专题平面直角坐标系与函数的概念.docx

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专题平面直角坐标系与函数的概念

专题12平面直角坐标系与函数的概念

一、考纲要求

1.认识并能画出平面直角坐标系；在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标．

2.能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置；能结合具体情境灵活运用多种方式确定物体的位置．

3.在同一直角坐标系中，感受图形变化后点的坐标的变化和各点坐标变化后图形的变化．

4.了解函数的一般概念，会用解析法表示简单函数．

二、知识梳理

1.平面直角坐标系

（1）坐标平面内的点与_有序实数对一一对应．

（2）根据点所在位置填表（图）

点的位置

横坐标符号

纵坐标符号

第一象限

+

+

第二象限

-

+

第三象限

-

-

第四象限

+

-

（3）

轴上的点__纵_坐标为0，

轴上的点__横_坐标为0.

平行于x轴的直线上的点_纵_坐标相等，平行于y轴的直线上的点_横_坐标相等.

（4）各象限角平分线上的点的坐标特征

①第一、三象限角平分线上的点，横、纵坐标相等，可以用直线__y=x__表示.

②第二、四象限角平分线上的点，横、纵坐标互为相反数，可以用直线_y=-x_表示.

（5）P（x,y）关于

轴对称的点坐标为_（x,-y）_，关于

轴对称的点坐标为_（-x,y）_，

关于原点对称的点坐标为_（-x,-y）_.

以上特征可归纳为：

①关于x轴对称的两点：

横坐标相同，纵坐标互为相反数；

②关于y轴对称的两点：

横坐标互为相反数，纵坐标相同；

③关于原点对称的两点：

横、纵坐标均互为相反数.

2.函数基础知识

（1）函数:

如果在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，此时称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．

（2）自变量的取值范围：

①首先要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.

函数关系式是整式，自变量取值是全体实数．

函数关系式含有分式，自变量取值应使得分母不等于0．

函数关系式含有偶次根式，自变量取值应使得被开方数为非负数．

例如：

有意义，则自变量x的取值范围是x≥0.

有意义，则自变量

的取值范围是x≠0.

②实际问题的函数式，使实际问题有意义.

（3）常量与变量：

常量：

在某变化过程中不变的量.变量：

在某变化过程中变化的量.

（4）描点法画函数图象的一般步骤是__列表_、__描点__、_连线_．

（5）函数的三种表示方法:

①列表法；②图象法；③解析法.

三、要点精析

1.平面直角坐标系

重点之一是掌握平面内点的坐标的表示方法及求法；能建立适当的坐标系来描述某些点所处的位置.难点是用坐标表示平面内点的位置及判断坐标平面上点的坐标.

点的坐标的意义:

平面直角坐标系中，点的坐标是由两个有顺序的实数组成，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”分开，如（-2，3），横坐标是-2，纵坐标是-3，其位置不能颠倒，（-2，3）与（3，-2）是指两个不同的点的坐标.要熟练掌握确定平面内点的坐标的方法，注意不要把横纵坐标弄混.

从近几年的考试题看，对于平面直角坐标系主要考查已知点的坐标，确定点的位置及求其对称点的坐标，这类问题多以填空、选择形式出现，虽然难度不是很大，但有些问题的知识集合性还是较强的.可能会由于相关的其他章节的知识不扎实，而导致对点的位置的判断失误，还有就是考查通过建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置的能力，该问题难度不大，一般情况下，都是建立常规的平面直角坐标系（如向东为x轴正向，向北为y轴正向）同时给出单位长（有网格）.

2.函数的概念

掌握函数的概念，并能判断两个变量之间的关系是否是函数的关系，应抓住以下三点：

（1）函数的概念由三句话组成：

“两个变量”，“x的每一个值”，“y有唯一确定的值与之对应”；

（2）判断两个变量是否有函数关系不是看它们之间是否有关系式存在，更重要的是看对于x的每一个确定的值，y是否有唯一确定的值与之对应；

（3）函数不是数，它是指在某一变化的过程中两个变量之间的关系.

四、中考真题和试题精粹

1.（2015•浙江金华，第3题3分）点P（4，3）所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

试题分析：

根据平面直角坐标系中各象限点的特征，判断其所在象限，四个象限的符号特征分别是：

第一象限（＋，＋）；第二象限（－，＋）；第三象限（－，－）；第四象限（＋，－）.故点P（4，3）位于第一象限.故选A.

考点：

平面直角坐标系中各象限点的特征.

2.（2015•四川凉山州，第9题4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于直线y=x对称点的坐标是（）

A．（﹣3，﹣2）B．（3，2）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）

【答案】C

【解析】

试题分析：

点P关于直线y=x对称点为点Q，作AP∥x轴交y=x于A，∵y=x是第一、三象限的角平分线，∴点A的坐标为（2，2），∵AP=AQ，∴点Q的坐标为（2，﹣3）．故选C．

考点：

坐标与图形变化－对称．

3.函数

中，自变量x的取值范围是（）

A．x≠0B．x≠1C．x≠2D．x≠－2

【答案】D

【解析】

试题分析由x＋2≠0，得x≠－2．故选D．

点评：

求自变量的取值范围时应先建立自变量满足的所有不等式，通过解不等式（组）求得．

4.函数

中，自变量x的取值范围是（）

A．x≥－1B．－1＜x＜2C．－1≤x＜2D．x＜2

【答案】C

【解析】

试题分析：

由

得

即－1≤x＜2．故选C．

点评：

求自变量的取值范围时应先建立自变量满足的所有不等式，通过解不等式（组）求得．

5.（2012四川德阳3分）使代数式

有意义的x的取值范围是（）

A.

B.

C.

且

D.一切实数

【答案】C

【解析】

试题分析：

根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使

在实数范围内有意义，必须

.故选C.

考点：

二次根式和分式有意义的条件.

6.（2015•四川广安，第7题3分）如图，数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围，则这个函数解析式为（）

A.y=x+2B．y=x2+2C．y=

D．y=

【答案】

【解析】

试题分析：

分别求出个解析式的取值范围，对应数轴，即可解答．

试题解析：

A、y=x+2，x为任意实数，故错误；

B、y=x2+2，x为任意实数，故错误；

C、

，x﹣2≥0，即x≥2，故正确；

D、y=

，x+2≠0，即x≠﹣2，故错误；

故选：

C．

点评：

本题考查了函数自变量的取值范围，解决本题的关键是函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

考点：

函数自变量的取值范围；在数轴上表示不等式的解集．

7.（2012四川内江3分）函数

的图像在（）

A.第一象限B.第一、三象限C.第二象限

D.第二、四象限

【答案】A

【解析】

试题分析：

∵函数

的定义域为

，∴

，∴根据面直角坐标系中各象限点的特征知图像在第一象限，故选A.

考点：

函数的图象，函数的定义域和值域，平面直角坐标系中各象限点的特征.

8.（2012广东深圳3分）已知点P（a＋l，2a－3）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（）

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

试题分析：

根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”，再根据各象限内的点的坐标的特点列出不等式组求解即可：

∵点P（a＋1，2a－3）关于x轴的对称点在第一象限，∴点P在第四象限.

∴

.

解不等式①得，a＞－1，解不等式②得，a＜

，

所以，不等式组的解集是－1＜a＜

.故选B.

考点：

关于x轴对称的点的坐标，一元一次不等式组的应用.

9.若点P（

，

－2）在第四象限，则

的取值范围是（）．

A．－2＜

＜0B．0＜

＜2C．

＞2D．

＜0

【答案】B

【解析】

试题分析：

根据第四象限点的坐标符号，得出a＞0，a-2＜0，即可得出0＜a＜2，选出答案即可．

试题解析：

∵点P（a，a-2）在第四象限，∴a＞0，a-2＜0，

0＜a＜2．

故选B．

点评：

此题主要考查了各象限内点的坐标的符号特征以及不等式的解法，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：

第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．

10.（2015•山东威海，第6题3分）若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，b+1）在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】A

【解析】

试题分析：

根据第二象限内的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得关于a、b的不等式，再根据不等式的性质，可得B点的坐标符号．

试题解析：

由A（a+1，b﹣2）在第二象限，得

a+1＜0，b﹣2＞0．

解得a＜﹣1，b＞2．

由不等式的性质，得

﹣a＞1，b+1＞3，

点B（﹣a，b+1）在第一象限，

故选：

A．

点评：

本题考查了点的坐标，利用第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零得出不等式，又利用不等式的性质得出B点的坐标符号是解题关键．

考点：

点的坐标.

11.（2015•北京市，第8题，3分）右图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图.若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向.表示太和门的点坐标为（0，－1），表示九龙壁的点的坐标为（4，1），则表示下列宫殿的点的坐标正确的是（）

A．景仁宫（4，2）B．养心殿（－2，3）C．保和殿（1，0）D．武英殿（－3.5，－4）

【答案】B

【解析】

试题分析：

根据题意建立平面直角坐标系，得到各点的坐标即可.

试题解析：

根据太和门的点坐标为（0，－1），表示九龙壁的点的坐标为（4，1）可知原点是中和殿，如图建立平面直角坐标系，可知景仁宫（2，4），养心殿（－2，3），保和殿（0，1），武英殿（－3.5，－3），故选B.

点评：

本题考查平面直角坐标系的基本概念.

考点：

平面直角坐标系

12.一列快车从甲地开往乙地，一列慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车离乙地的路程S（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系如图所示，则下列结论中错误的是（）

A．甲、乙两地的路程是400千米B．慢车行驶速度为60千米/小时

C．相遇时快车行驶了150千米D．快车出发后4小时到达乙地

【答案】C

【解析】

试题分析：

根据函数的图象中的相关信息逐一进行判断即可得到答案：

观察图象知甲乙两地相距400千米，故A选项正确；

慢车的速度为150÷2.5=60千米/小时，故B选项正确；

相遇时快车行驶了400-150=250千米，故C选项错误；

快车的速度为250÷2.

5=100千米/小时，用时400÷100=4小时，故D选项正确.

故选C.

考点:

函数的图象.

13.（2015山东菏泽，7，3分）小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，加快了骑车速度，下面是小明离家后他到学校剩下的路程s关于时间t的函数图象，那么符合小明行驶情况的图象大致是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】

试题分析：

由于开始以正常速度匀速行驶，接着停下修车，后来加快速度匀驶，所以开始行驶路S是均匀减小的，接着不变，后来速度加快，所以S变化也加快变小，由此即可作出选择．

试题解析：

因为开始以正常速度匀速行驶﹣﹣﹣停下修车﹣﹣﹣加快速度匀驶，可得S先缓慢减小，再不变，在加速减小．故选：

D．

考点：

函数的图象．

14.（2015呼和浩特，5，3分）如果两个变量x、y之间的函数关系如图所示，则函数值y的取值范围是（）

A.－3≤y≤3B.0≤y≤2C.1≤y≤3D.0≤y≤3

【答案】D

【解析】

试题分析：

细心地审题观图，会发现函数值y的取值范围是0≤y≤3，自变量x的取值范围是－3≤y≤3.故选D.

考点:

函数的基本定义

15.（2012山东菏泽3分）点P（﹣2，1）在平面直角坐标系中所在的象限是（）

A．第一象限　　B．第二象限　　C．第三象限　　D．第四象限

【答案】B

【解析】

试题分析：

根据平面直角坐标系中各象限点的特征，判断其所在象限，四个象限的符号特征分别是：

第一象限（＋，＋）；第二象限（－，＋）；第三象限（－，－）；第四象限（＋，－）.所以点P（﹣2，1）位于第二象限.故选B.

考点：

平面直角坐标系中各象限点的特征.

16.（2012广西河池3分）下列图象中，表示y是x的函数的个数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【解析】

试题分析：

根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数：

第一个图象，对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象；

第二个图象，对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象；

第三个图象，对给定的x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象；

第四个图象，对给定的x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象.

综上所述，表示y是x的函数的有第一个、第二个，共2个.故选B.

考点：

函数的定义

17.点M（2，

）向上平移2个单位长度得到的点的坐标是（）

A．（2，0）B．（2，1）C．（2，2）D．（2，

）

【答案】B

【解析】

试题分析：

根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加.上下平移只改变点的纵坐标，下减上加.因此，

∵点M（2，-1）向上平移2个单位长度，∴－1＋2=1.

∴平移后的点坐标是（2，1）.故选B.

考点：

坐标平移.

18.（2012湖北荆门3分）已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】

试题分析：

由题意得，点M关于x轴对称的点的坐标为：

（1﹣2m，1﹣m），

又∵M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，

∴

，解得：

，在数轴上表示为：

.故选A.

考点：

关于x轴对称的点坐标的特征，平面直角坐标系中各象限点的特征，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集.

19.（2012浙江衢州3分）函数

的自变量x的取值范围在数轴上可表示为（）

A．

　　B．

　　C．

　　D．

【答案】D

【解析】试题分析：

根据二次根式有意义的条件，计算出

的取值范围，再在数轴上表示即可，不等式的解集在数轴上表示的方法：

＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示.

根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使

在实数范围内有意义，必须

.故在数轴上表示为：

.故选D.

考点：

函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，在数轴上表示不等式的解集.

20.（2015•四川省宜宾市，第8题，3分）在平面直角坐标系中，任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）规定运算：

①A⊕B=（x1+x2，y1+y2）；②A⊗B=x1x2+y1y2

③当x1=x2且y1=y2时A=B有下列四个命题：

（1）若A（1，2），B（2，–1），则A⊕B=（3，1），A⊗B=0；

（2）若A⊕B=B⊕C，则A=C；

（3）若A⊗B=B⊗C，则A=C；

（4）对任意点A、B、C，均有（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C）成立.其中正确命题的个数为（C）

A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　　D.4个

【答案】C

【解析】

试题分析：

（1）根据新定义可计算出A⊕B=（1+2，2-1）=（3，1），A⊗B=1×2+2×（-1）=0，所以

（1）正确；

（2）设C（x3，y3），A⊕B=（x1+x2，y1+y2），B⊕C=（x2+x3，y2+y3），

而A⊕B=B⊕C，所以x1+x2=x2+x3，y1+y2=y2+y3，则x1=x3，y1=y3，

所以A=C，所以

（2）正确；

（3）由于A⊗B=x1x2+y1y2，B⊗C=x2x3+y2y3，则x1x2+y1y2，B⊗C=x2x3+y2y3， 

而A⊗B=B⊗C，则x1x2+y1y2=x2x3+y2y3， 

不能得到x1=x3，y1=y3，所以A≠C，所以（3）不正确；

（4）因为（A⊕B）⊕C=（x1+x2+x3，y1+y2+y3），A⊕（B⊕C）=（x1+x2+x3，y1+y2+y3），

所以（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C），所以（4）正确．

故选C．

21.（2015•四川广安，第11题3分）如果点M（3，x）在第一象限，则x的取值范围是．

【答案】x＞0．

【解析】

试题分析：

根据第一象限内点的横坐标大于零，点的纵坐标大于零，可得答案．

试题解析：

由点M（3，x）在第一象限，得x＞0．

故答案为：

x＞0．

点评：

本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：

第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．

考点：

点的坐标．

22.（2015•四川眉山，第15题3分）点P（3，2）关于y轴对称的点的坐标是．

【答案】

【解析】

试题分析：

此题考查平面直角坐标系与对称的结合．根据平面直角坐标系点的对称性质求解即可.

试题解析：

点P（m，n）关于y轴对称点的坐标P′（﹣m，n），所以点P（3，2）关于y轴对称的点的坐标为（﹣3，2）．

点评：

考查平面直角坐标系点的对称性质．

考点：

关于x轴、y轴对称的点的坐标．.

23.（2014•山东烟台，第14题3分）在函数

中，自变量x的取值范围是．

【答案】x≤1且x≠﹣2.

【解析】

试题分析：

根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．

试题解析：

根据二次根式有意义，分式有意义得：

1﹣x≥0且x+2≠0，解得：

x≤1且x≠﹣2．

考点：

二次根式及分式有意义的条件．

点评：

本题考查的知识点为：

分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．

24.（2012四川自贡4分）函数

中，自变量x的取值范围是．

【答案】x≤2且x≠－1.

【解析】

试题分析：

求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使

在实数范围内有意义，必须

.

考点：

函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件.

25.函数

中，自变量x的取值范围是

【答案】

【解析】

试题分析：

求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使

在实数范围内有意义，必须

.

考点：

函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件.

26.（2015•湖南株洲，第10题3分）在平面直角坐标系中，点（－3，2）关于

轴的对称点的坐标是.

【答案】

【解析】试题分析：

可以利用图形解答，也可以记住规律，关于哪条轴对称，哪个坐标不变，关于原点对称都变.

答案为：

（3，2）

27.（2015年江苏南京2分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（2，-3），作点A关于x轴的对称点得到点A’，再作点A’关于y轴的对称点，得到点A’’，则点A’’的坐标是（，）．

【答案】-2；3.

【解析】

试题分析：

关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，从而点A（2，-3）关于x轴对称的点A’的坐标是（2，3）；关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，从而点A’（2，3）关于y轴对称的点A’’的坐标是（-2，3）.

考点：

关于x轴、y轴对称的点的坐标特征.

28.（2015年广东梅州3分）函数

的自变量

的取值范围是.

【答案】x≥0.

【解析】试题分析：

求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使

在实数范围内有意义，必须x≥0.

考点：

函数自变量的取值范围，二次根式.

29.（2015年浙江湖州4分）放学后，小明骑车回家，他经过的路程s（千米）与所用时间t（分钟）的函数关系如图所示，则小明的骑车速度是千米/分钟

【答案】0.2.

【解析】

试题分析：

由图象知，小明10分钟行驶了2千米/，∴小明的骑车速度是

千米/分钟.

考点：

正比例函数的图象.

30.（2015•南京，第13题3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（2，﹣3），作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是（______，_____）．

【答案】﹣2；3．

【解析】

试题分析：

∵点A的坐标是（2，﹣3），作点A关于x轴的对称点，得到点A′，∴A′的坐标为：

（2，3），∵点A′关于y轴的对称点，得到点A″，∴点A″的坐标是：

（﹣2，3）．故答案为：

﹣2；3．

考点：

关于x轴、y轴对称的点的坐标．

31.（2015·湖南省常德市，第14题3分）已知A点的坐标为（－1，3），将A点绕坐标原点顺时针90°，则点A的对应点的坐标为.

【答案】

【解析】

试题分析：

作出草图，可知△BCO≌△EDO，故可知BC＝OE，OC＝DE，答案为：

（3，1）

考点：

坐标点的变换规律

32.（2015•广东佛山，第14题3分）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是（﹣1，0）．现将△ABC绕点A顺时针旋转90°，则旋转后点C的坐标是．

【答案】（2，1）．

【解析】

试题分析：

根据网格结构找出点A、B、C绕点O顺时针旋转90°后的对应点的位置，然后顺次连接即可．

试题解析：

如图所示，△AB′C′即为△ABC绕点O顺时针旋转90°后的图形．

则C′（2，1），即旋转后点C的坐标是（2，1）．

故答案是：

（2，1）．

点评：

本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．

考点：

坐标与图形变化－旋转．

33.（2015•绵阳第14题，3分）如图是轰炸机机群的一个飞行队形，如果最后两架轰炸机的平面坐标分别为A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3），那么第一架轰炸机C的平面坐标是．

【答案】（2，﹣1）．

【解析】

试题分析：

根据A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3）的坐标以及与C的关系进行解答即可．

试题解析：

因为A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3），

所以可得点C的坐标为（2，﹣1），

故答案为：

（2，﹣1）．

点评：

此题考查坐标问题，关键是根据A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3）的坐标以及与C的关系解答．

考点：

坐标确定位置．

34.（2015•四川甘孜、阿坝，第25题4分）如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；…）的中心均在坐