（2）当a＝c时，P点的轨迹是__两条射线___；
（3）当a>c时，集合P是__空集___
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
22
x2－y2＝1
a2－b2＝1
（a>0，b>0）
ya22－xb22＝1
（a>0，b>0）
图形
性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：
坐标轴对称中心：
原点
顶点
顶点坐标：
A1__（－a,0）___，
A2（a,0）
顶点坐标：
A1__（0，－a）___，
A2（0，a）
渐近线
by＝__±x___
a
a
y＝±bx
离心率
e＝c，e∈（1，＋∞），其中c＝a2＋b2a
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的__实轴___，它的长|A1A2|＝__2a___；线段B1B2叫做双曲线的__虚轴___，它的长|B1B2|＝__2b___；__a___叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的关系
c2＝a2＋b2（c>a>0，c>b>0）
ZHONGYAOJIELUN重要结论
双曲线中的几个常用结论
（1）焦点到渐近线的距离为b.
（2）实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．
（3）双曲线为等轴双曲线?
双曲线的离心率e＝2?
双曲线的两条渐近线互相垂直（位置关
系）．
）
SHUANGJIZICE双基自测
B．2
D．3
∴3c2＝4b2＝4（c2－a2）．∴c2＝4a2，e2＝4，e＝2.
三个顶点，则双曲线的离心率（B）
A．32
C．52［解析］设F1（－c,0），F2（c,0）．
4．（2019·天津模拟）已知双曲线ax2－yb2＝1（a>0，b>0）的焦距为25，且双曲线的一条渐近线
与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为（A）
且|PF1|＝5，则|PF2|＝（D）
A．5
B．3
C．7
D．3或7
［解析］∵||PF1|－|PF2||＝2，∴|PF2|＝7或3.
到一条渐近线的距离为23c，则其离心率的值是__2___
［解析］双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，则F（c,0）到这条渐近线的距离为
x2y2
例1
（1）（2019西·安模拟）设F1，F2分别是双曲线a2－b2＝1的左、右焦点，若双曲线
（B）
上存在点A，使∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为
（2）已知F是双曲线x4－1y2＝1的左焦点，A（1,4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为__9___［解析］
（1）因为∠F1AF2＝90°，故|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝4c2，又|AF1|＝3|AF2|，且|AF1|－|AF2|＝2a，故10a2＝4c2，即e＝c＝10.故选B．
a2
（2）设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|PA|最小
时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图像，可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，
|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1|＝5，故所求的最小值为9.
名师点拨?
进而求出曲线方程；可在“焦
应用双曲线的定义，可判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，
点三角形”中，利用正弦定理、余弦定理，并结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用配方法，建立与|PF1|·PF|2|的联系．应用双曲线的定义时，若去掉绝对值，则点的轨迹是双曲线的一支．
变式训练1〕
A．1
D．18
4
若|PF1|＝3|PF2|，则△F1PF2的面积为（B
A．48
C．12[解析]如图，取线段PF1的中点M，
则|OP＋OF1|＝|2OM|＝8，所以|PF2|＝8.
由|PF1|－|PF2|＝10，得|PF1|＝18，故选D．
（2）由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝13|PF2|＝2a＝2，
解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，
自主练透
因此S△PF1F2＝12|PF1|×|PF2|＝24.
考点2求双曲线的方程
例2根据下列条件，求双曲线的标准方程：
（1）与已知双曲线x2－4y2＝4有共同渐近线且经过点（2,2）；
（2）渐近线方程为y＝±12x，焦距为10；
（3）经过两点P（－3,27）和Q（－62，－7）；
（4）双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为2，且过点（4，－10）．
[解析]
（1）设所求双曲线方程为x2－4y2＝λ（λ≠0），
将（2,2）代入上述方程，得22－4·22＝λ，∴λ＝－12.
y2x2
∴所求双曲线方程为y3－1x2＝1.
x2
（2）设所求双曲线方程为4－y2＝λ（λ≠0），
x2y2
当λ>0时，双曲线标准方程为x－y＝1，
4λλ
∴c＝5λ.∴5λ＝5，λ＝5；
y2x2
当λ<0时，双曲线标准方程为－＝1，
∴所求双曲线方程为
－λ－4λ
x2y2y2x2
－＝1或－＝1
20－5＝或5－20＝
（3）设双曲线方程为mx2－ny2＝1.（mn>0）
∴双曲线方程为2y5－7x5＝1.
2575
1610x2y2
则1m6－1m0＝1，解得m＝6.∴x6－y6＝1.
名师点拨?
求双曲线的标准方程的方法
（1）定义法：
由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求
出a2，b2，写出双曲线方程．
（2）待定系数法：
先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即
据条件求λ的值．
x2y2
（2）（2018课·标Ⅱ卷）双曲线ax2－by2＝1（a>0，b>0）的离心率为3，则其渐近线方程为（A）
b1
[解析]
（1）根据题意，令y＝0，则x＝5，即c＝5.又a＝2，所以a2＝20，b2＝5，所以双曲线的方程为2x0－y5＝1.
（2）∵e＝3，∴ba＝e2－1＝3－1＝2，∴双曲线的渐近线方程y＝±bax＝±2x.故选A．
角度2双曲线的离心率
－b2＝1的一条渐近线经过点（3，－4），则此双
x2y2
例4
（1）（2019湖·南模拟）若双曲线2a
曲线的离心率为（D）
（2）（2019广·东江门模拟）F1，F2是双曲线C的焦点，过点F1且与双曲线实轴垂直的直线与双曲线相交于点A，B，且△F2AB为正三角形，则双曲线的离心率e＝（B）
A．2B．3
C．2D．5
bb4
[解析]
（1）由已知可得双曲线的渐近线方程为y＝±bax，点（3，－4）在渐近线上，∴ba＝34，又a2＋b2＝c2，∴c2＝a2＋196a2＝295a2，∴e＝ac＝53，选D．
（2）由△ABF2是正三角形，则在Rt△AF1F2中，有∠AF2F1＝30°，∴|AF1|＝21|AF2|.
又|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝4a，|AF1|＝2a.
又|F1F2|＝2c，在Rt△AF1F2中，|AF1|2＋|F1F2|2＝|AF2|2，
得到4a2＋4c2＝16a2，∴a2＝3，∴e＝a＝3.故选B．
名师点拨?
xa22－yb22＝1（a>0，b>0）中，离
与双曲线的几何性质有关的问题
1．双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±ab满足关系式e2＝1＋k2.
a，b，c的
2．求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量
c
方程或不等式，利用b2＝c2－a2和e＝ca转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
变式训练2〕
x2
a2－
（1）（角度1）（2019四·川绵阳联考）已知双曲线C
yb2＝1（a>0，b>0）的渐近线方程为y＝±34
B．
D．
x，且其右焦点为（5,0），则双曲线C的方程为（x2y2
A．－＝1
．916
22
xy
C．－＝1
C．3－4＝1
）
x2－y2＝1
169
22x2－y2＝1431（a>0，b>0）上存在一点P满足以|OP|为边长
的正方形的面积等于2ab（其中O为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（C）
57
A．（1，2]B．（1，2]
57
C．[25，＋∞）D．[27，＋∞）[解析]
（1）由题意得ba＝43，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以所求双曲线的方程为1x6－y9＝1.
（2）由条件得|OP|2＝2ab.又∵P为双曲线上一点，
∴|OP|≥a，∴2ab≥a2，∴2b≥a.
例5（2019·承德模拟）已知点M（－2,0），N（2,0），动点P满足条件|PM|－|PN|＝22，记动点P的轨迹为W.
（1）求W的方程；
（2）若A和B是W上的不同两点，O是坐标原点，求O→A·O→B的最小值．
［解析］
M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a＝2.
又焦距2c＝4，所以虚半轴长b＝c2－a2＝2.
x2y2所以W的方程为x2－y2＝1（x≥2）．
（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．当AB⊥x轴时，x1＝x2，y1＝－y2，从而O→A·O→B＝x1x2＋y1y2＝x12－y12＝2.
当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m（k≠±1，）与W的方程联立，消去y得（1－k2）x2－2kmx－m2－2＝0，
2
则x1＋x2＝，x1x2＝
1－k2k2－1
2kmm2＋2所以OA·OB＝x1x2＋y1y2
＝x1x2＋（kx1＋m）（kx2＋m）＝（1＋k2）x1x2＋km（x1＋x2）＋m2
1＋k2m2＋22k2m22
＝2＋2＋m2
k2－11－k2
又因为x1x2>0，所以k2－1>0.
所以O→A·O→B>2.
综上所述，当AB⊥x轴时，O→A·O→B取得最小值2.
名师点拨?
x或y
这时直线平行于
研究直线与双曲线位置关系问题的通法：
将直线方程与双曲线方程联立，消元得关于的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线某支相交于一点，一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．对于中点弦问题常用“点差法”，但需要检验．
〔变式训练3〕
x2
设双曲线C：
2－y2＝1（a>0）与直线l：
x＋y＝1相交于两个不同点A，B.a
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围；
（2）设直线l与y轴的交点为P，且P→A＝12P→B，求a的值．
x2
［解析］
（1）将y＝－x＋1代入双曲线a2－y2＝1（a>0）中，得（1－a2）x2＋2a2x－2a2＝0.
1－a2≠0，
所以解得00，
→5→5
因为PA＝12PB，所以（x1，y1－1）＝12（x2，y2－1），
x1x2＝152x22
2a2，
1－a2
2a228917消去x2得－1－a2＝60，由a>0，解得a＝13.
x2y2
（2）（角度2）（2019广·桂林模拟）若双曲线x2－y2＝ab
由于x1，x2是方程（1－a2）x2＋2a2x－2a2＝0的两根，
且1－a2≠0，所以x1＋x2＝1127x2＝－12－aa2，
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