届一轮复习人教A版解析几何学案.docx

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届一轮复习人教A版解析几何学案

一、回扣教材，纠错例析

6．解析几何

[要点回扣]

1．直线的倾斜角与斜率

（1）倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k＝tanα（α≠90°）；倾斜角为90°的直线没有斜率；倾斜角α∈[0，π）；

（2）经过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线的斜率为k＝（x1≠x2）．

[对点专练1]直线xcosθ＋y－2＝0的倾斜角的范围是________．

[答案]∪

2．直线的方程

（1）点斜式：

y－y0＝k（x－x0），它不包括垂直于x轴的直线．

（2）斜截式：

y＝kx＋b，它不包括垂直于x轴的直线．

（3）两点式：

＝，它不包括垂直于坐标轴的直线．

（4）截距式：

＋＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．

（5）一般式：

Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）．

[对点专练2]已知直线过点P（1,5），且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________．

[答案]5x－y＝0或x＋y－6＝0

3．点到直线的距离及两平行直线间的距离

（1）点P（x0，y0）到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d＝；

（2）两平行线l1：

Ax＋By＋C1＝0，l2：

Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝.

[对点专练3]两平行直线3x＋2y－5＝0与6x＋4y＋5＝0间的距离为________．

[答案]

4．两直线的位置关系

在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，在用直线一般式方程研究两直线位置关系时，＝≠是两直线平行的充分但不必要条件，同理k1k2＝－1也是两直线垂直的充分但不必要条件．

[对点专练4]设直线l1：

x＋my＋6＝0和l2：

（m－2）x＋3y＋2m＝0，当m＝________时，l1∥l2；当m＝________时，l1⊥l2；当________时l1与l2相交；当m＝________时，l1与l2重合．

[答案]－1m≠3且m≠－13

5．圆的方程

在圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中不要忽视条件D2＋E2－4F>0.

[对点专练5]若方程a2x2＋（a＋2）y2＋2ax＋a＝0表示圆，则a＝________.

[答案]－1

6．与圆有关的距离问题

在圆中，注意利用半径、半弦长及弦心距组成的直角三角形．注意将圆上动点到定点、定直线的距离转化为圆心到它们的距离．

[对点专练6]双曲线－＝1的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆的位置关系为________．

[答案]内切

7．圆锥曲线的定义

对圆锥曲线的定义要做到“咬文嚼字”，抓住关键词，例如椭圆中定长大于定点之间的距离，双曲线定义中是到两定点距离之差的“绝对值”，否则只是双曲线的其中一支．在抛物线的定义中必须注意条件：

F∉l，否则定点的轨迹可能是过点F且垂直于直线l的一条直线．

[对点专练7]已知平面内两定点A（0,1），B（0，－1），动点M到两定点A、B的距离之和为4，则动点M的轨迹方程是________．

[答案]＋＝1

8．圆锥曲线的方程

求椭圆、双曲线及抛物线的标准方程，一般遵循先定位，再定型，后定量的步骤，即先确定焦点的位置，再设出其方程，求出待定系数．

[对点专练8]与双曲线－＝1有相同的渐近线，且过点（－3,2）的双曲线方程为________．

[答案]－＝1

9．圆锥曲线的几何性质

椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形．椭圆的焦点在长轴上，椭圆上的点到焦点的最小距离a－c，最大距离a＋c；双曲线的焦点总在实轴上，双曲线上的点到相应焦点的最小距离c－a.

[对点专练9]已知F1、F2是椭圆＋y2＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使|PF1|·|PF2|取最大值的点P为（）

A．（－2,0）B．（0,1）

C．（2,0）D．（0,1）或（0，－1）

[答案]D

10．弦长问题

（1）斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），

|P1P2|＝或

|P1P2|＝.

（2）过抛物线y2＝2px（p>0）焦点F的直线l交抛物线于C（x1，y1）、D（x2，y2），则弦长|CD|＝x1＋x2＋p.

[对点专练10]已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．

[答案]

[易错盘点]

易错点1直线倾斜角与斜率关系不清致误

【例1】已知直线xsinα＋y＝0，则该直线的倾斜角的变化范围是________________．

[错解]由题意得，直线xsinα＋y＝0的斜率k＝－sinα，

∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1，直线的倾斜角的变化范围是.

[错因分析]直线斜率k＝tanβ（β为直线的倾斜角）在[0，π）上是不单调的且不连续．

[正解]由题意得，直线xsinα＋y＝0直线的斜率k＝－sinα，

∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1，当－1≤k<0时，倾斜角的变化范围是；当0≤k≤1时，倾斜角的变化范围是.

故直线的倾斜角的变化范围是∪.

由直线的斜率求倾斜角，一般利用三角函数的单调性，借助正切函数在[0，π）上的图象，数形结合确定倾斜角的范围．在这里要特别注意，正切函数在[0，π）上的图象并不是单调函数，这一点是最容易被忽略而致错的．

[对点专练1]

（1）倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是（）

A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0

C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0

（2）已知点A（2,1），B（－2,2），若直线l过点P且总与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围是________．

[解析]

（1）直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0，故选D.

（2）当直线l由位置PA绕点P转动到位置PB时，l的斜率逐渐变大直至当l垂直于x轴时，当直线l垂直于x轴时l无斜率，再转时斜率为负值逐渐变大直到PB的位置，所以直线l的斜率k≥kPA＝，或k≤kPB＝－，故k的取值范围是∪.

[答案]

（1）D

（2）∪

易错点2忽略斜率不存在的直线致误

【例2】已知直线l1：

（t＋2）x＋（1－t）y＝1与l2：

（t－1）x＋（2t＋3）y＋2＝0互相垂直，则t的值为________．

[错解]直线l1的斜率k1＝－，

直线l2的斜率k2＝－，

∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，即·＝－1，

解得t＝－1.

[错因分析]

（1）盲目认为两直线的斜率存在，忽视对参数的讨论．

（2）忽视两直线有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直这一情形．

[正解]解法一：

（1）当l1，l2的斜率都存在时，

由k1·k2＝－1，得t＝－1.

（2）若l1的斜率不存在，

此时t＝1，l1的方程为x＝，l2的方程为y＝－，

显然l1⊥l2，符合条件；

若l2的斜率不存在，此时t＝－，

易知l1与l2不垂直，综上t＝－1或t＝1.

解法二：

l1⊥l2⇔（t＋2）（t－1）＋（1－t）（2t＋3）＝0⇔t＝1或t＝－1.

解决含有参数的直线的位置关系式问题时，切记对直线的斜率存在与不存在进行分类讨论，以避免出错．

[对点专练2]

（1）“直线ax－y＝0与直线（a＋1）x－ay＝1垂直”是“a＝－2”成立的是（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

（2）过点A（2，－3）与圆C：

x2＋y2－2x＝0相切的直线方程为________．

[解析]

（1）由直线ax－y＝0与直线（a＋1）x－ay＝1垂直，得a（a＋1）＋a＝0，解得a＝0或a＝－2.选B.

（2）圆C的标准方程为（x－1）2＋y2＝1.

①当直线的斜率不存在时，直线x＝2与圆C相切；

②当直线斜率存在时，设直线的方程为y＋3＝k（x－2），即kx－y－2k－3＝0，

由＝1，得k＝－.

∴直线方程为y＋3＝－（x－2），即4x＋3y＋1＝0.

故所求直线方程为x＝2或4x＋3y＋1＝0.

[答案]

（1）B

（2）x＝2或4x＋3y＋1＝0

易错点3忽视圆的条件致误

【例3】已知过点P（2,1）有且只有一条直线与圆C：

x2＋y2＋2ax＋ay＋2a2＋a－1＝0相切，则实数a＝________.

[错解]∵过点P有且只有一条直线与圆C相切，

∴点P在圆C上，

∴4＋1＋4a＋a＋2a2＋a－1＝0.

得a＝－1或a＝－2.

[错因分析]忽视了x2＋y2＋2ax＋ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的条件．

[正解]由（2a）2＋a2－4（2a2＋a－1）>0，

即3a2＋4a－4<0，得－2

∵过点P有且只有一条直线与圆C相切，

∴点P在圆C上，得4＋1＋4a＋a＋2a2＋a－1＝0，解得a＝－1或a＝－2（舍去）．

综上所述，a的值为－1.

二元二次方程表示圆是有条件的，必须有D2＋E2－4F>0.本题的失分原因是忽视了这个条件．在解决此类问题时，可以直接判断D2＋E2－4F>0，也可以配方后，判断方程右侧大于0，因为右侧相当于r2.

[对点专练3]

（1）若圆x2＋y2＋mx－＝0与直线y＝－1相切，其圆心在y轴的左侧，则m＝________.

（2）已知圆C的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，过点A（1,2）与圆C相切的直线有两条，则a的取值范围为______________________．

[解析]

（1）圆的标准方程为2＋y2＝2，圆心到直线y＝－1的距离＝|0－（－1）|，解得m＝±，因为圆心在y轴的左侧，所以m＝.

（2）将圆C的方程配方有2＋（y＋1）2＝，∴>0.①

∴圆心C的坐标为，半径r＝.

当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，∴|AC|>r，

即>，

化简得a2＋a＋9>0.②

由①②得－

∴a的取值范围是－

[答案]

（1）

（2）－

易错点4忽视圆锥曲线的焦点位置致误

【例4】已知双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率为________．

[错解]据已知得＝，故双曲线的离心率e＝

＝.

[错因分析]只要mn>0，方程－＝1就表示双曲线．错解中错将双曲线误认为焦点在x轴上．事实上只要m<0，n<0时焦点在y轴上，此时应有＝.

[正解]分两种情况讨论：

①m>0，n>0；＝，＝＝，

e＝＝＝.

②m<0，n<0；＝，＝＝，

e＝＝＝.

所以双曲线的离心率为或.

求与椭圆或双曲线的离心率有关的问题时，一定要关注焦点的位置对离心率的影响，必要时进行分类讨论．

[对点专练4]

（1）已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则实数k的值为（）

A．3B．3或

C.D.或

（2）以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线C的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线C的离心率为（）

A．2或B．2或

C.D．2

[解析]

（1）①当焦点在x轴上时，a2＝5，b2＝k，c2＝5－k，e2＝＝＝2解得k＝3；②当焦点在y轴上时，a2＝k，b2＝5，c2＝a2－b2＝k－5，e2＝＝＝2，解之得k＝.综合①②知，适合条件的实数k＝3或.故选B.

（2）①当双曲线的焦点在x轴上时，由题意知双曲线C：

－＝1（a>0，b>0）的渐近线方程为y＝±x，所以＝tan＝，所以b＝a，c＝＝2a，故双曲线C的离心率e＝＝＝2；

②当双曲线的焦点在y轴上时，由题意知双曲线C：

－＝1（a>0，b>0）的渐近线方程为y＝±x，所以＝tan＝，所以a