指数对数幂函数对比.docx
《指数对数幂函数对比.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《指数对数幂函数对比.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
指数对数幂函数对比
指数函数
概念：
一般地，函数y=a^x（a>0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。
注意：
⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。
⒉指数函数的定义仅是形式定义。
指数函数的图像与性质
规律：
1.当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
2.当a>1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；
当0在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。
3.四字口诀：
“大增小减”。
即：
当a>1时，图像在R上是增函数；当04.指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
比较幂式大小的方法：
1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；
2.当底数中含有字母时要注意分类讨论；
3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；
4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较
底数的平移：
在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
在f（X）后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
对数函数
1.对数函数的概念
由于指数函数y=ax在定义域（-∞，+∞）上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=ax（a>0，a≠1）的反函数称为对数函数，并记为y=logax（a>0，a≠1）.
2.对数函数的图像与性质
对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x.据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.
为了研究对数函数y=logax（a>0，a≠1）的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数
y=log2x，y=log10x，y=log10x,y=log1x,y=log1x的草图
210
由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=logax（a>0，a≠1）的图像的特征和性质
见下表.
a>1
a<1
图
象
（1）x>0
性
（2）当x=1时，y=0
质
（3）当x>1时，y>0
（3）当x>1时，y<0
000
（4）在（0，+∞）上是增函数
（4）在（0，+∞）上是减函数
补
设y1=logaxy2=logbx其中a>1，b>1（或0充
当x>1时“底大图低”即若a>b则y1>y2
性
当0b，则
y1>y2
质
比较对数大小的常用方法有：
（1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.
（2）若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.
（3）若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.
（4）若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.
3.指数函数与对数函数对比
名称
指数函数
对数函数
一般形式
y=ax（a>0，a≠1）
y=logax（a>0，a≠1）
定义域
（-∞，+∞）
（0，+∞）
值域
（0，+∞）
（-∞，+∞）
当a>1时，
当a>1时
函
数
1（x0）
0（x1）
数
值
ax1（x0）
logax0（x1）
变
1（x0）
0（x1）
化
当0当0情
1（x0）
0（x1）
况
x
ax1（x0）
logax0（x1）
1（x0）
0（x1）
单调性
当a>1时，ax是增函数；
当a>1时，logax是增函数；
当0当0图像
y=ax的图像与y=logax的图像关于直线y=x对称.
幂函数
幂函数的图像与性质
幂函数yxn随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌
n11
握yxn，当n2,1,,,3的图像和性质，列表如下．
23
从中可以归纳出以下结论：
①它们都过点1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．
11
②a,,1,2,3时，幂函数图像过原点且在0,上是增函数．
32
1
③a,1,2时，幂函数图像不过原点且在0,上是减函数．
2
④任何两个幂函数最多有三个公共点
y
nx
奇函数
偶函数
非奇非偶函数
n
1
y
y
y
O
x
O
x
O
x
0
n1
y
y
y
O
x
O
x
O
x
n
0
y
y
y
O
x
O
x
O
x
yx
2yx
3yx
1
yx2
1yx
定义域
R
R
R
x|x0
x|x0
奇偶性
奇
奇
奇
非奇非偶
奇
在第Ⅰ象限的增减
在第Ⅰ象限
在第Ⅰ象限
在第Ⅰ象限
在第Ⅰ象限
在第Ⅰ象限
性
单调递增
单调递增
单调递增
单调递增
单调递减
幂函数yx（xR，是常数）的图像在第一象限的分布规律是：
①所有幂函数yx（xR，是常数）的图像都过点（1,1）；
1
1,2,3,1
②当2时函数yx的图像都过原点（0,0）；
3当1时，yx的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如c2）；
4当2,3时，yx的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如c1）
1
5当2时，yx的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如c3）
6当1时，yx的的图像不过原点（0,0），且在第一象限是“下滑”曲线（如c4）当0时，幂函数yx有下列性质：
（1）图象都通过点（0,0）,（1,1）；
（2）在第一象限内都是增函数；
（3）在第一象限内，1时，图象是向下凸的；01时，图象是向上凸的；
（4）在第一象限内，过点（1,1）后，图象向右上方无限伸展。
当0时，幂函数yx有下列性质：
1）图象都通过点（1,1）；
2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；
3）在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近；向右无限地与x轴无限地接近；
无论取任何实数，幂函数
yx的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限
b
函数yax（a>0,b>0）
x
的图象及均值不等式，当x>0时，ax
对号函数
叫做对号函数，因其在（0，+∞）的图象似符号“√”而得名，利用对号函数
bbbbb
2（当且仅当ax即x时取等号），由此可得函数yax
xaxax
a>0,b>0,x∈R+）的性质:
a=b=1时函数有最小值2。
函数
yax
b（a>0,b>0）在区间（0，
x
b）上是减函数，在区间
a
b，+∞）上是增函数。
a
因为函数yaxb（a>0,b>0）是奇函数，所以可得函数yaxb（a>0,b>0,x∈R-）的性质：
xx
当xb时，函数yaxb（a>0,b>0,x∈R-）有最大值-2b，特别地，当a=b=1时函数有最大值-2。
axa
函数
yaxb（a>0,b>0）在区间（-∞，-b）上是增函数，在区间（-b，0）上是减函数。
xaa
升级会员 