奥数几何三角形五大模型带解析.docx
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奥数几何三角形五大模型带解析
三角形五大模型
【专题知识点概述】
本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。
重点模型重温
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如右图
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图；
反之，如果，则可知直线平行于．
④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
二、等分点结论（“鸟头定理”）
如图，三角形占三角形面积的×=
三、任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）
1S1︰S24︰S3或者S1×S32×S4
2②︰（S12）︰（S43）
梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）
1S1︰S32︰b2
②S1︰S3︰S2︰S4=a2︰b2︰︰;
③S的对应份数为（）2
模型四：
相似三角形性质
如何判断相似
（1）相似的基本概念：
两个三角形对应边城比例，对应角相等。
（2）判断相似的方法：
①两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似；
②两个三角形若有两条边对应成比例，且这两组对应边所夹的角相等则两个三角形相似。
①;
2S1︰S22︰A2
模型五：
燕尾定理
S△：
S△＝S△：
S△＝：
；
S△：
S△＝S△：
S△＝：
；
S△：
S△＝S△：
S△＝：
；
【重点难点解析】
1.模型一与其他知识混杂的各种复杂变形
2.在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”
【竞赛考点挖掘】
1.三角形面积等高成比
2.“鸟头定理”
3.“蝴蝶定理”
【习题精讲】
【例1】（难度等级※）
如图，长方形的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形边上的中点，H为边上的任意一点，求阴影部分的面积.
【例2】（难度等级※）
如右图，和都是矩形，的长是4厘米，的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米．
【例3】（难度等级※）
如图，在三角形中，8厘米，6厘米，E、F分别为和的中点，那么三角形的面积是多少平方厘米？
【例4】（难度等级※※※）
如图，在面积为1的三角形中，3是的中点，延长交边于E,求三角形和三角形的面积之和。
【例5】（难度等级※※）
如右图，，那么三角形的面积是三角形面积的几分之几？
【例6】（难度等级※）
如图所示，四边形与都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．
【例7】（难度等级※）
如图，在长方形中，Y是的中点，Z是的中点，如果24厘米，8厘米，求三角形的面积．
【例8】（难度等级※※）
如图，正方形的边长为4厘米，和平行，的面积是7平方厘米，求的长。
【例10】（难度等级※※）
如图已知四边形和都是正方形，且正方形的边长为10厘米，那么图中阴影三角形的面积为多少平方厘米?
【例11】（难度等级※※）
如图，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面积为?
【例12】（难度等级※※※）
如图，平行四边形周长为75厘米，以为底时高是14厘米；以为底时高是16厘米。
求平行四边形的面积。
【例13】（难度等级※※※）
如右图，正方形的边长为6厘米，△、△与四边形的面积彼此相等，求三角形的面积.
【例14】（难度等级※※※）
如图，三角形被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，4，3，6，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？
【例15】（难度等级※）
某公园的外轮廓是四边形，被对角线、分成四个部分，△面积为1平方千米，△面积为2平方千米，△的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？
【例16】（难度等级※※）
图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：
阴影部分的面积是多少平方厘米?
【作业】
1.如图，三角形中，，，三角形的面积是20平方厘米，三角形的面积是多少？
2.如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少？
3.右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形的面积。
4.如图，平行四边形，，2，3，4，平行四边形的面积是2，求平行四边形与四边形的面积比.
5.如图，在△中，延长，，F是的中点，若△的面积是2，则△的面积是多少？
【例1】（难度等级※）
如图，长方形的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形边上的中点，H为边上的任意一点，求阴影部分的面积.
【分析与解】
如右图，连接、，由E、F、G分别为、、三边的中点有、、.
因此S12，S34，S56,而阴影部分面积236，空白部分面积145.所以阴影部分面积与空白部分面积相等，均为长方形的一半，即阴影部分面积为28.
【例2】（难度等级※）
如右图，和都是矩形，的长是4厘米，的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米．
【分析与解】
上排4个阴影三角形的高都等于，底边之和恰好为，他们的面积之和为；下排4个三角形的高都等于，底边之和恰好为，他们的面积
之和为.所以阴影部分面积为:
（平方厘米）.
【例3】（难度等级※）
如图，在三角形中，8厘米，6厘米，E、F分别为和的中点，那么三角形的面积是多少平方厘米？
【分析与解】
首先，平方厘米，而F是中点，所以.又E是中点，所以平方厘米.
【例4】（难度等级※※※）
如图，在面积为1的三角形中，3是的中点，延长交边于E,求三角形和三角形的面积之和。
【分析与解】
连接,于是三角形的面积=三角形的面积，所求被转化为三角形的面积。
因为F是中点，所以三角形的面积和三角形的面积相等，设为1份,
则为3份因此一共7份，
每份面积为所以占3份为。
【例5】（难度等级※※）
如右图，，那么三角形的面积是三角形面积的几分之几？
【分析与解】
上图中，三角形与三角形的高相等，而，于是，
又由于三角形与三角形的高相等，而,于是,
所以，三角形的面积=×三角形的面积=××三角形的面积=×三角形的面积
【例6】（难度等级※）
如图所示，四边形与都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．
【分析与解】
连接
显然有，
所以
【例7】（难度等级※）
如图，在长方形中，Y是的中点，Z是的中点，如果24厘米，8厘米，求三角形的面积．
【分析与解】
平方厘米
因为Y是中点，Z是中点，所以
【例8】（难度等级※※）
如图，正方形的边长为4厘米，和平行，的面积是7平方厘米，求的长。
【分析与解】
××+××=7平方厘米
即××7平方厘米；3.5厘米
【例10】（难度等级※※）
如图已知四边形和都是正方形，且正方形的边长为10厘米，那么图中阴影三角形的面积为多少平方厘米?
【分析与解】
连接
由和都是正方形有
所以.
由平行线间距离相等知三角形和三角形同底等高
所以
【例11】（难度等级※※）
如图，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面积为?
【分析与解】
如右图，已知
2332+12
所以23+32+12
67.
【例12】（难度等级※※※）
如图，平行四边形周长为75厘米，以为底时高是14厘米；以为底时高是16厘米。
求平行四边形的面积。
【分析与解】
×14×16，：
16：
14，
，×=20
面积=14×20=280（平方厘米）
【例13】（难度等级※※※）
如右图，正方形的边长为6厘米，△、△与四边形的面积彼此相等，求三角形的面积.
【分析与解】
因为△、△与四边形的面积彼此相等，所以四边形的面积与△、△的面积都等于正方形面积的三分之一，也就是：
在△中，因为＝6.所以＝4，同理＝4，因此＝＝2，
∴△的面积为2×2÷2＝2．
所以（平方厘米）．
【例14】（难度等级※※※）
如图，三角形被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，4，3，6，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？
【分析与解】
由有；由，，有.由鸟头定理有，，故.
【例15】（难度等级※）
某公园的外轮廓是四边形，被对角线、分成四个部分，△面积为1平方千米，△面积为2平方千米，△的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？
【分析与解】
由任意四边形的蝴蝶定理有
所以平方千米，故公园总面积为
平方千米，人工湖面积为平方千米
【例16】（难度等级※※）
图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：
阴影部分的面积是多少平方厘米?
【分析与解】
如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接．
设△的面积为x，显然△、△、△的面积均为x，则△的面积为3x，即，那么正方形内空白部分的面积为.
所以原题中阴影部分面积为（平方厘米）．
【作业】
1.如图，三角形中，，，三角形的面积是20平方厘米，三角形的面积是多少？
【答案】120
2.如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少？
【答案】97
3.右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形的面积。
【答案】8
4.如图，平行四边形，，2，3，4，平行四边形的面积是2，求平行四边形与四边形的面积比.
【答案】1：
17
6.如图，在△中，延长，，F是的中点，若△的面积是2，则△的面积是多少？
【答案】3.5
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