高中数学数学归纳法综合测试题带答案最新教学文档.docx

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高中数学数学归纳法综合测试题带答案最新教学文档

高中数学数学归纳法综合测试题（带答案）

课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。

为什么?

还是没有彻底“记死”的缘故。

要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。

可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。

这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。

这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。

　　选修2-22.3数学归纳法

这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。

要求学生抽空抄录并且阅读成诵。

其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。

如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。

如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?

一、选择题

教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。

如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。

1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1n（nN*，n1）时，第一步应验证不等式（）

家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。

我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。

A．1＋122

我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。

为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?

吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:

“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!

”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。

特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:

提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。

知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。

根本原因还是无“米”下“锅”。

于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。

所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。

要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。

B．1＋12＋13＜2

C．1＋12＋13＜3

D．1＋12＋13＋14＜3

[答案]　B

[解析]　∵nN*，n＞1，n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13，故选B.

2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a（nN*，a1），在验证n＝1时，左边所得的项为（）

A．1

B．1＋a＋a2

C．1＋a

D．1＋a＋a2＋a3

[答案]　B

[解析]　因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B.

3．设f（n）＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n（nN*），那么f（n＋1）－f（n）等于（）

A.12n＋1B.12n＋2

C.12n＋1＋12n＋2D.12n＋1－12n＋2

[答案]　D

[解析]　f（n＋1）－f（n）

＝1（n＋1）＋1＋1（n＋1）＋2＋…＋12n＋12n＋1＋12（n＋1）

－1n＋1＋1n＋2＋…＋12n＝12n＋1＋12（n＋1）－1n＋1

＝12n＋1－12n＋2.

4．某个命题与自然数n有关，若n＝k（kN*）时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得（）

A．当n＝6时该命题不成立

B．当n＝6时该命题成立

C．当n＝4时该命题不成立

D．当n＝4时该命题成立

[答案]　C

[解析]　原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.

5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是（）

A．假设n＝k（kN*），证明n＝k＋1时命题也成立

B．假设n＝k（k是正奇数），证明n＝k＋1时命题也成立

C．假设n＝k（k是正奇数），证明n＝k＋2时命题也成立

D．假设n＝2k＋1（kN），证明n＝k＋1时命题也成立

[答案]　C

[解析]　∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.

6．凸n边形有f（n）条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f（n＋1）为（）

A．f（n）＋n＋1

B．f（n）＋n

C．f（n）＋n－1

D．f（n）＋n－2

[答案]　C

[解析]　增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f（n＋1）＝f（n）＋1＋n＋1－3＝f（n）＋n－1.故应选C.

7．用数学归纳法证明“对一切nN*，都有2nn2－2”这一命题，证明过程中应验证（）

A．n＝1时命题成立

B．n＝1，n＝2时命题成立

C．n＝3时命题成立

D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立

[答案]　D

[解析]　假设n＝k时不等式成立，即2kk2－2，

当n＝k＋1时2k＋1＝22（k2－2）

由2（k2－2）（k－1）2－4k2－2k－30

（k＋1）（k－3）k3，因此需要验证n＝1,2,3时命题成立．故应选D.

8．已知f（n）＝（2n＋7）3n＋9，存在自然数m，使得对任意nN*，都能使m整除f（n），则最大的m的值为（）

A．30

B．26

C．36

D．6

[答案]　C

[解析]　因为f

（1）＝36，f

（2）＝108＝336，f（3）＝360＝1036，所以f

（1），f

（2），f（3）能被36整除，推测最大的m值为36.

9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an（n2），而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝（）

A.2（n＋1）2

B.2n（n＋1）

C.22n－1

D.22n－1

[答案]　B

[解析]　由Sn＝n2an知Sn＋1＝（n＋1）2an＋1

Sn＋1－Sn＝（n＋1）2an＋1－n2an

an＋1＝（n＋1）2an＋1－n2an

an＋1＝nn＋2an　（n2）．

当n＝2时，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2，a2＝a13＝13

a3＝24a2＝16，a4＝35a3＝110.

由a1＝1，a2＝13，a3＝16，a4＝110

猜想an＝2n（n＋1），故选B.

10．对于不等式n2＋nn＋1（nN＋），某学生的证明过程如下：

（1）当n＝1时，12＋11＋1，不等式成立．

（2）假设n＝k（kN＋）时，不等式成立，即k2＋kk＋1，则n＝k＋1时，（k＋1）2＋（k＋1）＝k2＋3k＋2（k2＋3k＋2）＋（k＋2）＝（k＋2）2＝（k＋1）＋1，

当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法（）

A．过程全都正确

B．n＝1验证不正确

C．归纳假设不正确

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

[答案]　D

[解析]　n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.

二、填空题

11．用数学归纳法证明“2n＋1n2＋n＋2（nN*）”时，第一步的验证为________．

[答案]　当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左右，不等式成立

[解析]　当n＝1时，左右，不等式成立，

∵nN*，第一步的验证为n＝1的情形．

12．已知数列112，123，134，…，1n（n＋1），通过计算得S1＝12，S2＝23，S3＝34，由此可猜测Sn＝________.

[答案]　nn＋1

[解析]　解法1：

通过计算易得答案．

解法2：

Sn＝112＋123＋134＋…＋1n（n＋1）

＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1

＝1－1n＋1＝nn＋1.

13．对任意nN*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.

[答案]　5

[解析]　当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝3时，310＋35不能被14整除，故a＝5.

14．用数学归纳法证明命题：

14＋27＋310＋…＋n（3n＋1）＝n（n＋1）2.

（1）当n0＝________时，左边＝____________，右边＝______________________；当n＝k时，等式左边共有________________项，第（k－1）项是__________________．

（2）假设n＝k时命题成立，即_____________________________________成立．

（3）当n＝k＋1时，命题的形式是______________________________________；此时，左边增加的项为______________________．

[答案]　

（1）1；1（31＋1）；1（1＋1）2；k；

（k－1）[3（k－1）＋1]

（2）14＋27＋310＋…＋k（3k＋1）＝k（k＋1）2

（3）14＋27＋…＋（k＋1）[3（k＋1）＋1]

＝（k＋1）[（k＋1）＋1]2；（k＋1）[3（k＋1）＋1]

[解析]　由数学归纳法的法则易知．

三、解答题

15．求证：

12－22＋32－42＋…＋（2n－1）2－（2n）2＝－n（2n＋1）（nN*）．

[证明]　①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．

②假设n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋（2k－1）2－（2k）2＝－k（2k＋1）2.

当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋（2k－1）2－（2k）2＋（2k＋1）2－（2k＋2）2＝－k（2k＋1）＋（2k＋1）2－（2k＋2）2＝－k（2k＋1）－（4k＋3）＝－（2k2＋5k＋3）＝－（k＋1）[2（k＋1）＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．

由①②得，等式对任何nN*都成立．

16．求证：

12＋13＋14＋…＋12n－1n－22（n2）．

[证明]　①当n＝2时，左＝120＝右，

不等式成立．

②假设当n＝k（k2，kN*）时，不等式成立．

即12＋13＋…＋12k－1k－22成立．

那么n＝k＋1时，12＋13＋…＋12k－1

＋12k－1＋1＋…＋12k－1＋2k－1

k－22＋12k－1＋1＋…＋12kk－22＋12k＋12k＋…＋12k

＝k－22＋2k－12k＝（k＋1）－22，

当n＝k＋1时，不等式成立．

据①②可知，不等式对一切nN*且n2时成立．

17．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．

求证：

这n条直线将它们所在的平面分成n2＋n＋22个区域．

[证明]　

（1）n＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．

（2）假设当n＝k（k2）时，k条直线将平面分成k2＋k＋22块不同的区域，命题成立．

当n＝k＋1时，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成k2＋k＋22块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k＋1块．

从而k＋1条直线将平面分成k2＋k＋22＋k＋1＝（k＋1）2＋（k＋1）＋22块区域．

所以n＝k＋1时命题也成立．

由

（1）

（2）可知，原命题成立．

18．（2019衡水高二检测）试比较2n＋2与n2的大小（nN*），并用数学归纳法证明你的结论．

[分析]　由题目可获取以下主要信息：

①此题选用特殊值来找到2n＋2与n2的大小关系；

②利用数学归纳法证明猜想的结论．

解答本题的关键是先利用特殊值猜想．

[解析]　当n＝1时，21＋2＝4n2＝1，

当n＝2时，22＋2＝6n2＝4，

当n＝3时，23＋2＝10n2＝9，

当n＝4时，24＋2＝18n2＝16，

由此可以猜想，

2n＋2n2（nN*）成立

下面用数学归纳法证明：

（1）当n＝1时，

左边＝21＋2＝4，右边＝1，

所以左边右边，

所以原不等式成立．

当n＝2时，左边＝22＋2＝6，

右边＝22＝4，所以左边右边；

当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，

所以左边右边．

（2）假设n＝k时（k3且kN*）时，不等式成立，

即2k＋2k2.那么n＝k＋1时，

2k＋1＋2＝22k＋2＝2（2k＋2）－2k2－2.

又因：

2k2－2－（k＋1）2＝k2－2k－3

＝（k－3）（k＋1）0，

即2k2－2（k＋1）2，故2k＋1＋2（k＋1）2成立．

死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。

但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。

其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。

相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。

教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。

如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。

要练说，得练听。

听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。

我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。

当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。

平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。

根据

（1）和

（2），原不等式对于任何nN*都成立．