概率论与数理统计答案汇总版.docx
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概率论与数理统计答案汇总版
概率论与数理统计答案（汇总版）
篇一：
概率论与数理统计教程答案（徐建豪版）
习题
1、写出下列随机试验的样本空间.
（1）生产产品直到有4件正品为正，记录生产产品的总件数.
（2）在单位园中任取一点记录其坐标.
（3）同时掷三颗骰子，记录出现的点数之和.
解：
（1）?
?
{4,5,6,7,8?
}
（2）?
?
{（）x2?
y2?
1}
（3）?
?
{3,4,5,6,7,8,9,10,?
18}
2、同时掷两颗骰子，x、y分别表示第一、二两颗骰子出现的点数，设事件A表示“两颗骰子出现点数之和为奇数”，B表示“点数之差为零”，C表示“点数之积不超过20”，用样本的集合表示事件B?
A，BC，B?
C.
解：
B?
A?
{（）,（）,（）,（）,（）,（）}
BC?
{（）,（）,（）,（）}
B?
C?
{（）,（）,（）,（）,（）,（）,（）,（）,（）,（）}
3、设某人向靶子射击3次，用Ai表示“第i次射击击中靶子”（i?
1,2,3），试用语言描述下列事件.
（1）A1?
A2
（2）（A1?
A2）A3（3）A1A2?
A2A2
解：
（1）第1，2次都没有中靶
（2）第三次中靶且第1，2中至少有一次中靶
（3）第二次中靶
4．设某人向一把子射击三次，用Ai表示“第i次射击击中靶子”（i=1，2，
3），使用符号及其运算的形式表示以下事件：
（1）“至少有一次击中靶子”可表示为；
（2）“恰有一次击中靶子”可表示为；
（3）“至少有两次击中靶子”可表示为；
（4）“三次全部击中靶子”可表示为；
（5）“三次均未击中靶子”可表示为；
（6）“只在最后一次击中靶子”可表示为.解：
（1）A1?
A2?
A3;
（2）A123?
1A23?
12A3;
（3）A1A2?
A1A3?
A2A3;（4）A1A2A3;（5）123（6）12A3
5.证明下列各题
（1）A?
B?
A
（2）A?
B?
（A?
B）?
（AB）?
（B?
A）
证明：
（1）右边=A（?
?
B）?
A?
AB=A且?
?
B?
?
A?
B=左边
（2）右边=（AB）?
（AB）?
（BA）=A或?
?
B?
?
A?
B
习题
1.设A、B、C三事件，P（A）?
P（B）?
P（C）?
1
4
P（AC）?
P（BC）?
1
8,P（AB）?
0，求A、B、C至少有一个发生的概率.
解：
?
P（AB）?
0?
P（ABC）?
0
P（A?
B?
C）.?
P（A）?
P（B）?
P（C）?
P（AB）?
P（BC）?
P（AC）?
P（ABC）=3?
11
4?
2?
8?
1
2
2.已知p（）?
，P（B）?
，P（B）?
，求
（1）P（AB）
（2）P（A?
B），（3）P（A?
B），（4）P（AB）.
解：
（1）
?
A?
B,?
AB?
A
?
P（AB）?
P（A）?
（2）
?
A?
B,?
A?
B?
B
?
P（A?
B）?
P（B）?
3.设P（A）=（A?
B）=互斥，求P（B）.
解：
?
A,B互斥，P（A?
B）?
P（A）?
P（B）
,，
故P（B）?
P（A?
B）?
P（A）
4.设A、B是两事件且P（A）=,P（B）?
（1）在什么条件下P（AB）取到最大值，最大值是多少？
（2）在什么条件下P（AB）取到最小值，最小值是多少？
解：
由加法公式P（AB）?
P（A）?
P（B）?
P（A?
B）=?
P（A?
B）
（1）由于当A?
B时A?
B?
B，P（A?
B）达到最小，即P（A?
B）?
P（B）?
，则此时P（AB）取到最大值，最大值为
（2）当P（A?
B）达到最大，即P（A?
B）?
P（?
）?
1，则此时P（AB）取到最小值，最小值为
5.设
P（A）?
P（B）?
P（C）?
1115,P（AB）?
P（BC）?
P（AC）?
P（?
?
）?
4816求P（A?
B?
C）.解：
P（ABC）?
1?
P（ABC）?
1?
P（?
?
）?
1?
151?
1616
P（A?
B?
C）.?
P（A）?
P（B）?
P（C）?
P（AB）?
P（BC）?
P（AC）?
P（ABC）=3?
1117?
3481616
习题
1.从一副扑克牌（52张）中任取3张（不重复）求取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率.
解：
设事件A={3张中至少有2张花色相同}则A={3张中花色各不相同}
3111C4C13C13C13P（A）?
1?
P（A）?
1?
?
3C52
只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率.
3解法一随机试验是从50只铆钉随机地取3个，共有C50种取法，而发生“某
3C31一个部件强度太弱”这一事件只有C这一种取法，其概率为3?
，而10C501960033
个部件发生“强度太弱”这一事件是等可能的，故所求的概率为
p?
?
pi?
i?
110101?
196001960
3解法二样本空间的样本点的总数为C50，而发生“一个部件强度太弱”这
13一事件必须将3只强度太弱的铆钉同时取来，并都装在一个部件上，共有C10C3
种情况，故发生“一个部件强度太弱”的概率为
13C10C31p?
?
31960C50
3.从1至9的9个整数中有放回地随机取3次，每次取一个数，求取出的3个数之积能被10整除的概率.
解法一设A表示“取出的3个数之积能被10整除”，
，A1表示“取出的3个数中含有数字5”
，A2表示“取出的3个数中含有数字偶数”
P（A）?
P（A1A2）?
1?
P（A1A2）
?
1?
P（A1?
A2）?
1?
P（A1）?
P（A2）?
P（A1A2）
?
8?
?
5?
?
4?
?
119?
?
9?
?
9?
解法二设Ak为“第k次取得数字，Bk为“第k次取得偶数”，5”k?
1,2,3。
则A?
（A1?
A2?
A3）（B1?
B2?
B3）333
A?
（A1A2A3）?
（B1B2B3）
P（A）?
P（A1A2A3）?
P（B1B2B3）?
P（A1A2A3B1B2B3）
由于是有放回地取数，所以各次抽取结果相互独立，并且
P（A1）?
P（A2）?
P（A3）?
85，P（B1）?
P（B2）?
P（B3）?
99
P（A1B1）?
P（A2B2）?
P（A3B3）?
49
33?
8?
?
5?
?
4?
因此P?
A?
?
1?
PA?
1?
[]?
1?
?
?
9?
?
9?
?
9?
4.袋内装有两个5分，三个2分，五个1分的硬币，任意取出5个，求总数超过1角的概率.
5解共10个钱币，任取5个，基本事件的总数N?
C10，有利的情况，即5?
3
个钱币总数超过一角的情形可列举6种
（1）5，5，2，2，2；
（2）5,5,2,2,1;（3）5,5,2,1,1;（4）5,5,1,1,1;（5）5,2,2,2,1;（6）5,2,2,1,1.故包含的基本事件数为
2322121223131122N（A）?
C2C3?
C2C3C3?
C2C3C5?
C2C5?
C2C3C5?
C2C3C5
?
1?
3?
5?
3?
10?
10?
2?
5?
2?
3?
10?
126故所求概率为P?
1261?
5C102
5.设有N件产品，其中M件次品，今从中任取n件，
（1）求其中恰有k（k?
min（M,n））件次品的概率；
（2）求其中至少有2件次品的概率.
kn?
knn?
1CMCNCN?
M?
M?
MCN?
M解：
（1）
（2）1-nnCNCN
6．设n个朋友随机的围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：
（1）甲乙两人坐在一起，且乙在甲的左边；
（2）甲、乙、丙三人坐在一起；
（3）如果n个人并列坐在一张长桌的一边，再求上述事件的概率.
（n?
1）!
解
（1）n个朋友随机的围绕圆桌而坐，样本空间样本点总数为
而事件A为甲乙两人坐在一起，且乙在甲的左边，可将两人“捆绑”在一起，看成是“一个”人占“一个”座位，有利于事件A发生的样本点个数为（n?
2）!
于是P（A）?
（n?
2）!
1?
（n?
1）!
n?
1
（n?
1）!
，而事
（2）n个朋友随机的围绕圆桌而坐，样本空间样本点总数为
篇二：
第三版__课后习题答案._
习题一：
写出下列随机试验的样本空间：
（1）某篮球运动员投篮时,连续5次都命中,观察其投篮次数;
解：
连续5次都命中，至少要投5次以上，故?
1?
?
5,6,7,?
?
；
（2）掷一颗匀称的骰子两次,观察前后两次出现的点数之和;
解：
?
2?
?
2,3,4,?
11,12?
；
（3）观察某医院一天内前来就诊的人数;
解：
医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以?
3?
?
0,1,2,?
（4）从编号为1，2，3，4，5的5件产品中任意取出两件,观察取出哪两件产品;解：
属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：
?
4?
?
i,j?
?
i?
j?
5?
;
（5）检查两件产品是否合格;
解：
用0表示合格,1表示不合格，则?
50,0?
?
0,1?
?
1,0?
?
1,1?
?
；
（6）观察某地一天内的最高气温和最低气温（假设最低气温不低于T1,最高气温不高于T2）;解：
用x表示最低气温,y表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故：
?
6?
?
x,y?
1?
x?
y?
T2?
；；
（7）在单位圆内任取两点,观察这两点的距离;
解：
?
7?
x0?
x?
2?
；
（8）在长为l的线段上任取一点,该点将线段分成两段,观察两线段的长度.
解：
?
8?
?
x,y?
x?
0,y?
0,x?
y?
l?
；
（1）A与B都发生,但C不发生;AB；
（2）A发生,且B与C至少有一个发生;A（B?
C）；
（3）A,B,C中至少有一个发生;A?
B?
C；
?
?
（4）A,B,C中恰有一个发生;A?
B?
；
（5）A,B,C中至少有两个发生;AB?
AC?
BC；
（6）A,B,C中至多有一个发生;?
?
；
（7）A;B;C中至多有两个发生;ABC
（8）A,B,C中恰有两个发生.BC?
AC?
AB；
注意：
此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
设样本空间?
?
x0?
x?
2?
事件A=?
x?
1?
B?
?
x?
?
具体写出下列各事件：
（1）AB;
（2）A?
B;（3）A?
B;（4）A?
B
（1）AB?
?
x?
1?
；
（2）A?
B=?
x?
?
；
（3）A?
B=x0?
xx?
2?
;
（4）A?
B=x0?
xx?
2?
按从小到大次序排列P（A）,P（A?
B）,P（AB）,P（A）?
P（B）,并说明理由.
解：
由于AB?
A,A?
（A?
B）,故P（AB）?
P（A）?
P（A?
B），而由加法公式，有：
P（A?
B）?
P（A）?
P（B）
解：
（1）昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：
P（W?
E）?
P（W）?
P（E）?
P（WE）?
（2）由于事件W可以分解为互斥事件WE,W，昆虫出现残翅,但没有退化性眼睛对应事件概率为：
P（W）?
P（W）?
P（WE）?
（3）昆虫未出现残翅,也无退化性眼睛的概率为：
P（）?
1?
P（W?
E）?
解：
（1）由于AB?
A,AB?
B，故P（AB）?
P（A）,P（AB）?
P（B）,显然当A?
B时P（AB）
取到最大值。
最大值是
（2）由于P（AB）?
P（A）?
P（B）?
P（A?
B）。
显然当P（A?
B）?
1时P（AB）取到最小值，最小值是
解：
因为P（AB）=0，故P（ABC）=,B,C至少有一个发生的概率为：
P（A?
B?
C）?
P（A）?
P（B）?
P（C）?
P（AB）?
P（BC）?
P（AC）?
P（ABC）?
解
（1）通过作图，可以知道，P（A）?
P（A?
B）?
P（B）?
（2）P（AB）?
1?
P（AB）?
1?
（P（A）?
P（A?
B））?
（3）由于P（AB）?
P（）?
1?
P（A?
B）?
1?
（P（A）?
P（B）?
P（AB））
?
1?
P（A）?
P（B）?
P（AB）
P（B）?
1?
P（A）?
解：
用Ai表示事件“杯中球的最大个数为i个”i=1,2,3。
三只球放入四只杯中，放法有
4?
4?
4?
64种，每种放法等可能。
对事件A1：
必须三球放入三杯中，每杯只放一球。
放法4×3×2种，故P（A1）?
（选排列：
好比3个球在4个位置做排列）。
38
对事件A3：
必须三球都放入一杯中。
放法有4种。
（只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种），故P（A3）?
解：
此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。
.出现点数和为“3”对应两个基本事件（1，2），（2，1）。
故前后两次出现的点数之和为3的概率为1319。
P（A2）?
116816161。
18同理可以求得前后两次出现的点数之和为4，5的概率各是
（1）11,。
129
解：
从10个数中任取三个数，共有C10?
120种取法，亦即基本事件总数为120。
（1）若要三个数中最小的一个是5，先要保证取得5，再从大于5的四个数里取两个，取法有2C4?
6种，故所求概率为31。
20
1。
12
（2）若要三个数中最大的一个是5，先要保证取得5，再从小于5的五个数里取两个，取法有C5?
10种，故所求概率为
解：
分别用A1,A2,A3表示事件：
（1）取到两只黄球;
（2）取到两只白球;（3）取到一只白球,一只黄球.则
2C822814C46116P（A1）?
2?
?
P（A2）?
2?
?
P（A3）?
1?
P（A1）?
P（A2）?
。
C126633C126611332
解：
P（（A?
）B）?
P（（A?
）?
B）P（（AB）?
（B））?
P（B）P（B）
P（AB）P（A）?
P（A）?
?
P（B）P（B）由于P（B）?
0，故P（（A?
）B）?
（1）P（A?
B）;
（2）P（?
B）;
解：
（1）P（A?
B）?
P（A）?
P（B）?
P（AB）?
1?
P（B）P（AB）?
1
（2）P（?
B）?
P（）?
P（B）?
P（B）?
1?
P（B）P（B）?
1注意：
因为P（AB）?
，所以P（B）?
1?
P（AB）?
。
解：
用Ai表示事件“第i次取到的是正品”（i?
1,2,3），则i表示事件“第i次取到的是次品”（i?
1,2,3）。
P（A1）?
15331421?
P（A1A2）?
P（A1）P（A2A1）20441938
（1）事件“在第一、第二次取到正品的条件下,第三次取到次品”的概率为：
P（3A1A2）?
5。
18
（2）事件“第三次才取到次品”的概率为：
P（A1A23）?
P（A1）P（A2A1）P（3A1A2）?
（3）事件“第三次取到次品”的概率为：
151453520191822814
此题要注意区分事件
（1）、
（2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。
再例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。
用Ai表示事件“第i次取到的是正品”（i?
1,2），
篇三：
概率论与数理统计课后习题答案____完整校对版
复旦大学
习题一
1．略.见教材习题参考答案.
2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：
（1）A发生，B，C都不发生；
（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；
（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；
（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.解
（1）ABC
（2）ABC（3）ABC
（4）A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC（5）ABC=A?
B?
C（6）ABC
（7）ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C（8）AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC3.略.见教材习题参考答案
4.设A，B为随机事件，且P（A）=,P（A?
B）=，求P（AB）.解P（）=1?
P（AB）=1?
[P（A）?
P（A?
B）]
=1?
[?
]=
5.设A，B是两事件，且P（A）=,P（B）=,求：
（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？
（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？
解
（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为
（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为
6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，
P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.
解P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）?
P（AB）?
P（BC）?
P（AC）+P（ABC）
=
11113++?
=443124
7.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率
是多少？
5332
解p=C13C13C13C13/C1352
8.对一个五人学习小组考虑生日问题：
（1）求五个人的生日都在星期日的概率；
（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；（3）求五个人的生日不都在星期日的概率.解
（1）设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故P（A1）=
115
=（）（亦可用独立性求解，下同）757
（2）设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故
6565
P（A2）=5=（）
77
（3）设A3={五个人的生日不都在星期日}
P（A3）=1?
P（A1）=1?
（
15
）7
9.略.见教材习题参考答案.
10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n30.
如图阴影部分所示.
3021P?
2?
604
22.从（0，1）中随机地取两个数，求：
6
的概率；51
（2）两个数之积小于的概率.
4
（1）两个数之和小于解设两数为x,y，则0（1）x+y<
6.5
144
17
p1?
1
125
1
（2）xy=<.
4
p2?
1?
?
?
1?
11dxdy11ln24x?
4?
421
23.设P（A）=,P（B）=,P（AB）=，求P（B｜A∪B）解P（BA?
B）?
P（AB）PA（?
）PAB（）
?
P（A?
B）P（A）?
P（B）?
P（AB）
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