几何体的内切球和外接球三视图教师版doc.docx

1、几何体的内切球和外接球三视图教师版doc专题：几何体的内切球和外接球三视图【学习目标】1 .掌握几何体的内切球和外接球问题;2.掌握几何体的三视图。自主研读学习单1.如果一个球与几何体的各个而都相切，球为几何体的内切球;2.如果一个儿何体的所有顶点都在球面上，球为儿何体的外接球;等分点。解：如图所示，设点O是内切球的球心，正四面体棱长为。.由图形的对称性知，点。也是外接球的球心.设 内切球半径为,，外接球半径为R.正四面体的表而积S表=4x 4/2 =0正四面体的体积VA_BCD= -x a2xAE =3 4aV。 912=鸟12. gS表.=A-BCD r -在 RtABE。中，BO2 =B

2、E2 EO1,r2A-BCDS表uBE得 R = 3r变式：一个正四面体内切球的表面积为3,求正四面体的棱长。（答案为：32 ）4.正方体的内切球R = -2D1i/i B1! JA* C1A1一顽725.与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，R = a26.正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，R = A0 = 1 2变式：一棱长为2。的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但乂不至于 变形时的球的体积。（答案为V=，兀Ji对=瓯血）7.正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直佑 三角形便可

3、得球半径。合作探究学习单题型一几何体的内切球和外接球例1.正三棱锥的高为1,底面边长为26 ,正三棱锥内有一个球与其四个面相切.求球的表面积与体积.解：如图，球。是正三棱锥P-ABC的内切球，。到正三棱锥四个面的距离都是球的半径R.PH是正三棱锥的高，即PH =1. E是BC边中点，H在AE上,MBC的边长为20 ：HE = x2际=0 ：.PE = W6可以得到S = S WAC = S MBC-BC PE = 3V2 . Smbc=%(2MVill 等体积法，yp-ABC O-PAB + O-PAC + Vo-PBC + O-ABCii i n ZT.x6屈 1=x3VxRx3 +x6Vx

4、R得：R= =把2 ,3 3 3 2V3+3 :.S球=4状2 =4(店一2)2 =8(5 27)勿.*求=-?3=-(V6-2)3.例2.求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找 几何体与几何体之间元素的关系.解：如图，等边ASAB为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形C.CDD,截 球面得球的大圆圆0.设球的半径0Q = R ,则它的外切圆柱的高为2R ,底面半径为R ；0B = 00 cot 30。= VJR , SO = OB tan 60 = 3R-73 =37?,4 1 LVJ；K = , V柱=* .2R =

5、2ttR3 , v椎=兀(31 3R = 3ttR3 ,柱： =4：6：9.例3.已知正三棱柱ABC-AC.的六个顶点在球0上,又知球q与此正三棱柱的5个而都相切，求球0 与球。2的体积之比与表面积之比。分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。解：如图，由题意得两球心0、0是重合的，过正三棱柱的 一条侧棱和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为。,73 则&2正三棱柱的高为h = 2R,=毕,由危。中，得 51 :52 =/?)2 :/?22 =5:1 , % :匕=5打：1如果MMD的面积为1,试求能例4.设棱锥M - ABCD的底面是正方形，且MA = MD , MA 1 AB

6、 , 够放入这个棱锥的最大球的半径.解：.AB 1 AD, AB 1 M4,.AB 1平面MAD ,由此，面MAD 1面AC.记E是人。的中点，从而 ME LAD.:. ME 平 1MAC , ME LEF设球。是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.如图2,得截 而图AMEF及内切圆0 不妨设平面MEF ,于是。是的内心.设球。的半径为尸,则r =EF + EM +MF设 A。= EF = a SMMD 1.:.EM-,MF= + / = : = 42-1。 V 2 , 2 2 + 2V2CL 何 + 。V ci)当且仅当a=,即a = 41时，等号成立. a.当AD = ME =

7、4i时，满足条件的球最大半径为V2-1.例5.在矩形ABCD中，AB = 4,8C = 3,沿将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D,则四面体ABCD的外接球的体积为125 125 125 125A.71 B. 兀 C.71 D.7112 9 6 3解设矩形对角线的交点为0,则由矩形对角线互相平分，可知OA = OB = OC = OD.:.点0到四而体的四个顶点A、B、C、。的距离相等，即点。为四面体的外接球的球心，.外接球的半径R = OA=.故24 , 125V球=球R， 71 .选 C.3 6题型二几何体的三视图三视图常考查：三视图的识别与还原问题；以三视图为载体考查空间儿何体的表

8、面积、体积等问 题.主要考查学生的空间想象能力及运算能力，是近儿年高考的热点.例1 .已知某个儿何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸（单位：cm）.，可得这个几何体的体积是（)4 000 3A.- cmd 8 000B-ycmC. 2 000 cm3D. 4 000 cm3边长为20 cm , S在底为的射影审题视点而出直观图后求解.此几何体的图为SABCD，旦平面SCD平面ABCD. ABCD为正方形, 为 CD 的牛|点 E，SE=20 ctn, Vsabcd=5S=abcdSE=.故选 B.左法锦囊.2解答此类题目时：（1）可以从熟知的某一视图出发，想象出直.观图，再验证其他视图是否正确

9、:视图中标注的长度在直观图中代表什么，要分辨清楚；（3）视图之间的数最关系：正俯长对正，正侧高平齐，侧俯宽相等.例2.如图是某三棱柱被削去一个底而后的直观图与侧（左）视图、俯视图.巳知CF=2AD,侧（左）视图是边 长为2的等边三角形；俯视图是直角梯形，有关数据如图所示.求该几何体的体积.解如图，取CF的中点F,过尸作PQ/CB交BE于Q,连接PD, QD, AD/CP,且AD=CP.四边形ACPD为平行四边形，:.AC/PD.平面POQ平面A8C,该几何体可分割成三棱柱PDQCAB和四棱锥DPQEF,V= y 三棱柱 PDQCAg+ yDPQEF = 2X2n 60乂2 + JX 2 XV

10、= 3,.例3.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多而体的三视图，则该多而体的个条棱中,最长的棱的长度为A.62 B.4V2 C.6 DA答案：B【课堂小结】几何体的内切球和外接球三视图巩固提升学习单1.若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球表而积之比为（）A. 3 ： 1 B.4 : 1 C.5 : 1 D. 6 ： 1【答案】C【解析】设内切球的半径为r,外接球的半径为 R,底边边长为a,则产+土）2=如_所以S外接球=R： =53 6 S内切球r2TT2.在正四棱锥S-ABCD中，侧|印与底面所成的角为，则它的外接球半径R与内切球半径，之比为（）33 5A

11、. 5 B. - C. 10 D.22【答案】D3.巳知四面体ABCDP，AB = AD=6, AC=4, CD=2而，ABL平面ACD,则四面体 ABCD夕卜接球的表面积为（）A. 36兀 B. 88兀 C. 92兀 D. 128兀【答案】B【解析】 试题分析：在AAC。中，由 AO=6, AC=4, CD=2而,可得 AD2-AC2=CD2,则 AC 1 AD,又AB1YH1ACD,故 2R = V42 + 62 + 62 =88 = 222 ,则 V = 4（722）2 =88.4.一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三佑形，则 该几何体的外接球

12、的表面枳为俯视图【解析】由三视图可得，该儿何体为一条侧棱垂直于底面的四棱锥，如下图中C-A3C。，其中底面ABCD为边长为1的正方形，GC = 1由图可知，该四棱锥的外接球球心即该四棱锥所在的正方体的中心,由此可得球半径/? = ,所以其表面积为SdTrR =3兀 25.在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是SC、BC的中点，且初若侧棱SA=2VL 则正三棱椎S-ABC外接球的表俑积为【解析】 如图，因为M,N分别是SC,BC中点，所以MN/SB.而S-ABC是正三棱锥，所以SB VAC,所以MN VAC o因为MN 1AM ,所以MN 1面SAC ,从而可得跚面SAC ,故ZBSA = /BS

13、C = ZASB = 90将此正三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球。因为侧棱S人=2 JL所以补成的正方体的边长为20,则它们的外接球半径/? = -23=3 ,所以外接球表面积为26.已知四面体P-ABC的外接球的球心。在AB上，且PO L平面ABC , 2AC = 3AB ,若四面体3 P-ABC的体积为，则该球的体积为 2【答案】4压【解析】试题分析：设球的半径为R,因为球心。在A8上，所以0为AB的中点，且ABC为直角三角形，因为2AC = 0AB ,所以 AC = AB = j3Rf BC = R , 2所以VP ABC =-xS心如xOP = LxLxRxxR = ,.R3 =

14、 3,所以该球的体积为-兀快=4岳.3 3 2 2 3考点：本小题主要考查四面体的内接球的体积计算.点评：解决此小题的关键是分析出MBC是直角三角形，考查学生的空间想象能力和运算求解能力.7.在平行四边ABCD中，ZABD = 90 , 2AB2 + BD2 = 4将其沿BD折成直二面的A-BD-C,则三棱锥ABCD的外接球的体积为.【答案】3【解析】试题分析：因为球心到各定点的距离相等，所以易知该外接球的球心在AC的中点，又在平行四边ABCD 中，ZABD = 90 ,所 以 2*g2 + Bo2=4n AO2 + AB2=4，而 折成 直二面 角后，AC2 = AD2 + CD2 = AD

15、2 + AB2 = 4,/. AC = 29所以该外接球的球半径为1,所以体积为 .考点：本小题主要考查空间几何体的外接球的体积.点评：对于这种折叠问题，要搞清楚折控前后的量有哪些发生了变化，哪些没有发生变化.8.如图是一个空间儿何体的三视图，则该儿何体的外接球的表面积为.2俯视图【答案】8）【解析】试题分析：由三视图可知空间几何体为三棱锥，底面为直角三角形，侧棱垂直于底面，设底面为ABC,匕8 = 90,侧棱S4 J_A8,S* J.AC所以其外接球球心在SC中点处，球的半径,=很，所以表考点：三视图及球的表面积计算点评：先由三视图还原直观图在求其外接球的表面积9.圆台的轴截而而积是Q,母线

16、与下底而成60。角，则圆台的内切球的表而积是（）。（A）f（B）TQ （C）2Q （d）4q【答案】D10.己知球。是棱长为1的正方体ABCD-AQD,的内切球，贝ij平面AC截球。的截面面积为.【答案】5O11.如图，多面体ABCD-EFG的底面A8C。为正方形，FC=GD = 2EA,其俯视图如下，则其正视图和侧解析由三视图还原的几何体为两底面为等腰梯形的直棱柱，梯形的面积为 乌(2 + 84=20,所以棱柱的体积为20x10=200.答案C)14.某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是14 16A. 4 B C D. 6解析 由四棱台的三视图可知该四棱台的上底而是边长为1的正方形，下底而是边长为2的正方形，高为 2.由棱台的体积公式可知该四棱台的体积V=|(l2+V?+22)x2=y,故选B.