数学建模计算实验1.docx
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数学建模计算实验1
《数学建模》
实验一：
matlab函数拟合
学时：
4学时
实验目的：
掌握用matlab进行函数拟合的方法。
实验内容：
实例1.（汽车刹车距离问题）某汽车司机培训课程中有这样的规则：
正常驾驶条件下，车速每增16公里/小时，后面与前车的距离应增一个车身的长度。
实现这个规则的渐变办法是“2秒准则”：
后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何。
这个规则的合理性如何是否有更合理的规则。
下表是测得的车速和刹车距离的一组数据。
车速（km/h）
20
40
60
80
100
120
140
刹车距离（m）
6.5
17.8
33.6
57.1
83.4
118.0
153.5
解：
模型假设：
（1）刹车距离y等于反映距离y1与制动距离y2之和。
即y=y1+y2.
（2）反应距离y1与车速v成正比，比例系数为反应时间k1。
即y1=k1*v
（3）刹车时使用最大制动力F，F作的功等于汽车动能的改变，且F与车的质量m成正比.即
模型建立由假设2，y1=k1v,由假设3，在F作用下行驶距离y2作的功F*y2
使车速从v→0，动能的变化为mv^2/2，又由牛顿第二定律可知F＝am，，其中刹车时的减速度a为常数，于是y2=k2*v^2,其中k2为比例系数，实际k2=1/2a,由假设1，刹车距离为y=k1v+k2v^2
模型求解：
用最小二乘法拟合，则程式运行过程有：
>>v=[20,40,60,80,100,120,140]./3.6;
>>s=[6.5,17.8,33.6,57.1,83.4,118.0,153.5];
>>fun=inline（'k
（1）.*v+k
（2）.*v.*v','k','v'）;
>>k=lsqcurvefit（fun,[20,140],v,s）
Optimizationterminated:
relativefunctionvalue
changingbylessthanOPTIONS.TolFun.
k=
0.65220.0853
于是s=0.6522v+0.0853v^2;
模型应用：
因为在实际中k2=1/2a则a=5.86166v=at1且k1为反应时间，即最终时间：
t=k1+t1，t1为刹车时间。
根据车速的不同刹车时间t1如下表：
车速（km/h）
20
40
60
80
100
120
140
刹车距离（m）
6.2560
17.7775
34.5644
56.6168
83.9346
116.5178
154.3664
刹车时间（秒）
1.600
2.548
3.496
4.444
5.392
6.339
7.284
后车司机从前车经过某一标志开始默数t秒钟后到达同一标志，t由下表给出：
车速（km/h）
0—10
10-60
60—100
100-140
t（秒）
1
2
4
6
则根据车速的快慢，随着车速越快的时候，刹车时间越久所以2秒准则是不合理的。
实例2：
根据美国人口从1790年到1990年间的人口数据（如下表），确定人口指数增长模型（Logistic模型）中的待定参数，估计出美国2010年的人口，同时画出拟合效果的图形。
表1美国人口统计数据
年份
1790
1800
1810
1820
1830
1840
1850
人口（×106）
3.9
5.3
7.2
9.6
12.9
17.1
23.2
年份
1860
1870
1880
1890
1900
1910
1920
人口（×106）
31.4
38.6
50.2
62.9
76.0
92.0
106.5
年份
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
人口（×106）
123.2
131.7
150.7
179.3
204.0
226.5
251.4
实例3、（录像机计数器的用途）计时器读数n与录像带转过的时间t之间的关系为
利用下表的数据确定两个参数a、b的值。
t（分）
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
n
0000
0617
1141
1601
2019
2403
2760
3096
3413
3715
t（分）
100
110
120
130
140
150
160
170
184
n
4004
4280
4545
4803
5051
5291
5525
5752
6061
实验二：
用Lindo求解线性规划问题
学时：
4学时
实验目的：
掌握用Lindo求解线性规划问题的方法，能够阅读Lindo结果报告。
实验内容：
实例1.一家广告公司想在电视、广播上做公司的宣传广告，其目的是争取尽可能多的影响顾客。
下表是公司进行市场调研的结果：
电视
网络媒体
杂志
白天
最佳时段
每次做广告费用（千元）
45
86
25
12
受每次广告影响的顾客数
350
880
430
180
受每次广告影响的女顾客数（千人）
260
450
160
100
这家公司希望总广告费用不超过750（千元），同时还要求：
（1）受广告影响的女性查过200万；
（2）电视广告的费用不超过450（千元）；（3）电视广告白天至少播出4次，最佳时段至少播出2次；（4）通过网络媒体、杂志做出的广告要重复5到8次。
解：
实例2：
求解书本上P130的习题1。
列出线性规划模型，然后用Lindo求解，根据结果报告得出解决方案。
投资规划问题
某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。
按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。
此外还有一下限制：
（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；
（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）
（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。
证券名称
证券种类
信用等级
到期年限
到期税前收益（%）
A
市政
2
9
4.3
B
代办机构
2
15
5.4
C
政府
1
4
5.0
D
政府
1
3
4.4
E
市政
5
2
4.5
（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？
（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？
（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？
若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？
解：
设投资证券A,B,C,D的金额分别为x1,x2,x3,x4,x5（百万元），按照规定限制1000万元的资金约束，则线性规划模型为：
z=0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5%最后收益
%政府及代办机构的证券购进总额限制
%总金额限制
%平均信用等级限制
%平均到期年限限制
在Lindo中输入并要求做灵敏性分析有：
Max0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5
s.t.
x2+x3+x4>4
x1+x2+x3+x4+x5<10
6x1+6x2-4x3-4x4+36x5<0
4x1+10x2-x3-2x4-3x5<0
x1>0
x2>0
x3>0
x4>0
x5>0
end
结果如下：
LPOPTIMUMFOUNDATSTEP0
OBJECTIVEFUNCTIONVALUE
1）0.2983637
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
X12.1818180.000000
X20.0000000.030182
X37.3636360.000000
X40.0000000.000636
X50.4545450.000000
ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES
2）3.3636360.000000
3）0.0000000.029836
4）0.0000000.000618
5）0.0000000.002364
6）2.1818180.000000
7）0.0000000.000000
8）7.3636360.000000
9）0.0000000.000000
10）0.4545450.000000
NO.ITERATIONS=0
RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:
OBJCOEFFICIENTRANGES
VARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLE
COEFINCREASEDECREASE
X10.0430000.0035000.013000
X20.0270000.030182INFINITY
X30.0250000.0173330.000560
X40.0220000.000636INFINITY
X50.0450000.0520000.014000
RIGHTHANDSIDERANGES
ROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLE
RHSINCREASEDECREASE
24.0000003.363636INFINITY
310.000000INFINITY4.567901
40.000000105.71428720.000000
50.00000010.00000012.000000
60.0000002.181818INFINITY
70.0000000.000000INFINITY
80.0000007.363636INFINITY
90.0000000.000000INFINITY
100.0000000.454545INFINITY
则有
（1）证券A,C,E分别投资2.082百万元，7.364百万元，0.454百万元，最大税后收益为0.298百万元
（2）由OBJECTIVEFUNCTIONVALUE的DUALPRICES中的第二行结果知，若资金增加100万元，收益可增加0.0298百万元，大于以2.75%的利率借到100万元资金的利息0.0275百万元，所以应借贷，投资方案需将上面模型第二个约束右端改为11，求解得到：
证劵A、C、E分别投资2.40百万元，最大税后收益为0.3007百万元。
（3）由OBJCOEFFICIENTRANGES的ALLOWABLEINCREASE中的x1、x3行的结果中目标函数系数的允许范围（最优解不变）可知，证券A的税前收益可增加0.35%，故若证券A的税前收益增加为4.5%，投资不应改变；证券C的税前收益可减0.112%（注意按50%的税率纳税），故证券C的税前收益减少为4.8%，投资应该改变。
实验三：
用Lingo求解非线性规划问题
学时：
2学时
实验目的：
掌握用Lingo求解非线性规划问题的方法。
实验内容：
求解书本上P132的习题6、7。
列出非线性规划模型，然后用Lingo求解，根据结果报告得出解决方案。
解：
由于所有可能的切割模式很多，这里不采用枚举切割模式的方式建模，二是建立证书非线性规划模型。
记b=（290,315,350,455）为4种产品的长度，n=（15,28,21,30）为4种产品的需求量，设第i种切割模式下每根原料钢管生产4种产品的数量分别为r1,r2,r3,r4,该模式使用xi次，即使用该模式切割xi根原料钢管（i=1,2,3,4），且切割模式次序是按照使用平率从搞到的排列的。
约束条件为
（1）
（2）切割模式：
引入0-1变量yi=1表示使用第i种模式，yi=0表示不使用模式（1,2,3,4）
而所谓节省，可以有两种标准，
一是切割后剩余的总余料量最小，总余量：
（5-1）
二是切割原料钢管的总根数最少。
总根数：
（5-2）
在选择切割模式的时候受到以下条件的约束：
（1）所使用的切割模式的种类不能超过4种。
（2）使用频率最高的一种切割模式按照一个原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推。
约束条件，满足：
（5-3）
模式合理约束（每根余料不超过100mm）：
（5-4）
整数约束：
为整数。
每根钢管长度为1850mm，可以求得所需要的钢管数目下界为：
选择的模式数量大小约束：
（5-4）
用lingo进行求解得到如下结果：
实验四：
统计分析
学时：
4学时
实验目的：
用matlab或spss计算基本统计量，常见概率分布的函数，参数估计，假设检验。
实验内容：
实例：
某校60名学生的一次考试成绩如下:
937583939185848277767795948991888683968179977875676968848381756685709484838280787473767086769089716686738094797877635355
1）计算均值、标准差、极差、偏度、峰度，画出直方图；
解：
方法一：
Analyze->DescriptiveStatistics->Descriptives->把成绩y放到Variable中选择最下面的一项->选择Options->选择Mean,std.deviation,Range,Kurtosis,Skewness->Continue->返回界面后OK则有如图
即均值为80.10标准差为9.711极差为44偏度为-0.480峰度为0.274
直方图有：
Graphs->Histogram->把成绩y放到Variable中，则有如下图
方法二：
Analyze->Descriptivestatistics->Explore则有如图
浏览
2）检验分布的正态性；
解：
analysis——NonparametricTests->1-SampleK-S则有如图
NPar检验
即该分布为正态分布。
3）若检验符合正态分布，估计正态分布的参数并检验参数.
T检验：
Analyze->CompareMeans->One-sampleTtest->把y选入TestVariable中，则有下图
即
实验五：
用matlab进行回归分析
学时：
4学时
实验目的：
掌握matlab进行回归分析的方法。
实验内容：
实例2：
财政收入预测问题：
财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关。
下表列出了1952-1981年的原始数据，试构造预测模型。
年份
国民收入（亿元）
工业总产值（亿元）
农业总产值（亿元）
总人口（万人）
就业人口（万人）
固定资产投资（亿元）
财政收入（亿元）
1952
598
349
461
57482
20729
44
184
1953
586
455
475
58796
21364
89
216
1954
707
520
491
60266
21832
97
248
1955
737
558
529
61465
22328
98
254
1956
825
715
556
62828
23018
150
268
1957
837
798
575
64653
23711
139
286
1958
1028
1235
598
65994
26600
256
357
1959
1114
1681
509
67207
26173
338
444
1960
1079
1870
444
66207
25880
380
506
1961
757
1156
434
65859
25590
138
271
1962
677
964
461
67295
25110
66
230
1963
779
1046
514
69172
26640
85
266
1964
943
1250
584
70499
27736
129
323
1965
1152
1581
632
72538
28670
175
393
1966
1322
1911
687
74542
29805
212
466
1967
1249
1647
697
76368
30814
156
352
1968
1187
1565
680
78534
31915
127
303
1969
1372
2101
688
80671
33225
207
447
1970
1638
2747
767
82992
34432
312
564
1971
1780
3156
790
85229
35620
355
638
1972
1833
3365
789
87177
35854
354
658
1973
1978
3684
855
89211
36652
374
691
1974
1993
3696
891
90859
37369
393
655
1975
2121
4254
932
92421
38168
462
692
1976
2052
4309
955
93717
38834
443
657
1977
2189
4925
971
94974
39377
454
723
1978
2475
5590
1058
96259
39856
550
922
1979
2702
6065
1150
97542
40581
564
890
1980
2791
6592
1194
98705
41896
568
826
1981
2927
6862
1273
100072
73280
496
810
实验六用Lingo求解大规模线性规划问题
实验目的：
掌握用Lingo求解大规模线性规划问题的方法。
实验内容：
求解全国大学生数学建模竞赛05年B题问题2：
DVD的分配。
会员每次租赁3张DVD，现在给出网站手上的100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？
现有DVD张数和当前需要处理的会员的在线订单（表格格式示例）
DVD编号
D001
D002
D003
D004
…
DVD现有数量
10
40
15
20
…
会员在线订单
C0001
6
0
0
0
…
C0002
0
0
0
0
…
C0003
0
0
0
3
…
C0004
0
0
0
0
…
…
…
…
…
…
…
注：
D001~D100表示100种DVD,C0001~C1000表示1000个会员,会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中。
所有数据将可从
提示：
可建立如下0-1规划模型：
其中cij是偏爱指数，其中0改成-1，其他数字如果是c，则用11-c代替。
综合实验：
DVD在线租赁
实验目的：
通过求解全国大学生数学建模竞赛05年B题，掌握综合运用数学软件求解复杂问题的方法。
实验内容：
随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。
这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。
考虑如下的在线DVD租赁问题。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。
会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。
会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。
会员看完3张DVD之后，只需要将DVDa放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。
请考虑以下问题：
1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。
此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。
假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？
如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？
2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从
3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。
如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？
（一次分配，DVD数量不够，需要进行二次分配）
4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？
请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。
表1对1000个会员调查的部分结果
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
愿意观看的人数
200
100
50
25
10
表2现有DVD张数和当前需要处理的会员的在线订单（表格格式示例）
DVD编号
D001
D002
D003
D004
升级会员 