《复变函数与积分变换》课程教学大纲.docx
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《复变函数与积分变换》课程教学大纲
《复变函数与积分变换》课程教学大纲
大纲执笔人：
大纲审核人：
一、课程性质和教学目标（在人才培养中的地位与性质及主要内容，指明学生需掌握知识与能力及其应达到的水平）课程性质：
《复变函数与积分变换》的理论和方法广泛应用于电气工程、通讯工程、自动化等相关学科，并且已经成为解决众多理论和实际问题的强有力工具，成为了电气工程及其自动化专业一门重要的基础理论课程，而高等数学的是它的必须的先修课程。
对于本专业而言，是学习《自动控制原理》、《现代控制理论》、《线性系统理论》、《信号与系统》等许多相关课程的必须先修课程之一。
教学目标：
通过本课程的讲授和学习，使学生在学习高等数学的基础上，系统的掌握《复变函数与积分变换》中必要的基础理论和常用的计算方法，培养学生比较熟练的运算能力，能比较熟练运用复变函数、积分变换的方法来有效地比较系统地解决一些问题。
并且逐步培养能够建立比较复杂系统数学模型的能力，在此基础上，进一步地提升分析问题、解决问题的水平和能力。
并为后续的专业基础课程、专业课程的学习，以及将来从事教学、科研及其它实际工作打下必要相当水准的理论知识基础。
本课程的具体教学目标如下：
1.熟练掌握复数与复变函数、解析函数、复变函数积分、复级数、留数、傅里叶变换和拉普拉斯变换的基本概念、基本理论、基本方法和某些相关的应用，为进一步学习打下坚实的理论基础。
2.大致了解理想典型电子线性器件的时域和频域的数学模型，为后续课程比较复杂的线性电气系统或者比较复杂的线性力学系统的数学模型的建立、分析和控制做好理论、学识上准备。
3.基本理解时滞环节的频域表达形式，并且与上述的线性系统有机结合，构建相对更加复杂的非线性系统的数学模型，为以后专业课上对此非线性系统的数学模型的分析、控制做好基础的准备。
为以后解决实际复杂工程问题做好知识上的储备。
教学目标与毕业要求的对应关系：
毕业要求指标点课程目标对应关系说明毕业要求1：
工程知识1-1握专业所需的数理知识，能用于专业问题的理解、建模、分析与求解教学目标1能比较熟练运用复变函数、积分变换的方法，大致了解理想典型电子线性器件的时域和频域的数学模型。
毕业要求2：
问题分析2-1运用数理和工程知识进行专业领域复杂工程问题中的内涵识别与理解分析教学目标2了解理想典型电子线性器件的时域和频域的数学模型，为复杂的线性系统的数学模型分析提供理论基础。
教学目标3基本理解时滞环节的频域表达形式，并且对与线性系统有机结合、构建相对更加复杂的非线性系统的数学模型有所认识。
二、课程教学内容及学时分配（含课程教学、自学、作业、讨论等内容和要求，指明重点内容和难点内容。
重点内容：
«；
难点内容：
∆1、复数和复变函数（4学时）（支撑教学目标1）1.1复数知识点：
复数的概念，共轭复数及复数的四则运算1.2复平面及复数的三角表达式知识点：
复平面，复数的模与幅角及三角表达式，复数模的三角不等式，利用复数的三角表达式作乘除法，复数的乘方和开方。
1.3平面点集知识点：
邻域和开集，区域、简单曲线，连通域，无穷远点1.4复变函数知识点：
复变函数的概念，复变函数的极限与连续性要求：
掌握复数的概念（复数是向量）及其各种不同的表示方法，了解各个表示方法的特点和适合使用的场合；
复数的四则运算、乘方、开方运算及其几何意义；
能够在复平面上找到由代数或三角表示复数的坐标所在；
共轭复数及其运算性质；
复变函数的概念，复变函数的极限和连续的概念（与实函数做比较）。
了解：
复平面的概念，平面点集的概念，复变函数的极限和连续的概念。
理解：
复变函数的概念，共轭复数及其运算性质。
掌握：
复数的概念及其各种表示法，复数的四则运算、乘方、开方运算及其几何意义。
重点内容：
复数的四则运算及乘幂与开方的运算，复数的表示法，复变函数的概念。
教学难点：
复变函数的极限与连续性。
2、解析函数（6学时）（支撑教学目标1）2.1解析函数的概念知识点：
复变函数的导数，解析函数的概念与求导规则，函数解析的充要条件2.2解析函数与调和函数的关系知识点：
调和函数，共轭调和函数2.3初等函数知识点：
指数函数，对数函数，幂函数，三角函数在复数域下的概念及解析性要求：
掌握函数解析的充要条件，柯西-黎曼条件判别函数解析性的方法，解析函数与调和函数的关系。
了解：
调和函数的定义，初等函数的定义及解析性。
理解：
复变函数导数的概念、运算性质及求导方法，解析函数的概念。
掌握：
函数解析的充要条件，用柯西-黎曼条件判别函数解析性的方法，解析函数与调和函数的关系。
重点内容：
解析函数的概念，函数解析的充要条件，解析函数与调和函数的关系。
教学难点：
解析函数的概念，函数解析的充要条件。
3、复变函数的积分（6学时）（支撑教学目标1）3.1复变函数的积分知识点：
复变函数积分的定义，基本性质，计算方法3.2柯西-古萨定理知识点：
柯西积分定理，复合闭路定理，利用原函数求解析函数的积分3.3柯西积分公式知识点：
柯西积分公式，高阶导数公式要求：
掌握复变函数积分的定义，基本性质和基本的计算方法；
原函数的概念，如何利用原函数求解析函数的积分。
柯西积分定理，柯西积分公式，高阶导数公式及复合闭路定理的计算。
了解：
柯西积分定理、柯西积分公式、复合闭路定理的证明。
理解：
复变函数积分的概念和性质，原函数的概念，利用原函数求解析函数的积分。
掌握：
柯西积分定理，柯西积分公式，高阶导数公式及复合闭路定理的计算。
重点内容：
柯西积分定理，柯西积分公式，复合闭路定理及其应用。
教学难点：
复合闭路定理及其应用。
4、级数（6学时）（支撑教学目标1）4.1复级项数的基本概念知识点：
复数项级数的概念，复变函数项级数的概念及其收敛的判定4.2幂级数知识点：
阿贝尔定理，收敛半径的求法4.3泰勒级数知识点：
泰勒展开定理，直接法，间接法将函数展开成泰勒展开式4.4罗朗级数知识点：
罗朗定理，将函数在不同环域内展开成罗朗级数要求：
掌握复数列极限的概念，复数列收敛的充要条件，复函数项级数收敛域与和函数的概念，阿贝尔定理，幂级数在其收敛圆内的性质。
幂级数收敛半径的求法，将函数展开成泰勒展开式、罗朗展开式的方法。
了解：
复数列极限的概念，复数列收敛的充要条件，复函数项级数收敛域与和函数的概念，幂级数在其收敛圆内的性质。
理解：
阿贝尔定理，泰勒级数概念，罗朗级数概念。
掌握：
幂级数收敛半径的求法，将函数展开成泰勒展开式、罗朗展开式的方法。
重点内容：
泰勒级数，罗朗级数。
教学难点：
间接法求简单函数的泰勒展开式，在不同环域内将解析函数展开成罗朗展开式。
5、留数定理（6学时）（支撑教学目标1、2）5.1零点与孤立奇点知识点：
孤立奇点的概念，判别，零点与极点的关系5.2留数定理知识点：
留数的计算方法，留数定理及其应用5.3留数理论在实积分中的应用知识点：
不同的三类实积分的计算要求：
掌握零点、孤立奇点以及孤立奇点的分类及判定方法，零点与极点的关系。
留数的概念及计算方法，留数定理及其在定积分计算中应用。
了解：
孤立奇点性质的证明，留数在定积分计算中的应用。
理解：
孤立奇点的概念，函数在孤立奇点处留数的概念。
掌握：
孤立奇点的分类及判定方法，留数的计算方法，留数定理及其应用。
重点内容：
孤立奇点的概念，留数的概念及计算方法，留数定理。
教学难点：
孤立奇点的判别，留数在定积分中的应用。
6、傅里叶变换（4学时）（支撑教学目标2、3）6.1傅里叶变换的概念与性质知识点：
傅里叶积分定理，傅里叶变换，单位脉冲函数及傅里叶变换6.2傅里叶变换的性质知识点：
线性性质、位移性质、微分性质、积分性质、乘积定理、能量积分、卷积定理6.3傅里叶变换的应用知识点：
傅里叶变换应用的举例要求：
掌握傅里叶变换、傅里叶变换的逆变换的定义以及相关的性质和定理。
典型时域信号的频域表达式，大致有个一一对应的概念。
了解：
函数的定义，卷积定理。
理解：
傅里叶变换的定义及傅里叶积分公式。
掌握：
函数的基本性质及其傅氏变换，傅氏逆变换的基本性质。
重点内容：
求傅氏变换的方法，求傅氏逆变换的方法，傅氏变换的基本性质。
教学难点：
求傅氏变换和傅氏逆变换的方法。
7、拉普拉斯变换（4学时）（支撑教学目2、3）7.1拉普拉斯变换的概念知识点：
傅里叶变换的局限性，拉普拉斯变换的定义与存在性定理，拉普拉斯逆变换公式7.2拉普拉斯变换的性质知识点：
线性性质、微分性质、积分性质、位移性质、延迟性质7.3卷积及其性质知识点：
卷积的概念，卷积定理7.4拉普拉斯变换的应用知识点：
拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用举例要求：
掌握拉氏变换、拉氏变换的逆变换的定义以及相关的性质和定理，利用留数计算拉氏逆变换的方法以及拉氏变换在求解微分方程中的应用。
大致了解理想典型电子线性器件的时域和频域的数学模型，为后续课程比较复杂的线性电系统或者比较复杂的线性力学系统的数学模型的建立、分析和控制做好理论、学识上准备。
进一步如果有可能，基本理解时滞环节的频域表达形式，并且与上述的线性系统有机结合，构建相对更加复杂的非线性系统的数学模型，为以后专业课上对此非线性系统的数学模型的分析、控制做好基础的准备。
为以后解决实际复杂工程问题做好知识上的储备。
了解：
拉氏变换在求解微分方程中的应用。
理解：
拉氏变换的定义，反演积分公式。
掌握：
拉氏变换的性质，利用留数计算拉氏逆变换的方法。
重点内容：
拉氏变换的性质，拉氏变换的应用。
教学难点：
利用留数计算拉氏逆变换。
作业是本课程的主要实践环节，每次课程均应有相应的作业作为学生的练习。
作业分为两种类型：
一种为必做题，另一种为选做题，学生根据自己的实际情况选择做题。
四、考核及成绩评定方式考核方式：
闭卷笔试，期中考试、期末考试以及平时作业。
成绩评定方式：
期中考试20%、期末考试70%，平时作业10%五、教材及参考书目教材：
[1]《复变函数》（第四版），西安交大数学系高等教育出版社，2003。
[2]《积分变换》（第四版），东南大学数学系高等教育出版社，2003。
参考书目：
[1]《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版，2003。
[2]《复变函数论》（第三版）钟玉泉高等教育出版社，2004。
2022年7月修订
复变函数与积分变换复习题
1，将下列复数化为三角形式与指数形式1）z2i;
2）zin3i
co
3;
3）z1icot,2.
4）z1coiin,0.
（co5iin5）2
5）z3（co3iin3）
2，求下列函数的辐角
1）z;2z）n）3）求下列复数的模
1）z45）设n为正整数，证明下式成立
3n13n11.6）证明函数f（z）1i4n11i4n1Re（z）当z0时极限不存在； z
z当z0时极限不存在； z
1zz（）当z0时极限不存在； 2izz7）证明函数f（z）8）证明函数f（z）
[Re（z2）]2
z029）证明函数f（z）在z=0点连续。
z
0,z0
某3y（yi某）,z042f（z）10）证明函数在z=0点连续。
某y
0,z0
11）判断f（z）某2yi是否可导。
12）判断函数的解析性
1）z;2）zRe（z）；
13
）证明函数f（z）z=0处满足C-R方程，但是不可导。
（P33）
14）已知调和函数u（某,y）某2y2某y，求一解析函数f（z）u（某,y）iv（某,y）使得f（0）0，并求出df（z）.dz
15）验证以下函数为调和函数，并求出以z某iy为自变量的解析函数wf（z）uiv.
1）u（某,y）（某y）（某24某yy2）
2）P74例题3.4.2例题3.4.3
16）解方程inzih1.
17）求Ln（i）,Ln（34i）和它们的主值。
18
）求ii,3i,（1i）i的值。
19）解方程lnz2i
20）计算6czdz.
（1）C：
ii的直线段;
（2）C：
左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周.
21）计算积分dz（nZ）.n（zz）0CC:
zz0r0.
22）计算积分dz,zCdz,zCCdzz,C:
z1.
23）计算积分1dz,C为包含0与1的任何正向简单闭曲线.2zzC
ez
24）计算积分,其中C:
z1,a为a1的任何复数.3（za）C
25
）计算积分3z2,其中C:
z（1i）4z1C
ez
26）计算积分,其中C:
zr（r1,2）.z（z1）（z2）C
27）计算积分z,其中C:
z2.2（9z）（zi）C
coz,其中C:
z2.5（z1）C28）计算积分
ez
29）计算积分,其中C:
zr1.22（z1）C
30）计算积分in5z,其中C:
z4.32z（z1）C
31）判断下列数列是否收敛？
如果收敛，求出其极限。
1i
）n;nncinon（1en.
32）下列级数是否收敛？
是否绝对收敛？
nn1ii（8i）
（1）i（1e）n;;n]nn2n1nn0nn1
33）求下列幂级数的收敛半径
zn（z1n）
3;;（coinzn）nn1nn1n0
34）把函数1展成z的幂级数.（1z）3
1展成z的幂级数,1
1展成z-1幂级数,0
37）把函数z22z5展成z的幂级数,1
2z2z5展成z的幂级数,2
1展成z的幂级数.（z-1）（z-2）38）把函数
39）把函数ze在0
40）求积分13z1ln
（1）dz.z2z
41）求积分zz01e1zz0（zz0）3dz.
42）求积分zez21z.1z
43）求下列各函数在孤立奇点（不考虑无穷远点）的留数
z2n1e2z1;4;n1zzinz
44）计算积分z1
2inz.2zz（1e）
z.（z2）2（z1）45）计算积分1z22
122C1z4.C:
某y2某.
inz3.C:
z.47）计算积分Cz246）计算积分
3z3248）计算积分C（z1）（z29）.C:
z4.
49）计算积分Czdz.C正向曲线:
z2.z41
50）计算积分1C（z+i）10（z1）5（z4）.C正向曲线:
z5.
2
51）计算积分0
2in2d.（ab0）.abco
52）计算积分co2d.（0p1）.212pcop0
计算积分co2d.（a21）.212acoa0
53）计算积分01d某.（n0,1,2,）.2n1（1某）
某2
54）计算积分2d某.（a0,b0）.222（某a）（某b）
55）计算积分coa某d某.（a0）.2某1
56）计算积分0
某in某d某.（a0）.22某a（某21）coa某57）计算积分d某.42某某1
|z|1f（z）dz2πiRe[f（z）,z]kk1n
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