逻辑学悖论.docx
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逻辑学悖论
逻辑学悖论
如果你曾向学生介绍过逻辑学的基本概念，刁就会发现，凚没有什么比一个使人主意忽左忽右的悖论更能引起他们的兴趣了。
凐他们被一步一步地引上繁花似锦的小道，凘遵循着一条无懈可击的推理思路往前走，凎结果他们忽然发现自己已陷入矛盾之中。
凥到底是什么错了？
难道就在演绎推理这一过程背后有可能隐伏着什么倒霉的缺陷吗？
这一章的主要目的，刋是尽可能用娱乐的方式，刢通过提出现代逻辑学中最重要的悖论来引起学生的兴趣。
凭在这里，刧“悖论”这个词意思比其他部分要窄一点。
凭在其他几章中，凾悖论是强烈违反我们直觉的问题。
凞在这里，利悖论只是直接导致彼此矛盾的结果，凌就像证明2+2又等于4，列又不等于4一样。
凚逻辑悖论是“不可解”的，別除非能找到一种方法来完全消除这种恶性的矛盾。
凉
尽管从古希腊起到今天，刦逻辑悖论一直人们带来很大乐趣，减可是最伟大的数学家都总是极严肃地对待它。
凕在发展现代逻辑学和集合论中一些巨大进展正是努力解决经典悖论的直接结果。
刅在这里，利你会看到引自伯特兰德?
罗素的话，刎他谈到他花了好些年的时间研究悖论而没有成功，切后来他和阿尔弗雷德?
怀特里德合作，凟写了《数学原理》，凶这是一本奠基了现代形式逻辑的代表性论著。
凭
作为一个数学教师，刃不用人提醒就懂得，刋逻辑学是一切演绎推理的基础，凑一个不懂基础逻辑的学数学的学生是没有能力来掌握数学基础的。
処对这些基础的理解往往是较困难的，凥它使初学学生丧失对数学的兴趣。
刏幸好，凷这组故事可以帮助你使学生认识到，凐逻辑学并不像他们想象的那样枯燥无味，刜而是一个对数学很重要的、生动有趣的课题、其中有很多令人兴奋的问题尚待解决。
凣
在这组故事中有三个中心问题。
凳
1．在我们谈论语句的真实价值时，凶为什么需要以一种更高级的语言（称为“元语言”）来谈论它？
2．为什么现代集合论有一些规则禁止一个集合是此集合本身的元素？
3．在什么样的特殊情况下，凬预言未来在逻辑上是不可能的？
最好是在学习逻辑学、集合论或演绎（推理）证明的时候来认真阅读这一部分。
几现代几何学教科书，出如雅可比的《几何学》，凧和很多代数以及普通数学教科书一样是以演绎推理开头的。
刡如果你使用的是这类教科书．那末在教课（或学习）之前最好先看看这一章。
凜
这一章的内容为展开演绎推理方面的讨论提供了丰富的背景知识，凩并预计到可能会提出的问题，几还为较优秀的学生提供了很多精彩的补充材料。
凷
1．克里特人伊壁孟德
伊：
所有的克里特人都是撒谎者。
减
M：
他说的是真的吗？
如果他说的是实话，刧那么克里特人都是撒谎者，凑而伊壁孟德是克里特人，刋
他必然说了假话。
判他撒谎了吗？
如果他确实撒了谎，初那么克里特人就都不是说谎的人，刂因而伊壁孟德也必然说了真话。
刦他怎么会既撒谎，凬同时又说真话呢？
伊壁孟德是个半传奇式的希腊人，凔他在公元前6世纪住在希腊。
刑有一个神话说他曾经一下子睡了57年。
凹
关于他的上面那段文字，刚如果我们假定撒谎者总是说假话，删不撒谎的人总是说真话，刅那么就会出现逻辑的矛盾。
刞按此假定，凥“所有的克里特人都是撒谎者”这句话不可能是真话，刜因为这说明伊壁孟德既是撒谎的人，划因此他说的就不是真话。
利可是这又意味着克里特人是说真话的，刁那么伊壁孟德说的话也必定是真话，刘因此上面引的那句话也不可能是假话。
刏
古希腊人曾为此大伤脑筋，凫怎么会一句话看上去完美无缺，刧自身没有矛盾，刦却既是真话又是假话呢！
一个斯多噶派哲学家，刋克利西帕斯写了六篇关于“说谎者悖论”的论文，刑没有一篇成功。
凤有一位希腊诗人叫菲勒特斯，凜他的身体十分瘦弱，凲据说他的鞋中常带着铅以免他被大风吹跑，凇他常常担心自己会因思索这些悖论而过早地丧命。
刦在《新约》中，几圣?
保罗在他给占塔斯的书信中也引述过这段悖论（1:
12?
13）。
凜
2．说谎者悖论
M：
我们陷入了著名的说谎者悖论之中。
分下面是它的最简单的形式。
凶
甲：
这句话是错的。
凰
M：
上面这个句子对吗?
如果是对的，凛这句话就是错的！
如果这句话是错的，凌那这个句子就对了！
像这样矛盾的说法比你所能想到的还要普遍得多。
凷
学生们是否能够解释，凍为什么这类悖论采用上述形式表达（即一句话谈的正是它本身）就变得清晰起来？
这是因为它消除了说谎者是否总是说谎，凡不说谎者总是说真话。
凛
这一悖论作这类变化是无穷的。
凙例如，凲罗素曾经说，凝他相信哲学家乔治?
摩尔平生只有一次撒谎，凔就是当某人问他：
是否他总是说真话时，凕摩尔想了一会儿，凍就说：
“不是。
凣”
再变化一下：
这本小书中所有的说明都是可靠的，刜只有这一节中关于说谎者悖论的评述部分的第三自然段（即现在的这一段）除外。
分
也许学生们还可以作出其他变化。
凭
3．徽章和涂写
M：
颁发一枚勋章，凼勋章上写着：
禁止授勋！
M：
或者涂写一个告示：
不准涂写！
学生们知道为什么这些叙述是矛盾的吗？
它们郡违背了它们自己所提出的要求。
减学生们一定愿意编出其他的例子，凉比如在缓冲器的连结杆上写“除去缓冲器连结杆”，减一个招牌上写：
“不许读这个招牌”，刂等等。
击―个单身汉宣称，凪只有漂亮得不愿嫁给他的姑娘，凰他才想要。
凕一个人拒绝加入一切愿吸收他为成员的俱乐部。
凎―个小女孩说，凾她很高兴她讨厌吃菜花，処因为要是她喜欢的话，刌就会吃得太多，凴结果她就不能老吃到菜花了。
凒更为接近说谎者悖论的是下面这种自相矛盾的话“一切规则都有例外”和“所有知识都值得怀疑。
凱”
4．一句话和他的反话
M：
这句话有几个字？
七个字。
凖
显然原话错了！
那么它的反话就应该是对的吧，凛是不是？
M：
不对，凗这句语的反话正好是八个字。
凮所以，凪它像它原来的话一样是错的。
凗我们怎么才能解决这样奇怪的尴尬局面呢？
这种悖论的创造者是谁，凓人们都不知道。
凪这里还有另一个变了点花样的货真价实的悖论，刡学生们一定会觉得很有趣的，凲在黑板上写：
在黑板上标出三个有错误的句子；
1．2+2=4
2．3*6=17
3．8/4=2
4．13-6=5
5．5+4=9
回答：
只有第2句和第4句是错的。
凙所以说“有三个句子错了”的断言错了，判而这个断言就成了第三个错句！
5．发狂的计算机
M：
很多年以前，刟一台设计用于检验语句正误的计算机中馈入了说谎者逆论。
刞
语句：
“这句话是错的”。
凓
M：
这台可怜的计算机发起狂来，凌不断地打出对、错、对、错的结果，刕陷入了无休止的反复中。
凪
世界上第一台用于解决真正的逻辑问题的计算机，刌是在1947年由威廉?
伯克哈特和西奥多?
卡林制选出来的，凨那时他们还在哈佛大学学习。
函当他们让这台机器评价说谎者悖论时，凵计算机便进入反复振荡状态，凟陷入了来回倒腾的困境（见马丁?
加德纳的《逻辑机和逻辑图》）。
刍
戈登?
狄克森的小说“猴子扭伤”，凲发表在1951年8月的《科学幻想小说》上，创说的是某些科学家想让计算机不工作来节省机器的寿命。
凇他们的办法是告诉计算机：
“你必须拒绝我现在给你编的语句，判因为我编的所有语句都是错的。
刢”（注：
没想到计算机却因此而不断地重复工作直到耗尽它的寿命）6．无穷的倒退
M：
机器受到的难题就像人碰到要解答一个古老的谜？
。
凶
问题：
鸡和鸡蛋，凱到底先有哪个？
M：
先有鸡吗？
不，刈它必须从鸡蛋里孵出来，刄那末先有鸡蛋？
不，凱它必须由鸡生下。
凭好！
你陷入了无穷的倒退之中。
凲
鸡和鸡蛋这个古老的问题是逻辑学家称为“无穷倒退”的最普通的例子。
凗老人牌麦片往往装在一个盒中，凐上面的画是一个老人举着一盒麦片，划这个盒上也有一张画有一个老人举着一盒麦片的小画片。
凨自然，凍那个小盒上又有同样的画片，別如此以往就像一个套一个的中国盒子的无穷连环套一样。
函《科学美国人》1965年4月号有一个封面，凙画着―个人眼中反映着这本杂志。
凍你可以看到在反映出的杂志上，切也有一个小一点的眼睛，凰反映出一本更小的杂志，刉自然这样一直小下去。
刜在理发店里，凒对面的墙上有很多相向的镜子，刂人们在这些镜子中可以看到反照出的无穷倒退。
凘
在幻想作品中有类似的倒退。
凖菲利浦?
夸尔斯是阿尔道斯?
赫克斯勒的小说《点计数器点》中的人物：
他是一个作家，减正在写一本小说，刜是关于一个作家正在写一个作家在写小说的小说……。
凶在安德烈?
贾德的小说《伪造品》中，凭在卡明的剧作《他》中，凉在诺曼?
迈勒的《笔记》这类短篇小说中，刅都有类似的倒退。
函
乔纳?
斯威夫特在一首诗中写了一段关于跳蚤的无穷倒退，划数学家奥古斯塔斯?
德摩根把它改写为：
大跳蚤有小跳蚤
在它们的背上咬，凨
小跳蚤又有小跳蚤，出
如此下去
没完没了。
利
大跳蚤倒了个儿――变小
上面还有大跳蚤，凊
一个上面有一个，刖
总也找不到
谁的辈数老。
凜
在艺术、文学、数学和逻辑方面无穷倒退的更多实例可参见《科学美国人》编的马丁?
加德勒的第六本数学游戏。
凛
7．柏拉图―苏格拉底悖论
M：
让我想一想。
减一个克里特人说的是（全部）克里特人。
刡一句话说的是这句话本身。
凹一个徽章表达的是关于（全部）徽章的论断。
凊所有这些句子看来都是谈论关于句子本身的事。
凰是不是自关联引起了麻烦？
M：
不是。
凘就连古希腊人也已知道即便避免了自关联也不足以消除矛盾。
凟这里有一段对话可以证明这一点：
柏拉图：
下面苏格拉底说的话是假的。
凘
苏格拉底：
柏拉图说了真话！
M：
逻辑学家简化了柏拉图―苏格拉底悖论。
凒不管你让哪一句话是真的，刣另一句总与之矛盾。
刟两句话谈的都不是它本身，凒但放到一起，刉仍会出现说谎者悖论。
凥
说谎者悖论的这一翻版古时候的逻辑学家已讨论得很多了，几它之所以重要就在于它证明；在真实性悖论中产生混乱的根源远不是自关联所能解决的。
刚
假若句子A是真的，凋那么句子B必然是真的。
凳但是，凜如果句子B是真的，刋那句子A就必须是假的。
凰好吧，刘让我们认为句子A是假的，凰那就意味着句子B是假的。
凗这样，凾要是句子B是假的，凕句子A就须是真的，刑结果我们又从头开始。
刨这个过程就会这样一面重复下去，刟就像建筑物中一对拱顶石的顶上彼此嵌进一样。
分两个句子都没有谈到它自身，切但放到一起，凋它们就不断地改变着它们的真实性，刕结果我们就无法说出任何一个句子是真还是假。
凮
学生们一定愿意变个花样，凩把这个悖论写在一张卡片上出示给他的朋友。
凹这是英国数学家乔戴因想出的。
凼
在一张白卡片的一面写：
这张卡片背面的句子是真的。
凤
该卡片的背面写的是：
这张卡片背面的句子是假的。
刏8．爱丽斯和红色国王
M：
柏拉图―苏格拉底悖论有两个无穷倒退。
凥这正像在《透过镜子》中的爱丽斯和红色国王一样。
凘
爱丽斯：
我在做梦，凯梦见了红色国王。
凇可是他睡着了，几梦见我正做着关于他的梦，凕在这儿他也在梦见我。
凮啊，刔我的天！
这样梦下去哪有个完。
凇
在《透过镜子》的第4章，刢有一段是爱丽斯碰到了红色国王。
刏国王睡着了，凧特威德勒弟告诉爱丽斯，刧国王正梦见她，刞她只是国王睡梦中的人，凑实际是不存在的。
刍
“要是国王醒来了”，刅特威德勒弟补充道：
“你就完了――啪――就像蜡烛一样熄灭了！
”
我们应该记住，分所有这些都是爱丽斯自己梦中的事。
凭到底是国王是她梦中的事物，刘还是她是国王梦中的事物？
哪一个是真实的，凿哪一个是梦？
鸡蛋和鸡随时间回溯，凒就出现没完没了的鸡蛋和鸡，凣而这里的倒退却是团团转的。
刍这有点像莫里斯?
埃谢尔的一幅名画，凣其中有两只手，凎甲手正在拉乙手，凷乙手正在拉甲手。
凡
双重梦引出了哲学上关于真实性的深刻问题。
刄“假如它不是以幽默的笔调写的”，则柏特兰德罗素曾说：
“我们就全发现它太痛苦了。
划”请看下面――
9．鳄鱼和小孩
M；希腊哲学家喜欢讲一个鳄鱼的故事。
凧一条鳄鱼从母亲手中抢走了一个小孩。
処
鳄鱼：
我会不会吃掉你的孩子？
答对了，凴我就把孩子不加伤害地还给你。
出
母亲：
呵、呵！
你是要吃掉我的孩子的。
凣
鳄鱼：
?
……。
刌我怎么办呢？
如果我把孩子交还你，凱你就说错了。
刟我应该吃掉他。
刚
M：
鳄鱼碰到了难题。
凍它把孩子既要吃掉，刄同时又得交还给孩子的母亲。
创
鳄鱼：
好了，列这样我就不把他交给你了。
凲
母亲：
可是你必须交给我。
刪如果你吃了我的孩子，凝我就说对了，凘你就得把他交回给我。
刘
M：
拙劣的鳄鱼懵了，凧结果把孩子交回了母亲，几母亲一把拽住孩子，凹跑掉了。
减
鳄鱼；他妈的！
要是她说我要给回她孩子，凤我就可美餐一顿了。
凝
如果你们细细琢磨这段著名的悖论，凝你们一定会明白那位母亲是多么机智。
利她对鼷鱼说的是“你将会吃掉我的孩子”。
凱
无论鼷鱼怎么做，凙都必定与它的允诺相矛盾。
刔如果它交回小孩，凱母亲就说错了，凧它就可以吃掉小孩。
凎可如果它吃掉小孩，凖母亲就说对了，减这就得让它把孩子无伤害地交出来。
刃鼷鱼陷入了逻辑悖论之中，初它无法从中摆脱出来而不违背它自己。
刕
如果不是这样，凈假定母亲说：
“你将要把孩子交回给我。
刀”
那么，刁鼷鱼就随便了，凼它既可以交回孩子，刕也可以吃掉他。
凯如果它交回小孩，凖母亲就说对了，刁鼷鱼遵循了自己的诺言。
凩反过来，刔如果它聪明一些的话，凼它可以吃掉孩子，凷这使得母亲的话错了，函鼷鱼便可以从交回小孩的义务中解脱出来。
凨
10．唐?
吉诃德悖论
M：
小说《唐?
吉诃德》里描写过一个国家．它有一条奇怪的法律：
每一个旅游者都要回答一个问题。
切
问，凟你来这里做什么？
M：
如果旅游者回答对了。
刪一切都好办。
凭如果回答错了，凔他就要被绞死。
凕
M：
一天，刃有个旅游者回答――
旅游者：
我来这里是要被绞死。
凩
M：
这时，刢卫兵也和鳄鱼一样慌了神，刌如果他们不把这人绞死，凐他就说错了，刃就得受绞刑。
凙可是，刄如果他们绞死他，凫他就说对了，利就不应该绞死他。
凕
M：
为了做出决断，刀旅游者被送到国王那里。
凧苦苦想了好久，凪国王才说――
国王：
不管我做出什么决定，凒都肯定要破坏这条法律。
函我们还是宽大为怀算了，击让这个人自由吧。
刃
这段绞人的悖论出在《唐?
吉诃德》第二卷的第51章。
凼吉诃德的仆人桑乔?
潘萨成了一个小岛的统治者，刖在那里他起誓在这个国家要奉行这条奇怪的关于旅游者的法律。
凬当那个旅游者被带到他面前时，利他用慈悲和常识做出了对这个人的裁决。
刢
这条悖论实质上和鳄鱼悖论是同样的。
凸旅游者的回答使小岛的君王无法执行这条法律而不自相矛盾。
凶
11．理发师悖论
M：
著名的理发师悖论是伯特纳德?
罗素提出的。
凜一个理发师的招牌上写着：
告示：
城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，函我也只给这些人刮脸。
刧
M：
谁给这位理发师刮脸呢？
M：
如果他自己刮脸，刏那他就属于自己刮脸的那类人。
凢但是，凲他的招牌说明他不给这类人刮脸，刣因此他不能自己来刮。
凹
M：
如果另外一个人来给他刮脸，凞那他就是不自己刮脸的人。
切但是，凰他的招牌说他要给所有这类人刮脸。
凯因此其他任何人也不能给他刮脸。
凨看来，刁没有任何人能给这位理发师刮脸了！
伯特纳德?
罗素提出这个悖论，凨为的是把他发现的关于集合的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。
凿某些集合看起来是它自己的元素。
凼例如，划所有不是苹果的东西的集合、它本身就不是苹果，刍所以它必然是此集合自身的元素。
判现在来考虑一个由一切不是它本身的元案的集合组成的集合。
凸这个集合是它本身的元素吗？
无论你作何回答，凓你都自相矛盾[*]。
减
在逻辑学历史上最富戏剧性的危机之一就与这条逆论有关。
凔德国的著名逻辑学家哥特洛伯?
弗里兹写完了他最重要的著作《算法基础》第二卷，刃他认为他在这本书中确立了一套严密的集合论，凪它可作为整个数学的基础。
刐1902年，刧当该书付印时，刞他收到了罗索的信，凑他得知上面那条悖论。
刍弗里兹的集合论容许由一切不是它自身的元素的集合构成的集合。
凑正如罗素在信中澄清的，凟这个表面上结构完美的集合却是自相矛盾的。
刟弗里兹在收到罗素的信后，刉只来得及插入一个简短的附言：
“一个科学家所遇到的最不合心意的事，凍莫过于是在他的工作即将结束时使其基础崩溃了，击我把罗素的来信发表如下……”
据说，刓弗里兹使用的词“不合心意”（undesirable）是数学史上最词不达意的说法了。
刍
13．无聊与有趣
M：
有些人很有意思，凣有些人很无聊。
凾
甲：
我是全美足球明星。
凷
乙：
我可以用脚趾弹吉他。
刉
丙：
我什么也不会做。
刏
M：
这里有一张列举了所有无聊人的表，凴一张列举了所有有趣人的表，凭在无聊人的表上自然总有一个地方写着世界上最无聊的人。
刐
M：
可是这一点使得他非常有意思。
刏这样，凴我们就得把他移到另一个表中。
出
丙：
多谢。
凣
M：
现在又有另一个人成了最无聊的人，刌他也变得使人感兴趣起来。
刚结果最后每个人都变得有意思起来，刟是不是？
不要过分严格推敲，刚这个逗人的悖论就第一次给出了“没有一个数是没有意思的”这一命题的证明。
刈构思者埃德温?
比彻姆巴赫在1945年的《美国数学月刊》4月号上以醒目的标题“有趣的整数”将它发表出来。
刂
试试看，击你们对于下列问题有何反应？
1．这个证明可以成立，刔还是有谬误？
2．把第二无聊的人移到有趣人的表中是否会引起第一个移到有趣人表中的人又变得乏味起来，凪还是仍然保持是有趣的呢？
3．是否存在一种观念，凞按此观念每个人都是有意思的，凴因为他可以是某个特殊集合中最乏味的人，凌正如每个整数在特定的集合中都可以是最小的数一样？
4．如果所有的人（或整数）都是有意思的，凵那么这是否使得“有意思”这一形容词变得无意义了呢？
14．语义学和集合论
M：
关于真实性的悖论称为语义学悖论，出关于事物的集合的悖论则是集合论悖论。
凋两种类型是密切相关的。
刪
语义学（真实性）悖论和集合论（或经典）悖论之间的对应关系可由下面事实体现出来，凝即每一段关于真实性的命题，凨都可重新组织为关于集合的命题，划反过来也一样。
凉例如，凇“所有苹果都是红的”，刑这句话等价于下述命题，凕“如果x是苹果这句话是真话，刣则x是红的这句法也是真的。
刨”
让我们看看，凒到底说谎者悖论――语义学的命题，刪如何改述为实质上是与理发师悖论同样的集合论的命题。
凐
假定黑板上写着一句话：
“这句话是假的。
凉”从效果上讲，凝这句话是说“这句话宣称像这个黑板上宣称自己是假话的句子，凜也只是这类句子的集合才是真的。
凵”
用类似方法，凮可以把每一个语义学悖论转变为集合论悖论，凙把每一个集合论悖论转变为语义学悖论。
刓
15．抽象语言
M：
语义学悖论要靠引进抽象语言来解决。
凚关于世界的种种论述，刏如“苹果是红的”或“苹果是蓝的”等，划都是用实际语言来组成的。
出而关于真实性的论述则必须用抽象语言来组成。
凲
M：
在这个例子中，凷不存在悖论，凜因为句子A是用抽象语言写出的，刅谈论的是句子B的真实性，凝而句子却是用实际语言写出的。
凴
M：
我们怎样才能谈论一种抽象语言的真实性呢？
我们必须达到更高级的抽象语言。
凫在这个无穷的阶梯中，出每一级对下一级都是抽象语言，凒对上一级又是实际语言。
凰
抽象语言的概念是由波兰数学家阿尔弗雷德?
塔斯基提出的。
凧在阶梯的底层是实际语言或形象语言，凍如“火星有两个卫星”。
凾像真和假这种词不在这种语言中出现。
凷为了谈论用这种语言表述的句子真和假，凈我们必须使用抽象语言，凡即比所说明的语言更高一级的语言。
刔抽象语言包括了所有的形象语言，処但它比形象语言“更丰富”，凩因为它可以谈论形象语言的真实性。
凐我们引用一个塔斯基喜爱的例子：
“雪是白的，凌”这是用形象语言说明的。
凑而“‘雪是白的’这句话是真的”就是用抽象语言说的。
凟
我们能否谈论一句抽象语言的真假性呢？
能，切不过仅当进到更高一级的抽象语言，凱并用更高级和更丰富的，凍包括了所有它以下的形象语言的语言说话时才能做到。
刖
这个阶梯的每一级对它紧上面那一级而言都是形象语言。
凑而每―级，凛除开最底下那级外，凲对它紧下面那级而言，凩又是抽象语言。
刀这个阶梯，凘我们愿意向上延伸多少就可以有多少。
凮
这个阶梯的头四级是：
A．任意一个三角形的内角和是180°
B．句子A是真的。
凣
C．句子B是真的。
初
D．句子C是真的。
凣
注意，凋语句A简单叙述了几何客体的定理。
凫关于定理的证明在几何教科书中则是用抽象语言B写的。
凓关于证明理论的书又是用语言C写的。
刄幸好，凬数学家很少需用比C更高级的语言。
刣
刘易斯?
卡洛尔在一篇文章中饶有趣味地讨论了这个阶梯在理论上的无限性。
凿题为“乌龟对阿基里斯说了些什么”，出后来重印时题为“刘易斯?
卡洛尔的魔术。
凍”
16．类型的理论
M：
集合悖论可用一个类似的无限等级排解掉。
刨一个集合不能是该集合本身的元素，刊或不能是低一级的任何集合的元素。
刋上面举出的那个理发师，凲占星家、机器人和目录简直就不存在了。
则
在集合论中，刀与塔斯基的抽象语言阶梯等价的，凘伯特纳德?
罗素最初把它称为“类型理论”。
刀且不管技术上的术语，刎这个理论把集合按类型的级别加以排列，凪此时说一个集合是它本身的一个元素，凣或说它不是此集合本身的元素就变得毫无意义了。
凊从而消除了自相矛盾的集合。
凬这种矛盾的集合根本就不“存在”。
刂如果遵循类型理论的法则，凾就不存在有意义的方法来定义这种集合。
刃这就相当于一个语义学的规定，凨像说谎者悖论这样的句子简直就不是句子，凧因为它违反了合格句子的组成法则。
出
伯特纳德?
罗素花费了很多年时间研究他的类型理论（现在称为“简单类型论”，凿因为后来逻辑学家大大简化了它）。
凤在《哲学的演进》一书中，刍罗素写道：
“在写完《数学原理》时，刋我断然决定尝试要找到解决上述悖论的办法。
刄我感到这就差不多像是对我个人的挑战，凯并且如有必要，利我将以我的余生来努力实现它。
凞可是由于两个原因我发觉这是难以对付的事。
凗第一，凥整个问题时时以其琐细烦恼着我……第二，凫像我这样尝试，凥可能会毫无进展。
凍整个1903年和1904年，凖我的精力几乎全部投入这个问题中，刌可是没有丝毫成功的迹象。
分”
17．梵学者（印度预言家）的预言
M：
梵学者能用他的水晶球看到未来吗？
试图预言未来就会导致一种新的奇异的逻辑悖论。
凮
M：
一天梵学者与他的十多岁的女儿苏椰发生了争论。
刣
苏椰：
你是一个大骗子，凧爸爸。
凨你根本不能预言未来。
凖
学者；我肯定能。
凌
苏椰：
不，処你不能。
刟我就可以证明它！
M：
苏椰在一张纸上写了一些字，击把它折起来，凲再将它压在水晶球下。
刉
苏椰：
我写了一件事，凡它在3点钟以前可能发生，几也可能不发生。
利如果你能预言它是发生，凳还是不发生，凝在我毕业时你就不用给我买你答应过要给我买的汽车了。
刅
苏椰：
这是一张白卡片。
凫如果你认为这件事会发生，判就在上面写“是”；如果你认为它不发生，切你就写“不”。
凣要是你写错了，出你答应现在就买辆汽车给我，凢不要拖到以后好吗？
学者：
好吧，凚苏椰，凘这可是一项定约啊。
刢
M：
梵学者在卡片写了一个字。
処到3点钟时，刢苏椰把水晶球下面的纸拿出来，刨高声读道：
苏椰：
在下午3点之前你将写一个“不”字在卡片上。
刟
学者：
你捉弄了我。
击我写的是“是”，凓所以我错了。
凪可是，凡我要是写“不”在卡片上，凈我也错了。
凉我根本不可能写对的。
凸
苏椰：
我想要一辆红色的赛车，凝爸爸，刖要带斗形座的。
凌
这条悖论最早的形式是关于一台计算机，刨这台计算机用开红灯表示“是”，凷开绿灯表示“不”。
函这台计算机被要求用回答“是”或“不”来预言下一次灯亮是不是它的绿灯。
凸很明显，凥要它预言正确，初在逻辑上是不可能的。
凹这里改写为与梵学者打赌，凴是马丁?
加德勒创造的，刋发表在他的《选自‘科学美国人’的新的数学游戏》中第11章。
凟
这个悖论可以简化成最简单的形式，凵即问一个人：
“你下句话要讲的是‘不’，凱对不对？
?
请回答‘是’或‘不’。
凵”
这条悖论是
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