三角形综合题.docx

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三角形综合题

三角形综合题

一．解答题（共30小题）

1．如图所示，在△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B．

（1）求证：

CD⊥AB；

（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长．

2．如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，点F是DE的中点，AB与AG关于AE对称，AE与AF关于AG对称．

（1）求证：

△AEF是等边三角形；

（2）若AB=2，求△AFD的面积．

3．如图，四边形ABCD中，∠C=90°，AD⊥DB，点E为AB的中点，DE∥BC．

（1）求证：

BD平分∠ABC；

（2）连接EC，若∠A=30°，DC=

，求EC的长．

4．如图，已知AC=4，求AB和BC的长．

5．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=b，BC=a，请你利用这个图形解决下列问题：

（1）试说明a2+b2=c2；

（2）如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求（a+b）2的值．

6．如图，已知在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=2cm，AD=

cm，CD=5cm，BC=4cm，求四边形ABCD的面积．

7．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．

观察：

3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．

（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：

　　；

（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为　　和　　，请用所学知识说明它们是一组勾股数．

8．如图，一学校（点M）距公路（直线l）的距离（MA）为1km，在公路上距该校2km处有一车站（点N），该校拟在公路上建一个公交车停靠点（点p），以便于本校职工乘车上下班，要求停靠站建在AN之间且到此校与车站的距离相等，请你计算停靠站到车站的距离．

9．如图，圆柱形玻璃容器高19cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1.5cm的点A处有一只蜘蛛，距蜘蛛正对面的圆柱形容器的上底1.5cm处的点B处有一只苍蠅，蜘蛛急于捕捉苍蝇充饥，请你帮蜘蛛计算它沿容器侧面爬行的最短长度．

10．如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm．

（1）在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？

（2）此长方体盒子（有盖）能放入木棒的最大长度是多少？

11．阅读下面的文字，回答后面的问题．

例：

求1+3+32+35+…+3100的值．

解：

令S=1+3+32+33+…+3100①．

将等式两边提示乘以3得到：

3S=3+32+33+34+…+3101②．

②﹣①得到：

2S=3101﹣1，∴S=

．

∴1+3+32+33+…+3100=

．

问题：

（1）求1+2+4+8+…+22016的值；

（2）求2+6+18+…+2×350的值；

（3）如图，在等腰Rt△OAB中，OA=AB=1，以斜边OB为腰作第二个等腰Rt△OBC，再以斜边OC为腰作第三个等腰Rt△OCD，如此下去…一直作图到第100个图形为止．求所有的等腰直角三角形的所有斜边之和．（直接写出结果．

12．如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F．点E是AB的中点，连接EF．

（1）求证：

EF∥BC；

（2）若四边形BDFE的面积为9，求△ABD的面积．

13．如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E．点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F．

（1）求证：

CM=EM；

（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大小；

（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：

AN∥EM．

14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A、B重合），作∠DPQ=60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．

（1）用含t的代数式表示线段DC的长；

（2）当点Q与点C重合时，求t的值；

（3）设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

（4）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，直接写出t的值．

15．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D．

（1）如图1，点E，F在AB，AC上，且∠EDF=90°．求证：

BE=AF；

（2）点M，N分别在直线AD，AC上，且∠BMN=90°．

①如图2，当点M在AD的延长线上时，求证：

AB+AN=

AM；

②当点M在点A，D之间，且∠AMN=30°时，已知AB=2，直接写出线段AM的长．

16．已知点A（3，4），点B为直线x=﹣1上的动点，设B（﹣1，y）．

（1）如图①，若△ABO是等腰三角形且AO=AB时，求点B的坐标；

（2）如图②，若点C（x，0）且﹣1＜x＜3，BC⊥AC垂足为点C；

①当x=0时，求tan∠BAC的值；

②若AB与y轴正半轴的所夹锐角为α，当点C在什么位置时tanα的值最大？

17．我们定义：

等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），如图①，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=

．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：

（1）sad90°=　　．

（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是　　．

（3）如图②，已知sinA=

，其中∠A为锐角，试求sadA的值．

18．已知关于x的方程x2﹣（m+n+1）x+m（n≥0）的两个实数根为α、β，且α≤β．

（1）试用含α、β的代数式表示m和n；

（2）求证：

α≤1≤β；

（3）若点P（α，β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（1，2）、B（

，1）、C（1，1），问是否存在点P，使m+n=

？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

19．如图1，在等边△ABC和等边△ADP中，AB=2，点P在△ABC的高CE上（点P与点C不重合），点D在点P的左侧，连接BD，ED．

（1）求证：

BD=CP；

（2）当点P于点E重合时，延长CE交点BD于点F，请你在图2中作出图形，并求出BF的长；

（3）直接写出线段DE长度的最小值．

20．如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，AB、CD交于点F，连接BD．

（1）求证：

△ECA≌△DCB；

（2）求证：

AE2+AD2=2AC2；

（3）若AE=2，AF：

CF=

：

3，求线段AB的长．

21．如图，△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D，∠FAC=

∠ABC，且∠FAC在AC下方．点P，Q分别是射线BD，射线AF上的动点，且点P不与点B重合，点Q不与点A重合，连接CQ，过点P作PE⊥CQ于点E，连接DE．

（1）若∠ABC=60°，BP=AQ．

①如图1，当点P在线段BD上运动时，请直接写出线段DE和线段AQ的数量关系和位置关系；

②如图2，当点P运动到线段BD的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；

（2）若∠ABC=2α≠60°，请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时，能使

（1）中①的结论仍然成立（用含α的三角函数表示）．

22．如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=

．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM（P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒．

（1）求cosA的值；

（2）当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=

S△QCN时，求t的值；

（3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．

23．

（1）问题发现

如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：

①

的值为　　；

②∠AMB的度数为　　．

（2）类比探究

如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断

的值及∠AMB的度数，并说明理由；

（3）拓展延伸

在

（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=

，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．

24．已知：

△ABC是等腰三角形，CA=CB，0°＜∠ACB≤90°．点M在边AC上，点N在边BC上（点M、点N不与所在线段端点重合），BN=AM，连接AN，BM，射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE=DE．

（1）如图，当∠ACB=90°时

①求证：

△BCM≌△ACN；

②求∠BDE的度数；

（2）当∠ACB=α，其它条件不变时，∠BDE的度数是　　（用含α的代数式表示）

（3）若△ABC是等边三角形，AB=3

，点N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长．

25．

（1）操作发现：

如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：

线段GM与GN的数量关系是　　；位置关系是　　．

（2）类比思考：

如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？

请说明理由．

（3）深入研究：

如图③，小明在

（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．

26．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．

（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；

（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由

（3）若|CF﹣AE|=2，EF=2

，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．

27．问题呈现

如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值．

方法归纳

求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．

问题解决

（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为　　；

（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值；

思维拓展

（3）如图3，AB⊥BC，AB=4BC，点M在AB上，且AM=BC，延长CB到N，使BN=2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．

28．如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD=CE．

（1）如图1，求证：

∠CAE=∠CBD；

（2）如图2，F是BD的中点，求证：

AE⊥CF；

（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC=2

，CE=1，求△CGF的面积．

29．已知：

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，∠C=90°，OB=25，OC=20，若点M是边OC上的一个动点（与点O、C不重合），过点M作MN∥OB交BC于点N．

（1）求点C的坐标；

（2）当△MCN的周长与四边形OMNB的周长相等时，求CM的长；

（3）在OB上是否存在点Q，使得△MNQ为等腰直角三角形？

若存在，请求出此时MN的长；若不存在，请说明理由．

30．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．

（1）求证：

BD=CE；

（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，

①当∠EAC=90°时，求PB的长；

②直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值．