奥数几何三角形五大模型带解析.docx

1、奥数几何三角形五大模型带解析 三角形五大模型 【专题知识点概述】本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。重点模型重温一、等积模型等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图夹在一组平行线之间的等积变形，如右图；反之，如果，则可知直线平行于等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比二、等分点结论（“鸟头定理

2、”）如图，三角形占三角形面积的= 三、任意四边形中的比例关系 （“蝴蝶定理”）1 S1S24S3 或者S1S32S4 2 （S12）（S43）梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）1 S1S32b2S1S3S2S4= a2b2 ; S的对应份数为（）2模型四：相似三角形性质如何判断相似(1)相似的基本概念：两个三角形对应边城比例，对应角相等。(2)判断相似的方法：两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似；两个三角形若有两条边对应成比例，且这两组对应边所夹的角相等则两个三角形相似。 ; 2 S1S22A2 模型五：燕尾定理S：SS：S：；S：SS：S：；S：SS：S：；【重点难点解析】1. 模

3、型一与其他知识混杂的各种复杂变形2. 在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”【竞赛考点挖掘】1. 三角形面积等高成比2. “鸟头定理”3. “蝴蝶定理”【习题精讲】【例1】（难度等级 ）如图，长方形的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形边上的中点，H为边上的任意一点，求阴影部分的面积.【例2】（难度等级 ）如右图，和都是矩形，的长是4厘米，的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米【例3】（难度等级 ）如图，在三角形中，8 厘米，6厘米，E、F分别为和的中点，那么三角形的面积是多少平方厘米？【例4】（难度等级 ）如图，在面积为1的三角形中，3是的中点，延长交边于E,求三角形和三角形的面

4、积之和。【例5】（难度等级 ）如右图，那么三角形的面积是三角形面积的几分之几？【例6】（难度等级 ）如图所示，四边形与都是平行四边形，请你证明它们的面积相等【例7】（难度等级 ）如图，在长方形中，Y是的中点，Z是的中点，如果24厘米，8厘米，求三角形的面积【例8】（难度等级 ）如图，正方形的边长为4厘米，和平行， 的面积是7平方厘米，求的长。【例10】（难度等级 ）如图已知四边形和都是正方形，且正方形的边长为10厘米，那么图中阴影三角形的面积为多少平方厘米? 【例11】（难度等级 ）如图，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面积为?【例12】（难度等级

5、）如图，平行四边形周长为75厘米，以为底时高是14厘米；以为底时高是16厘米。求平行四边形的面积。【例13】（难度等级 ）如右图，正方形的边长为6厘米，、与四边形的面积彼此相等，求三角形的面积.【例14】（难度等级 ）如图，三角形被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，4，3，6，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？【例15】（难度等级 ）某公园的外轮廓是四边形，被对角线、分成四个部分，面积为1平方千米，面积为2平方千米，的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？【例16】（难度等级 ）图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米问：阴影部分的面积是多少平方厘米

6、?【作业】1. 如图，三角形中，三角形的面积是20平方厘米，三角形的面积是多少？2. 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49那么图中阴影部分的面积是多少？3. 右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米， 求三角形的面积。4. 如图，平行四边形，2，3，4，平行四边形的面积是2， 求平行四边形与四边形的面积比. 5. 如图，在中，延长，F是的中点，若的面积是2，则的面积是多少？【例1】（难度等级 ）如图，长方形的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形边上的中点，H为边上的任意一点，求阴影部分的面积.【分析与解】 如右图，连接、，由E、F、

7、G分别为、三边的中点有、.因此S12，S34，S56,而阴影部分面积236，空白部分面积145.所以阴影部分面积与空白部分面积相等，均为长方形的一半，即阴影部分面积为28.【例2】（难度等级 ）如右图，和都是矩形，的长是4厘米，的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米【分析与解】 上排4个阴影三角形的高都等于，底边之和恰好为，他们的面积之和为；下排4个三角形的高都等于，底边之和恰好为，他们的面积之和为.所以阴影部分面积为:(平方厘米).【例3】（难度等级 ）如图，在三角形中，8 厘米，6厘米，E、F分别为和的中点，那么三角形的面积是多少平方厘米？【分析与解】首先，平方厘米，而F是中点，所

8、以.又E是中点，所以平方厘米. 【例4】（难度等级 ）如图，在面积为1的三角形中，3是的中点，延长交边于E,求三角形和三角形的面积之和。【分析与解】 连接,于是三角形的面积=三角形的面积，所求被转化为三角形的面积。因为F是中点，所以三角形的面积和三角形的面积相等，设为1份,则为3份 因此一共7份，每份面积为 所以占3份为。【例5】（难度等级 ）如右图，那么三角形的面积是三角形面积的几分之几？【分析与解】 上图中，三角形与三角形的高相等，而，于是， 又由于三角形与三角形的高相等，而,于是, 所以，三角形的面积=三角形的面积=三角形的面积 =三角形的面积 【例6】（难度等级 ）如图所示，四边形与都

9、是平行四边形，请你证明它们的面积相等【分析与解】连接显然有，所以【例7】（难度等级 ）如图，在长方形中，Y是的中点，Z是的中点，如果24厘米，8厘米，求三角形的面积【分析与解】平方厘米因为Y是中点，Z是中点，所以【例8】（难度等级 ）如图，正方形的边长为4厘米，和平行， 的面积是7平方厘米，求的长。【分析与解】 + = 7平方厘米即7平方厘米；3.5厘米【例10】（难度等级 ）如图已知四边形和都是正方形，且正方形的边长为10厘米，那么图中阴影三角形的面积为多少平方厘米? 【分析与解】 连接由和都是正方形有所以.由平行线间距离相等知三角形和三角形同底等高所以【例11】（难度等级 ）如图，一个长方

10、形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面积为?【分析与解】 如右图，已知2332+12所以 23+32+12 67.【例12】（难度等级 ）如图，平行四边形周长为75厘米，以为底时高是14厘米；以为底时高是16厘米。求平行四边形的面积。【分析与解】1416，：16：14，=20面积=1420=280（平方厘米）【例13】（难度等级 ）如右图，正方形的边长为6厘米，、与四边形的面积彼此相等，求三角形的面积.【分析与解】因为、与四边形的面积彼此相等，所以四边形的面积与、的面积都等于正方形面积的三分之一，也就是： 在中，因为6.所以4，同理4，因此2，的面积为2222所

11、以（平方厘米）【例14】（难度等级 ）如图，三角形被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，4，3，6，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？【分析与解】由有；由，有.由鸟头定理有，故.【例15】（难度等级 ）某公园的外轮廓是四边形，被对角线、分成四个部分，面积为1平方千米，面积为2平方千米，的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？【分析与解】由任意四边形的蝴蝶定理有所以平方千米，故公园总面积为平方千米，人工湖面积为平方千米【例16】（难度等级 ）图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米问：阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】 如下图所示，为了方便所叙，

12、将某些点标上字母，并连接设的面积为x，显然、的面积均为x，则的面积为3x，即，那么正方形内空白部分的面积为. 所以原题中阴影部分面积为 (平方厘米)【作业】1. 如图，三角形中，三角形的面积是20平方厘米，三角形的面积是多少？【答案】1202. 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49那么图中阴影部分的面积是多少？【答案】973. 右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米， 求三角形的面积。【答案】84. 如图，平行四边形，2，3，4，平行四边形的面积是2， 求平行四边形与四边形的面积比. 【答案】1：176. 如图，在中，延长，F是的中点，若的面积是2，则的面积是多少？【答案】3.5