SAS学习系列25非线性回归.docx
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SAS学习系列25非线性回归
25.非线性回归
现实世界中严格的线性模型并不多见，它们或多或少都带有某种程度的近似；在不少情况下，非线性模型可能更加符合实际。
对变量间非线性相关问题的曲线拟合，处理的方法主要有：
（1）首先确定非线性模型的函数类型，对于其中可线性化问题则通过变量变换将其线性化，从而归结为前面的多元线性回归问题来解决；
（2）若实际问题的曲线类型不易确定时，由于任意曲线皆可由多项式来逼近，故常可用多项式回归来拟合曲线；
（3）若变量间非线性关系式已知（多数未知），且难以用变量变换法将其线性化，则进行数值迭代的非线性回归分析。
（一）可变换为线性的非线性回归
在很多场合，可以对非线性模型进行线性化处理，尤其是可变换为线性的非线性回归，运用最小二乘法进行推断，对线性化后的线性模型，可以应用REG过程步进行计算。
例1有实验数据如下：
X
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
2.1
2.2
2.3
2.4
Y
109.95
40.45
20.09
24.53
11.02
7.39
4.95
2.72
1.82
1.49
0.82
0.3
0.2
0.22
试分别采用指数回归（y =aebx ）方法进行回归分析。
代码：
dataexam25_1;
inputxy;
cards;
1.1109.95
1.240.45
1.320.09
1.424.53
1.511.02
1.67.39
1.74.95
1.82.72
1.91.82
21.49
2.10.82
2.20.3
2.30.2
2.40.22
;
run;
procsgplotdata=exam25_1;
scatterx=xy=y;
run;
proccorrdata=exam25_1;
varxy;
run;
datanew1;
setexam25_1;
v=log（y）;
run;
procsgplotdata=new1;
scatterx=xy=v;
title'变量代换后数据';
run;
procregdata=new1;
varxv;
modelv=x;
printcli;
title'残差图';
plotresidual.*predicted.;
run;
datanew2;
setexam25_1;
y1=14530.28*exp（-4.73895*x）;
run;
procgplotdata=new2;
ploty*x=1y1*x=2/overlay;
symbolv=doti=nonecv=red;
symbol2i=smcolor=blue;
title'指数回归图';
run;
运行结果：
程序说明：
（1）调整后的R2=0.9831，说明拟合程度很好；F检验的P值=0.0001<α=0.05，拒绝原假设，故直线回归的斜率不为0；
（2）将线性回归系数代入，得到原回归方程
y=14530.28*e−4.73895x
（3）残差图趋势，符合残差随机正态分布的假设（不带其它明显趋势）。
二、多项式回归
一般函数都可用多项式来逼近，故多项式回归分析可用来处理相当广泛的非线性问题。
对观测数据（xt,yt）,t=1,…,N.多项式回归模型为：
令
则模型可写为：
Y=XB+ε
当X列满秩时，用最小二乘估计
可求得其多项式回归方程。
但由于
的计算既复杂又不稳定，故一般采用正交多项式法来进行多项式回归。
多项式模型可以直接应用GLM（广义线性模型）求解。
例2市种畜场奶牛群1—12月份（x1），产犊母牛平均产奶量（y）
的资料如程序数据步中，试对该资料配置一个合适的回归方程。
代码：
dataexam25_2;
inputx1y;
x2=x1*x1;
datalines;
13833.43
73476.76
23811.58
83466.22
33769.47
93395.42
43565.74
103807.08
53481.99
113817.03
63372.82
123884.52
;
run;
procsgplotdata=exam25_2;
scatterx=x1y=y;
title'原始数据散点图';
run;
procregdata=exam25_2;
modely=x1x2;
run;
运行结果：
程序说明：
（1）观察数据的散点图，更适合二次多项式拟合，也可以测试几种不同次数的多项式拟合选择其中最优的；
（2）将回归系数代入多项式方程得到：
y=4117.20136-204.93668x1+15.78570x12
三、不能变换为线性的非线性回归
该类非线性回归分析就是利用最小二乘准则来估计回归系数β，使得残差平方和最小。
一般来用数值迭代法来进行，先选定回归系数的初值β0，按照给定的步长和搜索方向逐步迭代，直到残差平方和达到最小。
有5种常用的非线性回归迭代方法：
高斯-牛顿法（Gauss-Newton）、最速下降法（梯度法）、牛顿法（Newton）、麦夸特法（Marquardt）、正割法（DUD）。
高斯-牛顿法在初值选取适当，且可逆时非常有效，但在其他情形，其求解较为困难，对此，Marguardt对其中的正则系数阵作适当修正，得到了改进算法。
（二）PROCNLIN过程步
对于不能线性化的非线性模型。
其估计不能直接运用经典的最小二乘法，而需要运用其他估计方法，如加权最小二乘法、直接搜索法、直接最优法与Taylor级数展开法进行线性逼近。
此时，可以利用NLIN过程步实现相应的计算，它是采用最小误差平方法及迭代推测法来建立一个非线性模型，估计参数默认采用高斯-牛顿迭代法。
NLIN过程不保证一定可以算出符合最小误差平方法之标准的参数估计值。
基本语法：
PROCNLINdata=数据集;
PARMS参数名=数值;
MODEL因变量=表达式;
;>
说明：
（1）NLIN的可选项包括：
outest＝输出数据集——输出每步迭代的结果；
best＝n——只输出最好的n组残差平方和；
method＝gauss|marquardt|newton|gradient|dud|——设定参数估计的迭代方法，默认为gauss（没有der.语句）；
（2）PARMS语句指定参数并赋值，一般包括参数名、初始值（GridSearch可以帮助选择合适的初始值）、迭代准则；例如：
parmsb0=0b1=1to10b2=1to10by2b3=1,10,100;
（3）bounds语句用于设定参数的约束，主要是不等式约束，约束间用逗号分隔。
例如，boundsa<=20,b>30,1<=c<=10;
（4）der.语句用于计算模型关于各参数的偏导数，相应格式为：
一阶偏导数：
der．参数名＝表达式;
二阶偏导数：
der．参数名．参数名＝表达式;
例如，对于模型modely=b0*（1－exp（-b1*x））;二阶偏导数表达式：
der.b0.b1=x*exp（-b1*x）;
例3根据对已有数据的XY散点图的观察和分析，发现Y随X增长趋势是减缓的，并且Y趋向一个极限值，我们认为用负指数增长曲线来拟合模型较为合适。
代码：
dataexpd;
inputxy;
datalines;
0200.570300.720400.810500.870600.910700.94
0800.950900.971000.981100.991201.001300.99
1400.991501.001601.001700.991801.001901.00
2000.992101.00
;
procnlindata=expdbest=10method=gauss;
parmsb0=0to2by0.5b1=0.01to0.09by0.01;
modely=b0*（1-exp（-b1*x））;
der.b0=1-exp（-b1*x）;
der.b1=b0*x*exp（-b1*x）;
outputout=expoutp=ygs;
run;
goptionsreset=globalgunit=pctcback=whiteborder
htitle=6htext=3ftext=swissbcolors=（back）;
procgplotdata=expout;
ploty*xygs*x/haxis=axis1vaxis=axis2overlay;
symbol1i=nonev=pluscv=redh=2.5w=2;
symbol2i=joinv=nonel=1h=2.5w=2;
axis1order=20to210by10;
axis2order=0.5to1.1by0.05;
title1'y=b0*（1-exp（-b1*x）';
title2'procnlinmethod=gauss';
run;
运行结果：
程序说明：
（1）parms语句设置了初始值网格值为b0取0,0.5,1,1.5,2共5个值，b1取0.01,0.02,…,0.09共9个值，所有可能组合为5×9=45,选项best=10要求输出残差平方和最小的前10种组合；
（2）最好的迭代初始值为b0=1.0000，b1=0.0400，此时回归模型残差为ESS=0.00140;从该迭代初始值开始经过4次迭代误差平方和的变化就满足收敛准则（ESS值几乎不变），停止迭代；
（3）高斯-牛顿迭代算法要求给出模型
对参数b0和b1的一阶偏导数表达式：
der.语句用来表示上面两个一阶偏导数表达式；
（4）output语句输出一个新数据集expout，包括原数据集和非线性回归模型的预测值ygs；gplot过程的主要作用是绘制输出数据集expout中的原始数据的散点图及回归曲线的平滑线；
（5）方差分析表，给出了回归平方和为17.6717,残差平方和为0.000577,总平方和为17.6723.
（6）参数估计表，给出了b0和b1的渐近估计值，得到的非线性回归模型为
y=1.0000000*[1-exp（0.5558957x）]
同时还给出b0和b1参数估计的渐近有效标准差和渐近95%置信区间。
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