几何体的内切球和外接球三视图教师版doc.docx
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几何体的内切球和外接球三视图教师版doc
专题：
几何体的内切球和外接球三视图
【学习目标】
1.掌握几何体的内切球和外接球问题;
2.掌握几何体的三视图。
※自主研读学习单※
1.如果一个球与几何体的各个而都相切，球为几何体的内切球;
2.如果一个儿何体的所有顶点都在球面上，球为儿何体的外接球;
等分点。
解：
如图所示，设点O是内切球的球心，正四面体棱长为。
.由图形的对称性知，点。
也是外接球的球心.设内切球半径为,，外接球半径为R.
正四面体的表而积S表=4x—4/2=0
正四面体的体积VA_BCD
=-x—a2xAE=
34
a
V。
9
——
12
=鸟
12
.•gS表.'=^A-BCD»r-
在RtABE。
中，BO2=BE2^EO1,
r2
A-BCD
S表
u
B
E
得R=3r
变式：
一・个正四面体内切球的表面积为3",求正四面体的棱长。
（答案为：
3^2）
4.正方体的内切球R=-
2
D1
i/iB1
[!
J
A*
C1
A1
一顽
72
5.与正方体各棱相切的球：
球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，R=—a
2
6.正方体的外接球：
正方体的八个顶点都在球面上，R=A}0=—
12
变式：
一■棱长为2。
的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但乂不至于变形时的球的体积。
（答案为V=，兀"Ji对=瓯血）
7.正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直佑三角形便可得球半径。
※合作探究学习单※
题型一几何体的内切球和外接球
例1.正三棱锥的高为1,底面边长为2^6,正三棱锥内有一个球与其四个面相切.求球的表面积与体积.
解：
如图，球。
是正三棱锥P-ABC的内切球，。
到正三棱锥四个面的距离都是球的半径R.
PH是正三棱锥的高，即PH=1.E是BC边中点，H在AE上,
MBC的边长为20：
・HE=^x2际=0：
.PE=W
6
可以得到
S=SWAC=SMBC
-BCPE=3V2.Smbc=%（2MV
ill等体积法，yp-ABC~^O-PAB+^O-PAC+Vo-PBC+^O-ABC
iiinZT
・•.—x6屈1=—x3V^xRx3+—x6V^xR得：
R=\=把—2,
3332V3+3:
.S球=4状2=4〃（店一2）2=8（5—27^）勿..・・*求=-^?
3=-^（V6-2）3.
例2.求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.
分析：
首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系.
解：
如图，等边ASAB为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形C.CDD,,截球面得球的大圆圆0.
设球的半径0Q=R,则它的外切圆柱的高为2R,底面半径为R；
0B=00•cot30。
=VJR,SO=OB・tan60°=^3R-73=37?
41L
VJ；K=,V柱=*.2R=2ttR3,v椎=§兀（』31<¥・3R=3ttR3,
柱：
％=4：
6：
9.
例3.已知正三棱柱ABC-A^C.的六个顶点在球0上,又知球q与此正三棱柱的5个而都相切，求球0与球。
2的体积之比与表面积之比。
分析：
先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。
解：
如图，由题意得两球心0、0是重合的，过正三棱柱的一•条侧棱和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为。
73则&2
正三棱柱的高为h=2R,=毕,由危。
中，得
・•・51:
52=/?
）2:
/?
22=5:
1,%:
匕=5打：
1
如果MMD的面积为1,试求能
例4.设棱锥M-ABCD的底面是正方形，且MA=MD,MA1AB,够放入这个棱锥的最大球的半径.
解：
・.・AB1AD,AB1M4,.・・AB1平面MAD,
由此，面MAD1面AC.记E■是人。
的中点，
从而MELAD.:
.ME±平1MAC,MELEF
设球。
是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.如图2,得截而图AMEF及内切圆0不妨设平面MEF,于是。
是的内心.
设球。
的半径为尸,
则r=
EF+EM+MF
设A。
=EF=aSMMD—1.
:
.EM
-,MF="+㈢/=:
<—=42-1
。
V2,⑵22+2V2
CL［何~+—
。
V\ci）
当且仅当a=~,即a=41时，等号成立.a
.••当AD=ME=4i时，满足条件的球最大半径为V2-1.
例5.在矩形ABCD中，AB=4,8C=3,沿将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D,则四面
体ABCD的外接球的体积为
125125125125
A.——71B.兀C.——71D.——71
12963
解设矩形对角线的交点为0,则由矩形对角线互相平分，可知OA=OB=OC=OD.:
.点0到四而体的
四个顶点A、B、C、。
的距离相等，即点。
为四面体的外接球的球心，.••外接球的半径R=OA=~.故
2
4,125
V球=—球R，71.选C.
36
题型二几何体的三视图
三视图常考查：
①三视图的识别与还原问题；②以三视图为载体考查空间儿何体的表面积、体积等问题.主要考查学生的空间想象能力及运算能力，是近儿年高考的热点.
例1.已知某个儿何体的三视图如图,
根据图中标出的尺寸（单位：
cm）.，可得这个几何体的体积是（
）•
40003
A.--cm
d8000
B・-y
cm°
C.2000cm3
D.4000cm3
边长为20cm,S在底为的射影
［审题视点］而出直观图后求解.
［此几何体的图为SABCD，旦平面SCD±平面ABCD.ABCD为正方形,为CD的牛|点E，SE=20ctn,Vsabcd=5S=abcd'SE=~.故选B.]
•左法锦囊.2解答此类题目时：
（1）可以从熟知的某一视图出发，想象出直.观图，再验证其他视图是否正确:
⑵视•图中标注的长度在直观图中代表什么，要分辨清楚；
（3）视图之间的数最关系：
正俯长对正，正侧高平齐，侧俯宽相等.
例2.如图是某三棱柱被削去一个底而后的直观图与侧（左）视图、俯视图.巳知CF=2AD,侧（左）视图是边长为2的等边三角形；俯视图是直角梯形，有关数据如图所示.求该几何体的体积.
解如图，取CF的中点F,过尸作PQ//CB交BE于Q,连接PD,QD,AD//CP,且AD=CP.
四边形ACPD为平行四边形，:
.AC//PD.
..•平面POQ〃平面A8C,该几何体可分割成三棱柱PDQCAB和四棱锥DPQEF,
V=y三棱柱PDQCAg+yDPQEF=2X^2^n60°乂2+■JX2XV^=3,.
例3.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多而体的三视图，则该多而体的个条棱中,
最长的棱的长度为
A.6^2B.4V2C.6DA
答案：
B
【课堂小结】
几何体的内切球和外接球三视图
※巩固提升学习单※
1.若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球表而积之比为（）
A.3：
1B.4:
1C.5:
1D.6：
1
【答案】C
【解析】设内切球的半径为r,外接球的半径为R,底边边长为a,则
产+土）2=如_所以S外接球=R：
=5
36S内切球r2
TT
2.在正四棱锥S-ABCD中，侧|印与底面所成的角为，则它的外接球半径R与内切球半径，•之比为（）
3
35
A.5B.-C.10D.
22
【答案】D
3.巳知四面体ABCD'P，AB=AD=6,AC=4,CD=2而，AB«L平面ACD,则四面体ABCD夕卜接
球的表面积为（）
A.36兀B.88兀C.92兀D.128兀
【答案】B
【解析】试题分析：
在AAC。
中，由AO=6,AC=4,CD=2而,可得AD2-^-AC2=CD2,则AC1AD,又
AB1YH1ACD,故2R=V42+62+62=^88=2^22,则V=4^（722）2=88^.
4.一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三佑形，则该几何体的外接球的表面枳为
俯视图
【解析】由三视图可得，该儿何体为一条侧棱垂直于底面的四棱锥，如下图中C\-A3C。
，其中底面
ABCD为边长为1的正方形，GC=1由图可知，该四棱锥的外接球球心即该四棱锥所在的正方体的中心,
由此可得球半径/?
=—,所以其表面积为SdTrR'=3兀2
5.在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是SC、BC的中点，且初若侧棱SA=2VL则正三棱
椎S-ABC外接球的表俑积为
【解析】如图，因为M,N分别是SC,BC中点，所以MN//SB.而S-ABC是正三棱锥，所以SBVAC,所以
MNVACo因为MN1AM,所以MN1面SAC,从而可得跚面SAC,故
ZBSA=/BSC=ZASB=90\将此正三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球。
因为侧棱S人=2JL
所以补成的正方体的边长为20,则它们的外接球半径/?
=—-2^3=3,所以外接球表面积为
2
6.已知四面体P-ABC的外接球的球心。
在AB上，且POL平面ABC,2AC=^3AB,若四面体
3P-ABC的体积为，则该球的体积为2
【答案】4压
【解析】
试题分析：
设球的半径为R,因为球心。
在A8上，所以0为AB的中点，且\ABC为直角三角形，因为
2AC=0AB,所以AC=—AB=j3RfBC=R,2
所以VPABC=-xS心如xOP=LxLxRxxR=°,.・.R3=3,所以该球的体积为-兀快=4岳.
33223
考点：
本小题主要考查四面体的内接球的体积计算.
点评：
解决此小题的关键是分析出MBC是直角三角形，考查学生的空间想象能力和运算求解能力.
7.在平行四边ABCD中，ZABD=90°,2AB2+BD2=4将其沿BD折成直二面的A-BD-C,则三棱锥
A—BCD的外接球的体积为.
【答案】—
3
【解析】
试题分析：
因为球心到各定点的距离相等，所以易知该外接球的球心在AC的中点，又在平行四边ABCD中，ZABD=90°,所以2*g2+Bo2=4nAO2+AB2=4，而折成直二面角后，
AC2=AD2+CD2=AD2+AB2=4,/.AC=29所以该外接球的球半径为1,所以体积为.
考点：
本小题主要考查空间几何体的外接球的体积.
点评：
对于这种折叠问题，要搞清楚折控前后的量有哪些发生了变化，哪些没有发生变化.
8.如图是一个空间儿何体的三视图，则该儿何体的外接球的表面积为.
2
俯视图
【答案】8）
【解析】
试题分析：
由三视图可知空间几何体为三棱锥，底面为直角三角形，侧棱垂直•于底面，设底面为
ABC,匕8=90°,侧棱S4J_A8,S*J.AC所以其外接球球心在SC中点处，球的半径,=很，所以表
考点：
三视图及球的表面积计算
点评：
先由三视图还原直观图在求其外接球的表面积
9.圆台的轴截而而积是Q,母线与下底而成60。
角，则圆台的内切球的表而积是（）。
（A）f（B）TQ（C）2Q（d）4q
【答案】D
10.己知球。
是棱长为1的正方体ABCD-A^QD,的内切球，贝ij平面AC"截球。
的截面面积为.
【答案】5
O
11.如图，多面体ABCD-EFG的底面A8C。
为正方形，FC=GD=2EA,其俯视图如下，则其正视图和侧
解析由三视图还原的几何体为两底面为等腰梯形的直棱柱，梯形的面积为乌（2+8》4=20,所以棱柱的体积为20x10=200.
答案C
）•
14.某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是
1416
A.4B—C—D.6
解析由四棱台的三视图可知该四棱台的上底而是边长为1的正方形，下底而是边长为2的正方形，高为2.由棱台的体积公式可知该四棱台的体积V=|（l2+V^
+22）x2=y,故选B.
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