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1、双曲线教学讲义双曲线教学讲义ZHI SHI SHU LI知识梳理1双曲线的定义平面内与两个定点 F1、F2 的_距离的差的绝对值等于常数 (小于 |F1F2|)_的点的轨迹叫做双 曲线这两个定点叫做双曲线的 _焦点 _，两焦点间的距离叫做双曲线的 _焦距 _. 注：设集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a，c 为常数，且 a0，c0；(1)当 ac 时，集合 P 是_空集 _2双曲线的标准方程和几何性质标准方程22x2y21a2b21（a 0，b0）ya22xb221（a0，b0）图形性质范围xa 或 x a， y RxR，y a 或 ya对称性对称轴：坐标轴 对称中心：

2、原点顶点顶点坐标：A1_（ a,0）_ ，A2（a,0）顶点坐标：A1_（0 ， a）_ ，A2（0，a）渐近线b y_ x_aaybx离心率e c，e (1， )，其中 c a2b2 a实虚轴线段 A1A2叫做双曲线的 _实轴 _，它的长 |A1A2|_2a_；线段 B1B2叫做双曲线的 _虚轴 _，它的长 |B1B2|_2b_；_a_叫做双 曲线的 实半轴长 ，b 叫做双曲线的 虚半轴长 a、 b、 c 的关系c2a2b2(ca0， c b0)ZHONG YAO JIE LUN 重要结论双曲线中的几个常用结论(1)焦点到渐近线的距离为 b.(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线(3

3、)双曲线为等轴双曲线 ? 双曲线的离心率 e 2? 双曲线的两条渐近线互相垂直 (位置关系)）SHUANG JI ZI CE 双基自测B2D33c24b24（c2a2）c24a2，e24，e2.三个顶点，则双曲线的离心率 ( B )A32C52 解析 设 F1（c,0），F2（c,0）4 (2019 天津模拟 )已知双曲线 ax2 yb2 1(a0， b0) 的焦距为 2 5 ，且双曲线的一条渐近线与直线 2xy 0 垂直，则双曲线的方程为 ( A )且|PF1|5，则 |PF 2| ( D )A5B3C7D 3 或 7解析 |PF1|PF2|2，|PF2|7或 3.到一条渐近线的距离为 23

4、c，则其离心率的值是 _2_解析 双曲线的 一条渐近线方程 为 bx ay0，则 F(c,0)到这条渐近线的距离 为x2 y2例 1 (1)(2019 西安模拟 )设 F1，F2分别是双曲线 a2 b2 1 的左、右焦点，若双曲线(B)上存在点 A，使 F 1AF 290 ，且 |AF 1| 3|AF 2|，则双曲线的离心率为(2)已知 F 是双曲线 x4 1y21的左焦点， A(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则 |PF|PA|的 最小值为 _9_ 解析 (1)因为F1AF290，故 |AF1|2|AF2|2|F1F2|24c2，又|AF1|3|AF2|，且|AF 1|AF2| 2a，故

5、 10a2 4c2，即 e c 10.故选 Ba2(2)设双曲线的右焦点为 F1，则由双曲线的定义， 可知|PF| 4 |PF1|，所以当 |PF 1| |PA|最小时满足 |PF|PA|最小 由双曲线的图像，可知当点 A，P，F 1共线时， 满足|PF 1| |PA|最小，|AF 1|即|PF1|PA|的最小值又 |AF1|5，故所求的最小值为 9.名师点拨 ?进而求出曲线方程； 可在 “ 焦应用双曲线的定义， 可判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，点三角形 ” 中，利用正弦定理、余弦定理，并结合 |PF 1| |PF2| 2a，运用配方法，建立与 |PF1| PF|2|的联系应用双曲线的定义

6、时，若去掉绝对值，则点的轨迹是双曲线的一支变式训练 1A1D184若|PF1|3|PF2|，则 F1PF2 的面积为 ( BA48C12 解析 如图，取线段 PF1的中点 M，则|OP OF 1| |2OM | 8，所以 |PF2|8.由|PF1|PF2|10，得 |PF1|18，故选 D (2)由双曲线的定义可得 |PF 1|PF2|13|PF2|2a2，解得 |PF2|6，故 |PF1|8，又|F1F2|10， 由勾股定理可知三角形 PF1F2 为直角三角形，自主练透因此 SPF 1F212|PF1|PF2|24.考点 2 求双曲线的方程例 2 根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1) 与

7、已知双曲线 x24y24 有共同渐近线且经过点 (2,2)；(2)渐近线方程为 y 12x，焦距为 10；(3)经过两点 P(3,2 7)和 Q(6 2， 7)；(4)双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为 2，且过点 (4， 10)解析 (1)设所求双曲线方程为 x24y2(0)，将(2,2) 代入上述方程，得 22 4 22 ， 12.y2 x2所求双曲线方程为 y3 1x2 1.x2(2)设所求双曲线方程为 4 y2(0)，x2 y2当 0 时，双曲线标准方程为 x y 1，4 c 5. 55， 5；y2 x2当 0)双曲线方程为 2y5 7x51.25 7516 10 x 2 y2

8、则1m61m01，解得 m6.x6 y6 1.名师点拨 ?求双曲线的标准方程的方法(1) 定义法： 由题目条件判断出动点轨迹是双曲线， 由双曲线定义， 确定 2a,2b 或 2c，从而求出 a2， b2，写出双曲线方程(2)待定系数法： 先确定焦点在 x轴还是 y 轴，设出标准方程，再由条件确定 a2，b2的值，即据条件求 的值x2 y2 (2)(2018 课标卷 )双曲线 ax2by21(a0， b0)的离心率为 3，则其渐近线方程为 ( A )b1解析 (1)根据题意，令 y 0，则 x5，即 c5.又a2，所以 a220，b25，所以双曲线 的方程为 2x0y5 1.(2)e 3，ba

9、e2 1 31 2， 双曲线的渐近线方程 y bax 2x.故选 A角度 2 双曲线的离心率b21 的一条渐近线经过点 (3， 4) ，则此双x2 y2例 4 (1)(2019 湖南模拟 ) 若双曲线 2 a曲线的离心率为 ( D )(2)(2019 广东江门模拟 )F1，F2是双曲线 C 的焦点，过点 F1 且与双曲线实轴垂直的直线与双 曲线相交于点 A，B，且 F2AB 为正三角形，则双曲线的离心率 e( B )A 2 B 3C 2 D 5b b 4解析 (1)由已知可得双曲线的渐近线方程为 ybax，点 (3， 4)在渐近线上， ba34，又 a2b2c2，c2a2196a2 295a2

10、，eac 53，选 D（2）由ABF 2是正三角形，则在 RtAF 1F2中，有 AF2F130， |AF1|21|AF2|.又|AF2|AF1|2a，|AF2|4a，|AF 1|2a.又|F1F2|2c，在 RtAF1F2 中， |AF 1|2|F1F2|2|AF 2|2，得到 4a2 4c2 16a2， a23，e a 3.故选 B 名师点拨 ?xa22yb221（a0，b0）中，离与双曲线的几何性质有关的问题1双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线 心率 e 与双曲线的渐近线的斜率 kab满足关系式 e21k2.a， b，c 的2求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系

11、转化为关于双曲线基本量c方程或不等式， 利用 b2c2a2 和 eca转化为关于 e的方程或不等式， 通过解方程或不等式 求得离心率的值或取值范围变式训练 2x2a2（1）（ 角度 1）（2019 四川绵阳联考 ）已知双曲线 Cyb2 1（a0， b0）的渐近线方程为 y34BDx，且其右焦点为 （5,0），则双曲线 C 的方程为 （ x2 y2A 1 9 1622xyC 1C 3 41）x2y2116 922 x2y21 43 1（a0， b0）上存在一点 P 满足以 |OP|为边长的正方形的面积等于 2ab（其中 O 为坐标原点 ），则双曲线的离心率的取值范围是 （ C ）57A（1， 2

12、 B （1， 2 57C 25， ） D 27， ） 解析 （1）由题意得 ba43，c2a2b2 25， 所以 a 4， b3， 所以所求双曲线的方程为 1x6y9 1.(2)由条件得 |OP|22ab.又P 为双曲线上一点，|OP| a，2ab a2，2b a.例5 (2019 承德模拟 )已知点 M(2,0)，N(2,0)，动点 P满足条件 |PM | |PN| 2 2， 记动点 P 的轨迹为 W.(1)求 W 的方程；(2)若A和B是 W上的不同两点， O是坐标原点，求 OAOB的最小值解析M，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长 a 2.又焦距 2c4，所以虚半轴长 b c2 a2 2

13、.x2 y2 所以 W 的方程为 x2 y2 1(x 2)(2)设 A，B 的坐标分别为 (x1，y1)， (x2，y2) 当 ABx 轴时， x1 x2， y1 y2， 从而 OAOB x1x2 y1y2 x12 y12 2.当 AB 与 x 轴不垂直时， 设直线 AB 的方程为 ykxm(k 1，)与 W的方程联立， 消去 y 得 (1k2)x22kmxm220，2则 x1x2 ， x1x21 k2 k212km m2 2 所以 OAOB x1x2 y1y2x1x2 （kx1 m）（ kx2 m） （1k2）x1x2km（x1 x2） m21 k2 m2 2 2k2m2 2 2 2 m2k

14、2 1 1 k2又因为 x1x20，所以 k2 10.所以 OA OB2.综上所述，当 ABx轴时， OAOB取得最小值 2.名师点拨 ?x或y这时直线平行于研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程与双曲线方程联立，消元得关于 的一元二次方程 当二次项系数等于 0 时，直线与双曲线某支相交于一点， 一条渐近线；当二次项系数不等于 0 时，用判别式 来判定对于中点弦问题常用 “ 点差 法” ，但需要检验变式训练 3x2设双曲线 C： 2y21(a0)与直线 l：xy1 相交于两个不同点 A，B. a(1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围；(2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且PA 12PB，求 a的值x2解析 (1)将 yx1 代入双曲线 a2y21(a0)中， 得（1a2）x22a2x2a2 0.1a20，所以 解得 0a0， 5 5因为 PA12PB，所以 (x1，y11) 12(x2，y21)，x1x2152x222a2 ，1a22a2 289 17 消去x2得1a260，由a0，解得 a13.x2 y2（2）（角度 2）（2019 广桂林模拟 ）若双曲线 x2 y2 ab由于 x1， x2是方程 (1a2)x22a2x2a20 的两根，且 1a20，所以 x1x21127x2 12aa2，