或a≥4.
（变条件）本例条件下，若A∩B＝（3，4），求a的值．
解：
画出数轴如图，
观察数轴可知
即a＝3.
利用集合交集、并集的性质解题的方法
（1）在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理．
（2）当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉．
1．已知集合M＝{1，2，a2－3a－1}，N＝{－1，a，3}，M∩N＝{3}，则实数a的值为________．
解析：
因为M∩N＝{3}，
所以a2－3a－1＝3，
解得a＝－1或a＝4.
又N＝{－1，a，3}，所以a≠－1，所以a＝4.
答案：
4
2．已知集合A＝{x|a5}．若A∪B＝R，求a的取值范围．
解：
由a5}，
在数轴上表示出集合A，B，如图，
要使A∪B＝R，则
解得－3≤a<－1.
综上，可知a的取值范围为{a|－3≤a<－1}．
1．设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4}，则（A∩B）∪C等于（ ）
A．{1，2，3} B．{1，2，4}
C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}
解析：
选D.因为A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，
所以A∩B＝{1，2}．
又C＝{2，3，4}，
所以（A∩B）∪C＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}．
2．已知区间A＝[－3，4），B＝[－2，5]，则A∩B＝（ ）
A．[－3，5]B．[－2，4）
C．[－2，5]D．[－3，4）
解析：
选B.因为区间A＝[－3，4），B＝[－2，5]，所以A∩B＝[－2，4）．
3．已知集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x＝2a－1，a∈N*}，则M∩N＝（ ）
A．{0}B．{1，2}
C．{1}D．{2}
解析：
选C.因为N＝{1，3，5，…}，M＝{0，1，2}，所以M∩N＝{1}．
4．已知区间A＝[3，9]，B＝（2，5），C＝（a，＋∞）．
（1）求A∪B；
（2）若B∩C＝∅，求实数a的取值范围．
解：
（1）由A＝[3，9]，B＝（2，5），得A∪B＝（2，9]．
（2）由B∩C＝∅，B＝（2，5），
C＝（a，＋∞），得a≥5，
故实数a的取值范围是[5，＋∞）．
[A 基础达标]
1．设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N等于（ ）
A．{0} B．{0，2}
C．{－2，0}D．{－2，0，2}
解析：
选D.集合M＝{0，－2}，N＝{0，2}，故M∪N＝{－2，0，2}，选D.
2．已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，则P∪Q＝（ ）
A．{x|－1≤x＜3}B．{x|－1≤x≤4}
C．{x|x≤4}D．{x|x≥－1}
解析：
选C.在数轴上表示两个集合，如图，
易知P∪Q＝{x|x≤4}．
3．设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则（A∪B）∩C＝（ ）
A．{2}B．{1，2，4}
C．{1，2，4，6}D．{x∈R|－1≤x≤5}
解析：
选B.（A∪B）∩C＝{1，2，4，6}∩C＝{1，2，4}．
4．已知集合M＝{－1，1}，则满足M∪N＝{－1，1，2}的集合N的个数是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
解析：
选D.依题意，得满足M∪N＝{－1，1，2}的集合N有{2}，{－1，2}，{1，2}，{－1，1，2}，共4个．
5．若集合A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|x≤－1或x≥4}，则A∪B＝________；A∩B＝________．
解析：
如图所示，借助数轴可知，
A∪B＝R，A∩B＝{x|4≤x＜5}．
答案：
R {x|4≤x＜5}
6．若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，且满足A∩B＝{2}，则实数a＝________．
解析：
当a＞2时，A∩B＝∅；
当a＜2时，A∩B＝{x|a≤x≤2}；
当a＝2时，A∩B＝{2}．
综上，a＝2.
答案：
2
7．已知集合M＝{x|－2≤x－1≤2}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，维恩图如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有________个．
解析：
M＝{x|－1≤x≤3}，集合N是全体正奇数组成的集合，则阴影部分所表示的集合为M∩N＝{1，3}，即阴影部分所表示的集合共有2个元素．
答案：
2
8．设集合A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}．
（1）求a，b的值及A，B；
（2）求（A∪B）∩C.
解：
（1）因为A∩B＝{2}，
所以4＋2a＋12＝0，4＋6＋2b＝0，
即a＝－8，b＝－5，
所以A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2，6}，
B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}．
（2）因为A∪B＝{－5，2，6}，C＝{2，－3}，
所以（A∪B）∩C＝{2}．
9．（2019·伊春检测）已知集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|1≤x≤7}，C＝{x|x≥a－1}．
（1）求A∩B，A∪B；
（2）若C∪A＝A，求实数a的取值范围．
解：
（1）因为A＝{x|x≥3}，B＝{x|1≤x≤7}，所以A∩B＝{x|3≤x≤7}，A∪B＝{x|x≥1}．
（2）因为C∪A＝A，A＝{x|x≥3}，C＝{x|x≥a－1}，
所以C⊆A，所以a－1≥3，即a≥4.
[B 能力提升]
10．下列表示图形中的阴影部分正确的是（ ）
A．（A∪C）∩（B∪C）B．（A∪B）∩（A∪C）
C．（A∪B）∩（B∪C）D．（A∪B）∩C
解析：
选A.阴影部分完全覆盖了C部分，这样就要求交集运算的两边都含有C部分．所以A正确．
11．已知集合A＝{x|x2－px－2＝0}，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}，且A∪B＝{－2，1，5}，A∩B＝{－2}，则p＋q＋r＝________．
解析：
因为A∩B＝{－2}，
所以－2∈A且－2∈B，将x＝－2代入x2－px－2＝0，得p＝－1，
所以A＝{1，－2}，
因为A∪B＝{－2，1，5}，A∩B＝{－2}，
所以B＝{－2，5}，
所以q＝－[（－2）＋5]＝－3，r＝（－2）×5＝－10，
所以p＋q＋r＝－14.
答案：
－14
12．设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1，7}，且A∩B＝C，求实数x，y的值及A∪B.
解：
由A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，
C＝{－1，7}且A∩B＝C，得
7∈A，7∈B，－1∈B，
所以在集合A中x2－x＋1＝7，
解得x＝－2或3.
当x＝－2时，在集合B中，x＋4＝2，
又2∈A，故2∈A∩B＝C，
但2∉C，故x＝－2不合题意，舍去；
当x＝3时，在集合B中，x＋4＝7，
故有2y＝－1，
解得y＝－
，
经检验满足A∩B＝C.
综上知，所求x＝3，y＝－
.
此时A＝{2，－1，7}，B＝{－1，－4，7}，
故A∪B＝{－1，2，－4，7}．
13．已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x<－1或x>16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围．
（1）A∩B＝∅；
（2）A⊆（A∩B）．
解：
（1）若A＝∅，则A∩B＝∅成立．此时2a＋1>3a－5，
即a<6.
若A≠∅，如图所示，
则
解得6≤a≤7.综上，满足条件A∩B＝∅的实数a的取值范围是{a|a≤7}．
（2）因为A⊆（A∩B），所以A∩B＝A，即A⊆B.
显然A＝∅满足条件，此时a<6.
若A≠∅，如图所示，
则
或
由
解得a∈∅；
由
解得a>
.
综上，满足条件A⊆（A∩B）的实数a的取值范围是{a|a<6或a>
}．
[C 拓展探究]
14．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：
第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店
（1）第一天售出但第二天未售出的商品有________种；
（2）这三天售出的商品最少有________种．
解析：
设三天都售出的商品有x种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y种，则三天售出商品的种类关系如图所示．
由图可知：
（1）第一天售出但第二天未售出的商品有19－（3－x）－x＝16（种）．
（2）这三天售出的商品有（16－y）＋y＋x＋（3－x）＋（6＋x）＋（4－x）＋（14－y）＝43－y（种）．
由于
所以0≤y≤14.
所以（43－y）min＝43－14＝29.
答案：
（1）16
（2）29
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