六年级下册数学试题数学竞赛幻方 全国通用含答案.docx
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六年级下册数学试题数学竞赛幻方全国通用含答案
小学数学六年级（2019全国通用）-数学竞赛部分-幻方（含答案）
一、单选题
1.在如图方格表中的每个方格中填人一个字母，使得方格表中每行、每列及两条对角线上的四个方格中的字母都是A，B，C，D，那么表中★所在方格应填的字母是（ ）
A. A
B. B
C. C
D. D
2.将1到8这8个自然数分别填入如图数阵中的8个圆圈，使得数阵中各条直线上的三个数之和都相等，那么A和B两个圆圈中所填的数之和最大是（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
3.“九宫阵”是一个9×9的方阵，它是由九个3×3的“九宫格”（图中黑实线围住的方阵）组成．请你在下图中将数字1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入空格内，使得每行、每列及9个“九宫格”中数字1～9均恰好出现一次．当填写完后，那么，位于第4行第4列的数字是（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
4.将1，2，3，4，5，6分别填入6×6的方格网（如图所示）的36个小方格中，使得每一行每一列中的6个数1，2，3，4，5，6各出现一次，并且满足与不等号相邻的两个数中小数是大数的约数，那么，第二行从左到右的第6个数是（ ）（左图是一个3×3的例子）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
5.我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．如图给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图．有以下4个点图可供选择
其中，正确的是（ ）
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
二、填空题
6.已知如图中每行、每列和对角线上的三个数之和都相等，那么A=________ ，B=________ ，C=________ ，D=________ ，E=________ ．
7.将1﹣﹣8这八个整数放在正方体的八个顶点上，要求任一面上四个数之和都相等，请在如图正方体八个顶点处写出符合上述要求的一种填法．________ ．
8.如图的4×4网格里，横、竖、对角线上的四个数之和均等于“2010”，则a+b+c+d=________ ．
9.把3、5、7、9、11、13、15、17、19填在适当的位置，使每行每列，每条对角线上三个数和为33．
10.将2000至2010这11个数不重复地填入图中的圆圈内，每个圆圈恰填入一个数，使得图中十条经过三个格子的线段，每一条线段上的三个圆圈内所填数的总和都相等，请问，左下角所填的数是________ ．
11.在空格内填入数字1～6，使得每行、每列和每宫内数字不重复．虚线框里的小数表示虚线框里数字的和．那么，最后一行前五个数依次是：
________ ．
12.在3×3的表格中，有3个数分别是3、4、7．又已知表格中的每行、每列和对角线上的三个数的和都相等，那么问号所代表的数是________ ．
3
？
4
7
13.将一些数字分别填入下列各表中，要求每个小格中填入一个数字，表中的每横行中从左到右数字由小到大，每一数列中从上到下数字也由小到大排列．
（1）将1至4填入表1中，方法有________ 种；
（2）将1至6填入表2中，方法有________ 种；
（3）将1至9填入表3中，方法有________ 种；
表1：
表2：
表3：
14.如图，4×4方格被分成了五块；请你在每格中填入1、2、3、4中的一个，使得每行、每列的四个数各不相同，且每块上所填数的和都相等．则A、B、C、D四处所填数字之和是________ ．
三、计算题
15. 将4至12的九个整数填入下图九个格内，使纵、横及斜三个数字的和均是一样，问A和B是那两个数字？
四、应用题
16.在如图的五个小圆圈内分别填上
，
，
，1，1
五个数，使每条直线上三个数相加的和都相等．
17.将1至8这8个自然数分别填入图中的正方体的八个顶点处的○内，并使每个面上的四个○内的数字之和都相等．
18.将1﹣﹣9这九个数填入右边的九宫格（三阶幻方）中．
19.利用猴子跳楼法，写出1﹣49的数字并且每一行一列对角线上的数字之和相等．
20.只用2，3，5三个数（可重复使用）填在右图中的○内，使得每个三角形三个顶点上的三个数的和都相等．
21.如图为6×6的数独游戏，在36方格的大宫格内，每行和每列分别填上1至6的数字．大宫格内有6个分别由6个小方格组成小宫格，以粗线作为分隔．每个小宫格内亦分别填上1至6的数字，请在空白的小格中填上1至6的数字，使得最后每行、每列、每小宫格都不出现重复的数字．
22.将1～7这七个数字，分别填入图中各个圆圈内，使每条线段上的三个圆圈内的三个数字之和相等．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】C
【考点】幻方
【解析】【解答】解：
如图：
①≠D、C、A，只能是B；
同理，★部分的字母≠A、B、D，只能是C，
所以，★部分的方格中填入的字母是C．
故选：
C．
【分析】先确定①的位置：
①≠D、C、A，只能是B；同理，根据容斥原理，★部分的字母≠A、B、D，只能是C，据此解答即可．
2.【答案】B
【考点】幻方
【解析】【解答】解：
设幻和为a，则5a=2×（1+2+3+…+8）﹣B，5a=72﹣B
又因两条斜线和下面一条横线的和也相等，可知
3a=（1+2+3+…+8）+A，可得3a=36+A，a=12+A÷3，所以A只能是3或6
当A是3时幻和是13，当A是6时幻和是14，再根据5a=72﹣B
可确定当A=3时，B=7
当A=4时，B=6，所以幻和最大是3+7=10．
故选：
B．
【分析】图中一共有5条线段，每条线段上的数字和相等，可先求出幻和是多少，设幻和为a，则5a=2×（1+2+3+…+8）﹣B，5a=72﹣B，又因两条斜线和下面一条横线的和也相等，可知
3a=（1+2+3+…+8）+A，可得3a=36+A，然后再进行分析进行解答即可．
3.【答案】A
【考点】幻方
【解析】【解答】解：
由分析可知位于第4行第4列的数字是2；
故选：
A．
【分析】如图，首先找出第4行第4列的数字所在行列的数字为1、3、6、7、8、9，这个数字所在的3×3的“九宫格”内的数字里面有5，那么这个数字只能为2或4；由第4行第5列的数字所在行列的数字为1、2、3、5、6、7、8、9，这个数字所在的3×3的“九宫格”内的数字里面有9，那么第4行第5列的数字是4；由此得出位于第4行第4列的数字只能是2，得出结论．
4.【答案】D
【考点】幻方
【解析】【解答】解：
通过排除试填，得到如下答案，如图：
故选：
D．
【分析】首先发现能组成约数的一组为：
1、2、4，1、3、6，1、2、6，1和任意一个数；再发现对角线的数只能为6或4，带黑点的空只能为1或2，连续两个小于或大于的只能考虑连续三个数是倍数关系的；而6由两组适合的约数，因此首先确定对角线为6试填，由此逐一分析即可得出答案．
5.【答案】C
【考点】幻方
【解析】【解答】解：
每个点表示1，中间数就是5，幻和是5×3=15．
左下角的数是：
15﹣5﹣2=8，
P点的数是：
15﹣8﹣1=6．
P点有6个点组成，与③相同．
故选：
C．
【分析】把一个点看成1，那么中间数是5，幻和就是5×3=15；再根据这个幻和进行推算．
二、填空题
6.【答案】40；30；10；15；50
【考点】幻方
【解析】【解答】解：
根据第1行和第1列的各数之和相等，可得第1行的A数为：
A=15+50+25﹣35﹣15=40
然后根据对角线上的三个数之和和第1列的各数之和相等，可得B数为：
B=15+50+25﹣35﹣25=30
再根据每行、每列和对角线上的三个数之和都相等，求出：
D=15+50+20﹣40﹣30=15
C=15+50+25﹣50﹣30=10
E=15+50+25﹣15﹣25=50
故答案为：
40，30，10，15，50．
【分析】通过分析：
首先根据第1行和第1列的各数之和相等，可得第1行的A数为：
A=15+50+25﹣35﹣15=40；然后根据对角线上的三个数之和和第1列的各数之和相等，可得B数为：
B=15+50+25﹣35﹣25=30；再根据每行、每列和对角线上的三个数之和都相等，求出D=15+50+20﹣40﹣30=15，C=15+50+25﹣50﹣30=10，E=15+50+25﹣15﹣25=50，据此解答即可．
7.【答案】18
【考点】幻方
【解析】【解答】解：
如图所示：
【分析】将每个面上的和全都加起来，就相当于每个点上的数都加了3次，总和为：
3×（1+2+…+8），而共有6个面，则每个面上的和为即每个面上的和为（1+2+3+4+5+6+7+8）×3÷6=18；
于是我们可以将这8个数字放到相应位置，满足每个面的和等于18．
8.【答案】2010
【考点】幻方
【解析】【解答】解：
根据分析可得，c=d+1，b=d+4，a=d+5，
（d﹣1）+a+b+（d+2）=2010，
（d﹣1）+（d+5）+（d+4）+（d+2）=2010，
解得：
d=500，
c=d+1=500+1=501，
b=d+4=500+4=504，
a=d+5=500+5=505，
所以：
a+b+c+d=505+504+501+500=2010．
故答案为：
2010．
【分析】根据双偶数阶幻方的制作的对称性可知：
d原来在a的位置，c原来在b的位置，（原图如下）；因此可得：
c=d+1，b=d+4，a=d+5，d原来左面的数是d﹣1，c右面的数是d+2，根据幻和等于2010，可得：
（d﹣1）+a+b+（d+2）=（d﹣1）+（d+5）+（d+4）+（d+2）=2010，得出d=500，进而可得：
a=505，b=504，c=501，那么a+b+c+d=505+504+501+500=2010．
9.【答案】解：
【考点】幻方
【解析】【分析】因为每行、每列、每条对角线上各数的和都等于33，所以幻和为33，中心数为33÷3=11，那么每行、每列、每条对角线上其它两数的和是33﹣11=22，所以再根据其它的两个数凑成和为22，即3+19=5+17=7+15=9+13，然后填空即可．
10.【答案】2005
【考点】幻方
【解析】【解答】解：
答：
左下角所填的数是2005．
故答案为：
2005．
【分析】通过观察可知一共有10条线，1个数字用5次，1个数字用4次，3个数字用3次，6个数字用2次，可把2000到2010看作是0到10，11个数字来进行计算，通过计算平均每条线的和在12.1和18.2之间，然后用5次的数字用5或6去试，再确定4次的数用哪个数，然后再确定其它位置上的数是多少．
11.【答案】3、6、2、4、5
【考点】幻方
【解析】【解答】解：
根据分析，可得
5
4
1
2
6
3
6
2
3
1
4
5
4
1
5
3
2
6
2
3
6
5
1
4
1
5
4
6
3
2
3
6
2
4
5
1
所以最后一行前五个数依次是：
3、6、2、4、5．
故答案为：
3、6、2、4、5．
【分析】首先根据第2列的第3个数和第4个数的和是4，可得第2列的第3个数和第4个数一个是1，另一个是3；再根据第5列的第3个数和第4个数的和是3，可得第5列的第3个数和第4个数一个是2，另一个是1；再根据第4列的第2个数和第3个数的和是4，可得第4列的第2个数和第3个数一个是1，另一个是3．然后根据第1列的第2个数和第3个数的和是10，可得第1列的第2个数和第3个数一个是6，另一个是4；再根据第6列的第2个数和第3个数的和是11，可得第6列的第2个数和第3个数一个是5，另一个是6；再根据第3列的第4个数和第5个数的和是10，可得第3列的第4个数和第5个数一个是6，另一个是4；再根据第4列的第4个数和第5个数的和是11，可得第4列的第4个数和第5个数一个是5，另一个是6．
最后根据第3列的第2个数和第3个数的和是8，可得第3列的第2个数和第3个数一个是2，另一个是6，或者一个是3，另一个是5；再根据每行、每列和每宫内数字不重复，判断出各个空格内的数的大小，进而判断出最后一行前五个数依次是多少即可．
12.【答案】5
【考点】幻方
【解析】【解答】解：
3+7+★=★+□+4
得出□=6
6×3=18
所以？
=18﹣7﹣6=5．
答：
问号所代表的数是5．
故答案为：
5．
【分析】如图，首先由3+7+★=★+□+4，推出中间的数字为6；又因每行、每列以及每条对角线上的三个数的和相等，说明行、列以及对角线上的三个数的和是6的3倍为18，由此解决问题．
13.【答案】2；5；42
【考点】幻方
【解析】【解答】解：
（1）如图，1和4是固定的，另外两格随便选，2种．
如下：
；
（2）1和6是固定的，其余的不确定：
（3）由
（2）的规律已经知道，6格是5种；
1、2、3确定后，剩下的6个一定是5种，比如：
同理：
也对各对应5个；
但是
例外，对应的不是5个．因为第一排右边的数限制了下面的数．
如下：
所以：
共计5+5+5+4+2=21（种）．
同理，以上所有情况倒过来后都有一一对应的种类
翻了一番，共21×2=42（种）．
故答案为：
2，5，42．
【分析】
（1）要符合每横行从左到右数字由小到大，每竖列从上到下数字也由小到大排列．图一中，1只能在A的位置，4只能在D的位置，2和3可在B、C这两个格子中排列，所以共有2种方法；
（2）图二中，1只能在A的位置，6只能在F的位置，2只能在B和D，5只能在C、E的位置，数字5在C，有2种排列，数字5在E，又有3种排列方法；所以一共有2+3=5（种）．
（3）由
（2）的规律已经知道，6格是5种，1、2、3确定后，剩下的6个一定是5种；由此进行求解．
14.【答案】10
【考点】幻方
【解析】【解答】解：
经分析试填，答案如下：
【分析】首先16个方格的和为4×（1+2+3+4）=40，所以每一块的和为40÷5=8；4个数的和为8的只有1+2+3+2和1+1+2+4两种，3个数的和为8的有1+3+4、2+2+4、2+3+3三种，其中只有1+3+4三个加数各不相同，所以A只能填1、3、4，所以B只能是2，B所在块中的另外两个数只能是3+3（排除）或2+4，如图：
再看C所在的块，这能填1+2+3+2或1+1+2+4，其中C右侧的数只能是重复的数，如图：
事实上以上两个中2可以确定位置，以下的数字调整即可得出答案．
三、计算题
15.【答案】解：
这九个数的和是：
（4+12）×9÷2=72
幻和是：
72÷3=24
所以，A=24﹣12﹣4=8
那么A下面的格子里的数是：
24﹣10﹣8=6
所以，B=24﹣11﹣6=7
答：
A和B分别是8和7．
【考点】幻方
【解析】【分析】这九个数的和是：
（4+12）×9÷2=72，那么幻和是：
72÷3=24，所以A=24﹣12﹣4=8，那么A下面的格子里的数是：
24﹣10﹣8=6，所以，B=24﹣11﹣6=7，据此解答即可．
四、应用题
16.【答案】解：
这个幻方是：
【考点】幻方
【解析】【分析】
﹣
=
，
﹣
=
，1﹣
=
，1
﹣1=
，相邻两个数的差相等，所以这幻方中间的数就是这5个数的中位数[MISSINGIMAGE:
]，然后让最大的数和最小的数在一条直线上，剩下的两个数在同一条直线上即可．
17.【答案】解：
如图所示：
【考点】幻方
【解析】【分析】将每个面上的和全都加起来，就相当于每个点上的数都加了3次，总和为：
3×（1+2+…+8），而共有6个面，则每个面上的和为
=18，即每个面上的和为18，于是我们可以将这8个数字放到相应位置，满足每个面的和等于18．
18.【答案】解：
因为：
1+9=2+8=3+7=4+6=10；
按上述条件填出并调整可得到一个三阶幻方，其幻和为15．
幻方如下（答案不唯一）：
【考点】幻方
【解析】【分析】根据题意，要使三阶幻方的幻和为15，所以中心数必为15÷3=5，那么与5在一条直线上的各个组的其余两个数的和为10，调整和为10的两个数的位置填入幻方即可．
19.【答案】解：
这个幻方如下：
【考点】幻方
【解析】【分析】把1﹣49这49个数字放入一个7×7的矩阵中，使每行、每列及对角线上的七个数字之和相等，即构造一个7阶幻方．对所有奇数阶幻方的构造，都可以采取“连续摆数法”（猴子跳楼），其法则如下：
把“1”放在中间一列最上边的方格中，从它开始，按对角线方向（比如说按从左下到右上的方向）顺次把由小到大的各数放入各方格中，如果碰到顶，则折向底，如果到达右侧，则转向左侧，如果进行中轮到的方格中已有数或到达右上角，则退至前一格的下方．
20.【答案】解：
这个幻方可以是（答案不唯一）：
【考点】幻方
【解析】【分析】先把2、3、5写在一个上面三角形的三个顶点上，然后再根据组成其它三角形的各个顶点都是用2、3、5这三个数进行求解即可．
21.【答案】解：
对各个小宫格编号如下：
先看己：
已经有了数字1、3、6，缺少2、4、5；观察发现：
5不能在第四列，4不能在第五列，而2不能在第五行；所以2只能在第六行第五列，4就在第六行第四列，5在第五行第七列；如下：
观察上图发现：
第四列已经有数字1、3、4、5，缺少2和6，由于2不能在第一行，所以6在第四列的第一行，那么2在第四列的第四行；如下：
再看乙部分：
已经有了数字3、4、6，缺少数字1、2、5，观察上图发现：
5不能在第六列，所以5在第五列的第二行；1不能在第二行，所以1至你呢个在第一行的第六列，剩下的2在第二行第六列；如下：
观察上图可知：
第二行缺少4，所以第二行第一列是4；第六列缺少4、6，由于6不能在第四行，所以第六列的第三行是6，那么第四行就是4；
第三列已经有了数字1、2、6，缺少3、4、5，4不能在第一行和第六行，所以第三列的第三行是4，3不能在第六行，所以第三列的第六行是5，那么剩下的3在第三列的第一行；如下：
再观察甲部分：
已经有了数字1、2、3、4、6，缺少5，所以第一行的第二列就是5；第六行的缺少数字6，所以第六行的第一列就是数字6；
戊部分：
已经有了数字1、2、5、6，缺少数字3、4，4不能在第一列，所以第一列的第五行只能是3，第二列的第五行就是4；
第三行已经有了数字4、5、6，缺少1、2、3；第一列有了数字2、3，所以第三行的第一列就是数字1；第五列有了数字2，所以第三行第五列就是3，剩下的2在第三行第二列；
丁部分缺少数字1，丙部分缺少数字3、5，3不能在第一列，所以第四行第一列是5，第二列是3；那么这个数独就是：
【考点】幻方
【解析】【分析】粗线把这个数独分成了6块，为了便于解答，对各部分进行编号：
甲、乙、丙、丁、戊、己，先从各部分中数字最多的己出发，找出其各个小方格里面的数，再根据每行、每列、每小宫格都不出现重复的数字进行推算．
22.【答案】解：
1+2+3+4+5+6+7=28；
令中心数为1，
三条线段的总和为：
28+1+1=30，
每条线段上的和是30÷3=10，
因为10=1+2+7=1+3+6=1+4+5．
所以这个图是：
【考点】幻方
【解析】【分析】1～7的和为28先确定中心数，如果中心数是1，那么3条线段的上的总和就是28+1+1=30，再使每条线段上的和是10即可．
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