第一章直线和平面 两条异面直线所成的角.docx

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第一章直线和平面两条异面直线所成的角

高中立体几何教案第一章直线和平面两条异面直线所成的角练习课之二教案

教学目标

1．记忆并理解余弦定理；

2．应用余弦定理来求异面直线所成的角．

教学重点和难点

这节课的重点是以异面直线所成的角的概念为指导作出相应的角，然后用余弦定理解这个角所在的三角形求出这个角的余弦．这节课的难点是使学生初步理解当cosθ＞0时，0°＜θ＜90°，当cosθ=0时，θ=90°，当cosθ＜0时，90°＜θ＜180°．

教学设计过程

一、余弦定理

师：

余弦定理有哪两种表述的形式？

它们各有什么用途？

生：

余弦定理有两种表述的形式，即：

第一种形式是已知两边夹角用来求第三边，第二种形式是已知三边用来求角．

师：

在立体几何中我们主要用余弦定理的第二种形式，即已知三角形的三边来求角．

在余弦定理的第二个形式中，我们知道b2＋c2可以等于a2；也可以小于a2；也可以大于a2．那么，我们想当b2+c2=a2时，∠A等于多少度？

为什么？

生：

当b2＋c2=a2时，由勾股定理的逆定理可知∠A=90°．

师：

当b2＋c2＞a2时，∠A应该是什么样的角呢？

生：

因为cosA＞0，所以∠A应该是锐角．

师：

当b2＋c2＜a2时，∠A应该是什么样的角呢？

生：

因为这时cosA＜0，所以∠A应该是钝角．

师：

对，关于这个问题，我们只要求同学们有初步的理解即可．初步理解后应该记住、会用．现在明确提出当cosθ=0时，θ=90°，θ是直角；当cosθ＞0时，0°＜θ＜90°，θ是锐角当cosθ＜0时，90°＜θ＜180°，θ是钝角．下面请同学们回答下列问题：

生：

θ1等于45°，1等于135°，θ1+1=180°；θ2等于30°，2=150°，θ2+2=180°．

师：

一般说来，当cosθ=-cos时，角θ与角是什么关系？

生：

角θ与角是互补的两个角．即一个为锐角，一个

为钝角，且θ＋=180°．

（关于钝角的三角函数还没有定义，所以这里采用从特殊到一般的方法使学生有所理解即可）

二、余弦定理的应用

例1在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4．求异面直线A1B和AD1所成的角的余弦．（如图1）

师：

首先我们要以概念为指导作出这个角，A1B和AD1所成的角是哪一个角？

生：

因为CD1∥A1B，所以∠AD1C即为A1B与AD1所成的角．

师：

∠AD1C在△AD1C中，求出△AD1C的三边，然后再用余弦定理求出∠AD1C的余弦．

师：

根据这一道题的三种解法，我们可以看出，当用异面直线所成的角的概念，作出所成的角，这时所作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角．（异面直线所成的角的邻补角）

今天就讲这四个例题，这四个例题都是要用余弦定理来求异面直线所成的角．

作业

第三，关于在立体几何中的作图证明题还可以补充下例．

已知：

P点是∠BAC所在平面外一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，在平面BAC内过D作DF⊥AB，过E作EG⊥AC，EG∩DF=O，连结PO．

求证：

PO⊥平面ABC．

在讲完线面垂直的判定定理后，可补充这例，讲完这例后可说这也是过平面外一点作这个平面垂线的作图题．

在立体几何中的作图证明题，提出这两个题即可．没有时间、更没有必要扩充．