网格问题.docx

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网格问题

2012年全国中考数学试题分类解析汇编（159套63专题）

专题33：

网格问题

一、选择题

1.（2012宁夏区3分）一个几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长均为1，那么下列选项中最接近这个几何体的侧面积的是【】

A．24.0B．62.8C．74.2D．113.0

【答案】B。

【考点】网格问题，圆锥的计算，由三视图判断几何体，勾股定理。

【分析】由题意和图形可知，几何体是圆锥，底面半径为4，根据勾股定理可得母线长为5。

则侧面积为πrl=π×4×5=20π≈62.8。

故选B。

2.（2012湖北孝感3分）如图，△ABC在平面直角坐标系中的第二象限内，顶点A的坐标是（－2，3），

先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于x轴的对称图形△A2B2C2，则顶点

A2的坐标是【】

A．（－3，2）B．（2，－3）C．（1，－2）D．（3，－1）

【答案】B。

【考点】坐标与图形的对称和平移变化。

【分析】∵将△ABC向右平移4个单位得△A1B1C1，∴A1的横坐标为-2+4=2；纵坐标不变为3；

∵把△A1B1C1以x轴为对称轴作轴对称图形△A2B2C2，∴A2的横坐标为2，纵坐标为－3。

∴点A2的坐标是（2，－3）。

故选B。

3.（2012湖北荆门3分）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是【】

A．

B．

C．

D．

4.（2012山东聊城3分）如图，在方格纸中，△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是【】

A．把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再向下平移2格　　

B．把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格　　

C．把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180°　　

D．把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180°

【答案】B。

【考点】几何变换的类型。

【分析】根据图象，△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格即可与△DEF重合。

故选B。

二、填空题

1.（2012天津市3分）“三等分任意角”是数学史上一个著名问题

已知一个角∠MAN设

（Ⅰ）当∠MAN=690时，

的大小为▲（度）；

（Ⅱ）如图，将∠MAN放置在每个小正方形的边长为1cm的网格中，角的一边AM与水平方向的网格线平行，另一边AN经过格点B，且AB=2.5cm．现要求只能使用带刻度的直尺，请你在图中作出

，并简要说明作法（不要求证明）▲．

【答案】（Ⅰ）23。

（Ⅱ）如图，让直尺有刻度一边过点A，设该边与过点B的竖直方向的网格线交于点C，与过点B水平方向的网格线交于点D，保持直尺有刻度的一边过点A，调整点C、D的位置，使CD=5cm，画射线AD，此时∠MAD即为所求的∠α。

【考点】作图（应用与设计作图），直角三角形斜边上的中线性质，三角形的外角性质，平行的性质。

【分析】（Ⅰ）根据题意，用69°乘以

，计算即可得解：

×69°=23°。

（Ⅱ）利用网格结构，作以点B为直角顶点的直角三角形，并且使斜边所在的直线过点A，且斜边的长度为5，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得斜边上的中线等于AB的长度，再结合三角形的外角性质可知，∠BAD=2∠BDC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BDC=∠MAD，从而得到∠MAD=

∠MAN。

2.（2012浙江杭州4分）如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为▲．

【答案】（﹣1，1），（﹣2，﹣2）。

【考点】利用轴对称设计图案。

【分析】根据轴对称图形的定义：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，把A进行移动可得到点的坐标：

如图所示：

A′（﹣1，1），A″（﹣2，﹣2）。

3.（2012江苏泰州3分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这

些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是▲．

【答案】2。

【考点】正方形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义。

【分析】如图，连接BE，交CD于点F。

∵四边形BCED是正方形，

∴DF=CF=

CD，BF=

BE，CD=BE，BE⊥CD，∴BF=CF。

根据题意得：

AC∥BD，∴△ACP∽△BDP。

∴DP：

CP=BD：

AC=1：

3。

∴DP=PF=

CF=

BF。

在Rt△PBF中，

。

∵∠APD=∠BPF，∴tan∠APD=2。

三、解答题

1.（2012安徽省8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和点A1.

（1）画出一个格点△A1B1C1，并使它与△ABC全等且A与A1是对应点；

（2）画出点B关于直线AC的对称点D，并指出AD可以看作由AB绕A点经过怎样的旋转而得到的.

【答案】解：

（1）答案不唯一，如图，平移即可：

（2）作图如上，

∵AB=

，AD=

，BD=

，∴AB2+AD2=BD2。

∴△ABD是直角三角形。

∴AD可以看作由AB绕A点逆时针旋转90°得到的。

【考点】作图（平移变换、轴对称变换），全等图形，旋转和轴对称的性质，勾股定理和逆定理。

【分析】

（1）利用△ABC三边长度，画出以A1为顶点的三角形三边长度即可，利用图象平移，可得出

△A1B1C1。

（2）利用点B关于直线AC的对称点D，得出D点坐标，根据勾股定理和逆定理可得出AD与AB的位置关系。

2.（2012海南省8分）如图，在正方形网络中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为（－2，4）、（－2，0）、（－4，1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：

（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1.

（2）平移△ABC，使点A移动到点A2（0，2），画出平移后的△A2B2C2并写出点B2、C2的坐标.

（3）在△ABC、△A1B1C1、△A2B2C2中，△A2B2C2与成中心对称，其对称中心的坐标为.

【答案】解：

（1）△ABC关于原点O对称的△A1B1C1如图所示：

（2）平移后的△A2B2C2如图所示：

点B2、C2的坐标分别为（0，－2），（－2，－1）。

（3）△A1B1C1；（1，－1）。

【考点】网格问题，作图（中心对称变换和平移变换），中心对称和平移的性质。

【分析】

（1）根据中心对称的性质，作出A、B、C三点关于原点的对称点A1、B1、C1，连接即可。

（2）根据平移的性质，点A（－2，4）→A2（0，2），横坐标加2，纵坐标减2，所以将B（－2，0）、C（－4，1）横坐标加2，纵坐标减2得到B2（0，－2）、C2（－2，－1），连接即可。

（3）如图所示。

3.（2012广东梅州7分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（直接填写答案）

（1）点A关于点O中心对称的点的坐标为　　；

（2）点A1的坐标为　　；

（3）在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，那么弧BB1的长为　　．

【答案】解：

（1）（﹣3，﹣2）。

（2）（﹣2，3）。

（3）

。

【考点】坐标与图形的旋转变化，关于原点对称的点的坐标特征，弧长的计算。

【分析】

（1）根据关于坐标原点成中心对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数的性质即可得。

（2）根据平面直角坐标系写出即可。

（3）先利用勾股定理求出OB的长度，然后根据弧长公式列式进行计算即可得解：

根据勾股定理，得

，∴弧BB1的长=

。

4.（2012广东广州12分）如图，⊙P的圆心为P（﹣3，2），半径为3，直线MN过点M（5，0）且平行于y轴，点N在点M的上方．

（1）在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′．根据作图直接写出⊙P′与直线MN的位置关系．

（2）若点N在

（1）中的⊙P′上，求PN的长．

【答案】解：

（1）如图所示，⊙P′即为所求作的圆。

⊙P′与直线MN相交。

（2）设直线PP′与MN相交于点A，

则由⊙P的圆心为P（﹣3，2），半径为3，直线MN过点M（5，0）且平行于y轴，点N在⊙P′上，得

P′N=3，AP′=2，PA=8。

∴在Rt△AP′N中，

。

在Rt△APN中，

。

【考点】网格问题，作图（轴对称变换），直线与圆的位置关系，勾股定理。

【分析】

（1）根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等找出点P′的位置，然后以3为半径画圆即可。

再根据直线与圆的位置关系解答。

（2）设直线PP′与MN相交于点A，在Rt△AP′N中，利用勾股定理求出AN的长度，在Rt△APN中，利用勾股定理列式计算即可求出PN的长度。

5.（2012浙江温州8分）如图，在方格纸中，△PQR的三个顶点及A,B,C,D,E五个点都在小方格的顶点上，现以A,B,C,D,E中的三个顶点为顶点画三角形，

（1）在图甲中画出一个三角形与△PQR全等；

（2）在图乙中画出一个三角形与△PQR面积相等但不全等.

【答案】解：

（1）如图所示：

（2）如图所示：

【考点】作图（复杂作图），全等图形。

【分析】

（1）过A作AE∥PQ，过E作EB∥PR，再顺次连接A、E、B。

（答案不唯一）

（2）∵△PQR面积是：

×QR×PQ=6，∴连接BA，BA长为3，再连接AD、BD，三角形的面积也是6，但是两个三角形不全等。

（答案不唯一）

6.（2012江苏泰州10分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将△ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到△A1B1C1，然后将△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B2C2．

（1）在网格中画出△A1B1C1和△A1B2C2；

（2）计算线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积（重叠部分不重复计算）

【答案】解：

（1）如图所示：

（2）∵图中是边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，

∴

。

∵将△ABC向下平移4个单位AC所扫过的面积是以4为底，以2为高的平行四边形的面积：

4×2=8。

再向右平移3个单位AC所扫过的面积是以3为底，以2为高的平行四边形的面积：

4×2=6。

当△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°到△A1B2C2时，A1C1所扫过的面积是以A1为圆心以以

为半径，圆心角为90°的扇形的面积，重叠部分是以A1为圆心，以

为半径，圆心角为45°的扇形的面积，去掉重叠部分，面积为：

∴线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积=8＋6＋π×=14+π。

【考点】作图（平移和旋转变换），平移和旋转的性质，网格问题，勾股定理，平行四边形面积和扇形面积的计算。

【分析】

（1）根据图形平移及旋转的性质画出△A1B1C1及△A1B2C2即可。

（2）画出图形，根据图形平移及旋转的性质分三部分求取面积。

7.（2012江苏常州6分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC和△DEF的顶点坐标分别为A（1，0）、B（3，0）、C（2，1）、D（4，3）、E（6，5）、F（4，7）。

按下列要求画图：

以点O为位似中心，将△ABC向y轴左侧按比例尺2：

1放大得△ABC的位似图形△A1B1C1，并解决下列问题：

（1）顶点A1的坐标为▲，B1的坐标为▲，C1的坐标为▲；

（2）请你利用旋转、平移两种变换，使△A1B1C1通过变换后得到△A2B2C2，且△A2B2C2恰与△DEF拼接成一个平行四边形（非正方形）。

写出符合要求的变换过程。

【答案】解：

作图如下：

（1）（－2，0），（－6，0），（－4，－2）。

（2）符合要求的变换有两种情况：

情况1：

如图1，变换过程如下：

将△A2B2C2向右平移12个单位，再向上平移5个单位；再以B1为中心顺时针旋转900。

情况2：

如图2，变换过程如下：

将△A2B2C2向右平移8个单位，再向上平移5个单位；再以A1为中心顺时针旋转900。

8.（2012广东河源6分）．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△AOB的三个顶点均在格点上，

点A、B的坐标分别为（3，2）、（1，3）．△AOB绕点O逆时针旋转90º后得到△A1OB1．

（1）点A关于O点中心对称的点的坐标为；

（2）点A1的坐标为；

（3）在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，那么弧BB1的长为．

【答案】解：

（1）（﹣3，﹣2）。

（2）（﹣2，3）。

（3）

。

【考点】坐标与图形的旋转变化，关于原点对称的点的坐标特征，弧长的计算。

【分析】

（1）根据关于坐标原点成中心对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数的性质即可得。

（2）根据平面直角坐标系写出即可。

（3）先利用勾股定理求出OB的长度，然后根据弧长公式列式进行计算即可得解：

根据勾股定理，得

，∴弧BB1的长=

。

9.（2012福建漳州8分）利用对称性可设计出美丽的图案．在边长为1的方格纸中,有如图所示的四边

形（顶点都在格点上）．

（1）先作出该四边形关于直线

成轴对称的图形，再作出你所作的图形连同原四边形绕0点按顺时针方向旋转90o后的图形；

（2）完成上述设计后，整个图案的面积等于_________．

【答案】解：

（1）作图如图所示：

先作出关于直线l的对称图形；再作出所作的图形连同原四边形绕0点按顺时针方向

旋转90°后的图形。

（2）20。

【考点】利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案。

【分析】

（1）根据图形对称的性质先作出关于直线l的对称图形，再作出所作的图形连同原四边形绕0点按顺时针方向旋转90°后的图形即可。

（2）先利用割补法求出原图形的面积，由图形旋转及对称的性质可知经过旋转与轴对称所得图形与原图形全等即可得出结论。

∵边长为1的方格纸中一个方格的面积是1，∴原图形的面积为5。

∴整个图案的面积=4×5=20。

10.（2012福建福州7分）如图，方格纸中的每个小方格是边长为1个单位长度的正方形．

①画出将Rt△ABC向右平移5个单位长度后的Rt△A1B1C1；

②再将Rt△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°，画出旋转后的Rt△A2B2C1，并求出旋转过程中线段

A1C1所扫过的面积（结果保留π）．

【答案】解：

①如图所示；

②如图所示；

在旋转过程中，线段A1C1所扫过的面积等于

＝4π。

【考点】平移变换和旋转变换作图，扇形面积的计算。

【分析】根据图形平移的性质画出平移后的图形，再根据在旋转过程中，线段A1C1所扫过的面积等于以点C1为圆心，以A1C1为半径，圆心角为90度的扇形的面积，再根据扇形的面积公式进行解答即可。

11.（2012福建泉州9分）如图，在方格纸中（小正方形的边长为1），反比例函数

与直线的交点A、B均在格点上，根据所给的直角坐标系（点O是坐标原点），解答下列问题：

（1）分别写出点A、B的坐标后，把直线AB向右平移平移5个单位，再在向上平移5个单位，画出平移后的直线A′B′.

（2）若点C在函数

的图像上，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，请写出点C的坐标.

【答案】解：

（1）点A的坐标是（－1，－4）；点B的坐标是（－4，－1）。

平移后的直线如图：

（2）.点C的坐标是（－2，－2）或（2,2）。

【考点】点的坐标，一次函数的平移变换，反比例函数的性质，等腰三角形的性质。

【分析】

（1）根据两点所在象限及距离坐标轴的距离可得相应坐标，进而把两点做相应的平移，连接即可；

（2）看AB的垂直平分线与抛物线哪两点相交即可。

12.（2012湖北武汉7分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（－1，3）、（－4，1），先

将线段AB沿一确定方向平移得到线段A1B1，点A的对应点为A1，点B1的坐标为（0，2），在将线段A1B1

绕远点O顺时针旋转90°得到线段A2B2，点A1的对应点为点A2．

（1）画出线段A1B1、A2B2；

（2）直接写出在这两次变换过程中，点A经过A1到达A2的路径长．

【答案】解：

（1）画出线段A1B1、A2B2如图：

（2）在这两次变换过程中，点A经过A1到达A2的路径长为

。

【考点】网格问题，图形的平移和旋转变换，勾股定理，扇形弧长公式。

【分析】

（1）根据图形的平移和旋转变换性质作出图形。

（2）如图，点A到点A1的平移变换中，

，

点A2到点A3的平移变换中，

∵

，

∴

。

∴在这两次变换过程中，点A经过A1到达A2的路径长为

。

13.（2012湖南张家界6分）如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列操作：

先将格点△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点C1点旋转180°得到△A2B2C2．

【答案】解：

如图所示：

【考点】作图（旋转变换和平移变换）。

【分析】将△ABC向右平移4个单位后，横坐标变为x+4，而纵坐标不变，所以点A1、B1、C1的坐标可知，确定坐标点连线即可画出图形△A1B1C1，将△A1B1C1中的各点A1、B1、C1旋转180°后，得到相应的对应点A2、B2、C2，连接各对应点即得△A2B2C2。

14.（2012湖南郴州6分）作图题：

在方格纸中：

画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1．

【答案】解：

如图所示：

①过点A作AD⊥MN，延长AD使AD=A1D；

②过点B作BE⊥MN，延长BE使B1E=BE；

③过点C作CF⊥MN，延长CF使CF=C1F；

④连接A1B1、C1B1、A1C1即可得到△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1。

【考点】轴对称变换作图。

【分析】分别作A、B、C三点关于直线MN的对称点A1、B1、C1，连接A1B1、C1B1、A1C1即可。

15.（2012四川凉山6分）如图，梯形ABCD是直角梯形．

（1）直接写出点A、B、C、D的坐标；

（2）画出直角梯形ABCD关于y轴的对称图形，使它与梯形ABCD构成一个等腰梯形．

（3）将

（2）中的等腰梯形向上平移四个单位长度，画出平移后的图形．（不要求写作法）

【答案】解：

（1）如图所示，根据A，B，C，D，位置得出点A、B、C、D的坐标分别为：

（－2，－1），（－4，－4），（0，－4），（0，－1）。

（2）根据A，B两点关于y轴对称点分别为：

A′（2，－1），B′（4，－4），

在坐标系中找出A′，B′，连接DA′，A′B′，B′C，即可得等腰梯形AA′B′B，即为所求，如下图所示：

（3）将对应点分别向上移动4个单位，可得等腰梯形EFGH，即为所求，如上图所示。

【考点】作图（轴对称和平移变换），直角梯形和等腰梯形的性质

【分析】

（1）根据A，B，C，D，位置得出点A、B、C、D的坐标即可。

（2）首先求出A，B两点关于y轴对称点，在坐标系中找出，连接各点，即可得出图象。

（3）将对应点分别向上移动4个单位，即可得出图象。

16.（2012辽宁丹东8分）已知：

△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）.（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）

（1）画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；

（2）以点B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2︰1，并直接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积．

【答案】解：

（1）如图，△A1B1C1即为所求，C1（2，－2）。

（2）如图，△A2BC2即为所求，C2（1，0），△A2BC2的面积：

10

【考点】作图（平移和位似变换）。

【分析】

（1）根据网格结构，找出点A、B、C向下平移4个单位的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点C1的坐标。

（2）延长BA到A2，使AA2=AB，延长BC到C2，使CC2=BC，然后连接A2C2即可，再根据平面直角坐标系写出C2点的坐标，利用△A2BC2所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解：

△A2BC2的面积=6×4－

×2×6－

×2×4－

×2×4=10。

17.（2012贵州安顺12分）在如图所示的方格图中，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”，根据图形，回答下列问题．

（1）图中格点△A′B′C′是由格点△ABC通过怎样的变换得到的？

（2）如果以直线a、b为坐标轴建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（﹣3，4），请写出格点△DEF各顶点的坐标，并求出△DEF的面积．

【答案】解：

（1）图中格点△A′B′C′是由格点△ABC向右平移7个单位长度得到的；

（2）如果以直线a、b为坐标轴建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（﹣3，4），则格点△DEF各顶点的坐标分别为D（0，﹣2），E（﹣4，﹣4），F（3，﹣3），

过点F作FG∥x轴，交DE于点G，

则G（－2，－3）。

∴S△DEF=S△DGF+S△GEF=

×5×1+

×5×1=5。

【考点】作图（平移变换），网格问题，三角形的面积。

【分析】

（1）直接根据图形平移的性质得到△A′B′C′即可。

（2）根据△DEF所在的格点位置写出其坐标，过点F作FG∥x轴，交DE于点G，，再根据三角形的面积公式求解。

18.（2012贵州六盘水10分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形．Rt△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（﹣4，1），点B的坐标为（﹣1，1）．

（1）先将Rt△ABC向右平移5个单位，再向下平移1个单位后得到Rt△A1B1C1．试在图中画出图形Rt△A1B1C1，并写出A1的坐标；

（2）将Rt△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°后得到Rt△A2B2C2，试在图中画出图形Rt△A2B2C2．并计算Rt△A1B1C1在上述旋转过程中C1所经过的路程．

【答案】解：

（1）如图所示，△A1B1C1即为所求作的三角形。

点A1的坐标为（1，0）。

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求作的三角形。

根据勾股定理，A1C1=

，

∴旋转过程中C1所经过的路程为

。

【考点】网格问题，作图（旋转和平移变换），勾股定理，弧长的计算。

【分析】

（1）根据网格结构找出点A．B．C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A1的坐标即可。

（2）根据网格结构找出点A1、B1、C1绕点A1顺时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再根据勾股定理求出A1C1的长度，然后根据弧长公式列式计算即可得解。

19.（2012广西河池8分）如图，在10×10的正方形网格中，△ABC的顶点和线段EF的端点都在边长为

1的小正方形的顶点上．

（1）