用
上一章里，从分析实际问题中因变量相对于自变量的变化快慢出发，弓I出了导数的概念，并讨论了导数的计算方法。
本章中，我们将应用导数来研究函数以及曲线的某些性态，并利用这些知识解决一些实际问题。
我们将介绍微分学的几个中值定理，他们是导数应用的理论基础
3.1三个中值定理
3.1.1罗尔定理
罗尔定理如果函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，在开区间（a，b）内可导，且在区间端点的函数值相等，即f（a）=f（b）,
那么在（a，b）内至少有一点人;:
，,使得函数f（x）在该点的导数等于零-o
3.1.2拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数f（x）在区间［a，b］上连续，在开区间（a，b）内可导，那么在（a，b）内至少有一点
心心，使等式/何一烛〉■八恥一町
（1）成立。
3.1.3柯西中值定理
柯西中值定理如果函数f（x）及F（x）在闭区间［a，b］上连续，在开区间（a，b）内可导，且F'（x在（a，b）内的每一点处
均不为零，那么在（a，b）内至少有一点戌，使等式叫）・F&）尹
（2）成立。
3.2洛必达法则
3.2.1.洛必达法则的概念.
-—-Lm
定义:
求待定型的方法（-与此同时■「）；定理:
若f（x）与g（x）在（a，a+）上有定义，且■L-f（x）=丄丄g（x）=0;
m口下八Dim414氏皿理心烧空
并且f'（）与g'（x）在（a，a+）上存在.・0且；“=A贝U==A，（A可以是）.
证明思路：
补充定义x=a处f（x）=g（x）=0,则［a,a+一）上匚=—_:
・“，='■•」
_-Lim站漳LimHzi
即x~Q+U时x°~Q+U是肌时
0
3.2.2定理推广：
由证明过程显然定理条件x可推广到x,xf,xTZ-。
所以对于待定型，
可利用定理将分子、分母同时求导后再求极限。
注意事项：
1.对于同一算式的计算中，定理可以重复多次使用。
2.当算式中出现Sin…或Cos…形式时，应慎重考
虑是否符合洛必达法则条件中f'（）与g'（）的存在性。
向其他待定型的推广。
（下转化过程中描述引用的仅为记号.）
ooQ
1.-可化为=,,事实上可直接套用定理。
2.0-
2
=0*一
3.
0-0
=，-■，通分以后T!
■-=。
4.
亍、严、3°取对数=>o・ln0、m・Ln1、0・Lnw叫0、0・
3.3泰勒公式及其误差图示来源：
实践，常用导数进行近似运算.
由于时百r口所以»才加+血为"心，因此/ax/（工心+3扫刃心）十/（%）（“-心）
范围:
在直接求f（x）困难，而在x附近xo处f（xo）与f'（xo）较易时应用•条件是x与xo充分接近，可达到一定的精度•
利用-:
叮'IhL」当-为不同函数时•有常用近似公式如下:
（|x|很小时）
VT+~X1+—-^―1-X"1
''[--,Ln（1+x）一
泰勒公式来源：
上述公式在|x|很小时，---"-■
Sinx-x,tgxx,
X.
是■-'即，pi=f（0）+f'x（O）
与f（x）在x=0处函数值相等，且一阶导数相等•为进一步提高精度欲使-亠」'「与-’「
在二阶导数处也相等.于是」、-，--■,一4'■'.
得「"一…一：
依此类推：
■-'■''-：
'；
和、W=竺肚
对于误差有定理在x=0处有n+1阶连续导数，则上式误差'1
由定理「：
…•二…?
-此式为'在x=0处的关于x的泰勒展开公式.即:
对=/（0）+f（①开+匚字/十…十孕取产十儿（方
21泗
公式推广：
一般地在x=Xo附近关于Xo点的泰勒公式
/帥叮CG+f（可）伙5）+丄号（一辭+…+广严『肆+必㈤丘
注意:
虽然泰勒公式是在x=%"附近"展开，但是事实上x可以取f（x）定义域内任意值，只不过若lx-叼|过大（即x离％过远）时AX）相应变大.即使用e代替f（x）的误差变大•可是，无论如何泰勒公式总是成立的，当仓固定后，不同的x将使-发生变化，并使'■■■变化，从而影响H对f（x）的近似精度.
3.4函数图形描绘示例
定理:
若f（x）在［a，b］上连续，（a，b）可导.则f（x）在［a，b］单调上升（或单调下降）的充分必要条件为（a，b）内
W°（或茎°）,推论:
若f（x）在［a,b］连续,（a,b）可导，且『⑴不变号，贝则八巧，°（或<0）严格单调上升（下降）.
定理（极值的必要条件）:
若X0为f（x）的极值点，那么X0只可能是f'向零点或f（x）的不可导点.
定理（极值判别法）：
「凡一’卜‘•1,f（‘）为极大值，-■■■",fC1）为极小值
若-」不存在，但f（x）在与-■'
上可导
则若、•内'
、■如-”内’」」•则为极小点，反之为极大点
定义:
若曲线在一点的一边为上凸，另一边为下凸，则称此点为拐点，显然拐点处_'
/（—d盂+白
定义：
若'则称ax+b为f（x）的一条渐进线.
定义:
若-、一，一八则称x=C为f（x）的一条垂直渐进线.
、诅=“心b=
定理:
若f（x）的一条渐进线为ax+b贝U，.1，
曲—胡一扪Y皿=0
证明：
由定义知亠
_Li^/（x）_打i
.L-■-带回定义得..-'1
所以即
函数图象描述的基本步骤：
1•确定y=f（x）的定义域并讨论函数的基本性质，如奇偶性，对称性周期性等.
2•求出—；与厂一及，"二不存在的各点.
3•由2的结果函数的上升，下降区间，及图形的上凸，下凸区间以及各极值点
4•定出函数的渐近线•5•描点作用•
3.5曲率的概念及计算公式
3.5.1概念:
来源：
为了平衡曲线的弯曲程度。
r_厶妙
平均曲率.，这个定义描述了AB曲线上的平均弯曲程度。
其中
△s为AB弧长。
1"表示曲线段AB上切线变化的角度,
例：
对于圆,
盂豆。
所以：
圆周的曲率为1/R，是常数。
而直线上人所以2D，即直线不弯曲”
厂[△严「△护才炉
七=lim=lim=
即定义虫馅M必
对于一个点，如A点，为精确刻画此点处曲线的弯曲程度，可令P'■-1
为了方便使用，一般令曲率为正数，即：
3.5.2计算公式的推导：
由于，所以要推导…与ds的表示法，ds称为曲线弧长的微分（T5-28，P218）
Aa-
因为'"■，所以
所以，r-■-_■'或z'■'''■'■'■
具体表示；
。
令i：
Y:
，同时用二I代替覚&得
-1■+
1、
y~fM时矗・士卜厂⑴血
2、
托-试0』-咸7）时必三士40乜）丛
f川甫时*■卫气加夕（令"£8胡卩-戸麵莓
If
再推导…，因为mr，所以•”“，两边对x求导，得匸
F面将…与ds代入公式中：
：
J1■+七cJX
C1十才小尹
，即为曲率的计算公式。
3.5.3曲率半径：
一般称■■为曲线在某一点的曲率半径。
几何意义（T5-29）如图为在该点做曲线的法线（在凹的一侧），在法线上取圆心，以p为半径做圆，则此圆称为
该点处的曲率圆。
曲率圆与该点有相同的曲率，切线及一阶、两阶稻树。
应用举例：
求」•"上任一点的曲率及曲率半径（T5-30）
解：
由于：
」!
二」：
所以:
3.6方程的近似解法
3.6.1应用前提：
方程f（x）=0，则f（x）应满足:
（1）f（x）在［a,b］连续，f（a）与f（b）不同号。
（2）-•"在（a,b）内连续且不变号。
（3）丿*在（a,b）内连续且不变号。
3.6.2应用步骤：
首先：
判断方程是否满足应用前提，先对端点
过起点做f（x）的切线，交x轴与e。
a，b求f（a）、f（b），取与fn（x）同号的一点为起点。
然后：
过（喷，皿）做/㈤的切线，交x轴与也。
以次类推，直到'7-
满足精度要求。
363应用举例:
求：
人昭」一-在［1，2］内的根，误差〔二-
解：
令/W=73-^-5,有：
/（!
）=-!
<⑵=9>ag=3x^3=6x>0
所以可应用上述方法，求得：
-「一"'」厂「一7■■--「匚定义1如果在区间I上，可导函数F（x）的导函数为f（x），即对任一x€I，都有F'（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx,那末函数F（x）就称为f（x）（或f（x）dx）在区间I上的原函数。
由于
，所以误差范围内的近似解为
1.15417
3.6.4两点说明:
1.
前提条件的作用:
第一个条件显然是为了保证区间上解的存在性。
第二、第三个条件是为了保证各步迭代后，得到的交点仍落在区间上的
2.
，所以下一步过（®，「'；「）做f（x）的切线，写出其方程就是:
-''■-J'，它与X轴交点为…’=^，这就是迭代公式。
迭代公式：
设第n步后的交点为
第四章：
在第二章中，我们讨论了怎样求一个函数的导函数问题，本章将讨论他的反问题，即要求一个导函数的原函数,也就是求一个可导函数，使他的导函数等于已知函数。
这是积分学的基本问题之一
4.1不定积分的概念与性质
4.1.1原函数与不定积分的概念
不定积分
例如，因（sinx）'=cosx故sinx是cosx的原函数。
那一个函数具备何种条件，才能保证它的原函数一定存在呢？
简单的说就是，连续的函数一定有原函数。
下面还要说明两点。
第一，如果有1，那么，对任意常数c,显然也有:
'-'I「•…，即如果匕-二是-的原
函数，那F（x）+C也是f（x）的原函数。
第二，当C为任意常数时，表达式F（x）+C,就可以表示f（x）的任意一个原函数。
也就是说，f（x）的全体原函数所组
成的集合，就是函数族'1'''''•。
由以上两点说明，我们引入如下定义。
定义2
记作Pg。
其中记号
由此定义及前面的说明可知，如果
在区间I』上，函数/匕）的带有任意常数项的原函数称为（或了（工妙）在区间f上的不定积分,
称为积分号，-‘-•称为被积函数，厂‘称为被积表达式，I二I称为积分变量。
F（x）是f（x）在区间I上的一个原函数，那么F（x）+C就是f（x）的不定积分，
即「「「’「。
因而不定积分J」可以表示—的任意一个原函数。
1求
解由于
「所以〕是，的一个原函数。
因此
当―：
时，由于「门=・.，所以匚…是汽在「内的一个原函数。
因此，在「内，''-'''-当―「时，由于-■'='，由上同理，在-丄・内,1_-"_"V'
将结果合并起来，可写作''■■
4.1.2不定积分的性质
根据不定积分的定义，可以推得它的如下两个性质:
性质1函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和，即
性质2求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外面来，即r「一（k是常数*工0）.
例3求
51S151
注意检验积分结果是否正确
4.2两类换元法及举例
利用基本积分表与积分的性质
把复合函数的微分法反过来求不定积分换元法通常分成两类•
4.2.1第一类换元法
「一’「一-二…--
，只要对结果求导，看它的导数是否等于被积函数，相等时结果是正确的，否是错误的。
，所能计算的不定积分是非常有限的.因此，有必要进一步来研究不定积分的求法.
，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法，简换元法.
定理1设f（u）具有原函数，U=0（x可导，则有换元公式J11J'
1求/2cos2xdx
作变换u=2x，便有/2cos2xdx=/cos2x•2dx=/cos2x•（2x）'dx=/cosudu=sinu+C
再以u=2x代入,即得/2cos2xdx=sin2x£.
2求/tanxdx
/tanxdx=/sinx/cos.x因为-sinxd
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