北师大版数学必修全套教案.docx
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北师大版数学必修全套教案
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（北师大版）数学必修4全套教案
§1周期现象与周期函数（1课时）
教学目标：
知识与技能
（1）了解周期现象在现实中广泛存在；
（2）感受周期现象对实际工作的意义；（3）理解周期函数的概念；（4）能熟练地判断简单的实际问题的周期；（5）能利用周期函数定义进行简单运用。
过程与方法
通过创设情境：
单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；根据周期性的定义，再在实践中加以应用。
情感态度与价值观
通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。
二、教学重、难点
重点:
感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。
难点:
周期函数概念的理解，以及简单的应用。
三、学法与教学用具
学法：
数学来源于生活，又指导于生活。
在大千世界有很多的现象，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在。
并在此基础上学习周期性的定义，再应用于实践。
教学用具:
实物、图片、投影仪
四、教学思路
【创设情境，揭示课题】
同学们：
我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。
众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。
再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。
所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。
（板书课题）
【探究新知】
1．我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片（投影图片），注意波浪是怎样变化的？
可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。
请你举出生活中存在周期现象的例子。
（单摆运动、四季变化等）
（板书：
一、我们生活中的周期现象）
2．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？
教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：
①如何理解“散点图”？
②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么？
③如何理解图1-1中的“Hm”和“t°（n°＞0）的角，圆弧AB和AlBl的长分别为l和l1，点A和Al到点O的距离（即圆的半径）分别为r（r＞0）和rl（rl＞0），由初中所学的弧长公式有l＝r，l1＝r1，所以＝＝，这表明以角α为圆心角所对的弧长与其半径的比值，与所取的半径大小无关，只与角α的大小有关．
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同（都是0）；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同．但它们既然是表示同一个角，那这二者之间就应该可以进行换算，下面我们来讨论角度与弧度的换算．
3．角度制与弧度制的换算．
现在我们知道：
1个周角＝360°＝r，所以，（板书）360°＝2πrad，由此可以得到180°＝πrad，1°＝≈0．01745rad，1rad＝（）°≈57.30°＝57°18’。
说明：
在进行角度与弧度的换算时，关键要抓住180°＝πrad这一关系式．
今后我们用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数．例如，角α＝2就表示是2rad的角，sin就表示rad的角的正弦，但用角度制表示角时，“度”或“°”不能省去．而且用“弧度”为单位度量角时，常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数，如45°＝rad，不必写成45°＝0．785弧度．
前面我们介绍了角度制下的终边相同角的表示方法，而角度制与弧度制可以相互转化，所以与角α终边相同的角（连同角α在内），也可以用弧度制来表示．但书写时要注意前后两项所采用的单位制必须一致．
角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：
每一个角都有唯一的一个实数与它对应，例如这个角的弧度数或度数；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应，就是弧度数或度数等于这个实数的角。
【巩固深化，发展思维】
1．例题讲评
例1．把45°化成弧度。
解：
45°＝×45rad＝rad.
例2．把rad化成度。
解：
rad＝×180°＝108°.
例3．利用弧度制证明扇形面积公式S＝lr，其中l是扇形的弧长，r是圆的半径。
证：
∵圆心角为1的扇形的面积为·πr2，又∵弧长为l的扇形的圆心角的大小为，∴扇形的面积S＝··πr2＝lr.
2．学生课堂练习
（1）填表
度
0°
45°
60°
180°
360°
弧度
说明：
一些特殊角的弧度数，大家要熟记，免得每次遇到都要去进行换算．
（2）用弧度制写出终边落在y轴上和x轴上的角集合。
五、归纳整理，整体认识
（1）主要学习了弧度制的定义；角度与弧度的换算公式；特殊角的弧度数。
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？
你的体会是什么？
六、布置作业：
习题1—3中的1、2、6.
七、课后反思
§4.1锐角的正弦函数§4.2任意角的正弦函数§4.3正弦函数y＝sinx的图像（2课时）
教学目标：
知识与技能
（1）回忆锐角的正弦函数定义；
（2）熟练运用锐角正弦函数的性质；（3）理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义；（4）掌握任意角的正弦函数的定义；（5）理解有向线段的概念；（6）了解正弦函数图像的画法；（7）掌握五点作图法，并会用此方法画出[0，2π]上的正弦曲线。
过程与方法
初中所学的正弦函数，是通过直角三角形中给出定义的；由于我们已将角推广到任意角的情况，而且一般都是把角放在平面直角坐标系中，这样一来，我们就在直角坐标系中来找直角三角形，从而引出单位圆；利用单位圆的独特性，是高中数学中的一种重要方法，在第二节课的正弦函数图像，以及在后面的正弦函数的性质中都有直接的应用；讲解例题，总结方法，巩固练习。
情感态度与价值观
通过本节的学习，使同学们对正弦函数的概念有了一个新的认识；在由锐角的正弦函数推广到任意角的正弦函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学重、难点
重点:
1.任意角的正弦函数定义，以及正弦函数值的几何表示。
2.正弦函数图像的画法。
难点:
1.正弦函数值的几何表示。
2.利用正弦线画出y＝sinx，x∈[0，2π]的图像。
三、学法与教学用具
在初中，我们知道直角三角形中锐角的对边比上斜边就叫着这个角的正弦，当把锐角放在直角坐标系中时，角的终边与单位圆交于一点，正弦函数对应于该点的纵坐标，当是任意角时，通过函数定义的形式引出正弦函数的定义；作正弦函数y＝sinx图像时，在正弦函数定义的基础上，通过平移正弦线得出其图像，再归结为五点作图法。
教学用具:
投影机、三角板
第一课时§4.1锐角的正弦函数§4.2任意角的正弦函数
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
我们学习角的概念的推广和弧度制，就是为了学习三角函数。
请同学们回忆
（1）角的概念的推广及弧度制、象限角等概念；
（2）初中所学的正弦函数是如何定义的？
并想一想它有哪些性质？
学生思考回答以后，教师小结。
（板书课题）
【探究新知】
在初中，我们学习了锐角α的正弦函数值：
sinα＝，
如图：
sinA＝，由于a是直角边，c是斜边，所sinA∈（0，1）。
由于我们通常都是将
角放到平面直角坐标系中，我们来看看会发生什么？
在直角坐标系中，（如图所示），设角α（α∈（0，））
的终边与半经为r的圆交于点P（a，b），则角α的正弦值是：
sinα＝.根据相似三角形的知识可知，对于确定的角α，都不会随圆的半经的改变而改变。
为简单起见，令r＝1（即为单位圆），那么sinα＝b，也就是说，若角α的终边与单位圆相交于P，则点P的纵坐标b就是角α的正弦函数。
直角三角形显然不能包含所有的角，那么，我们可以仿照锐角正弦函数的定义．你认为该如何定义任意角的正弦函数?
一般地，在直角坐标系中（如上图），对任意角α，它的终边与单位圆交于点P（a，b），我们可以唯一确定点P（a，b）的纵坐标b，所以P点的纵坐标b是角α的函数，称为正弦函数，记作y＝sinα（α∈R）。
通常我们用x，y分别表示自变量与因变量，将正弦函数表示为y＝sinx.
正弦函数值有时也叫正弦值.
请同学们画图，并利用正弦函数的定义比较说明：
角与角的终边与单位圆的交点的纵坐标有什么关系？
它们的正弦值有什么关系？
角和角呢？
－角和角呢？
－角和－角呢？
通过上述问题的讨论，容易得到：
终边相同的角的正弦函数值相等，即
sin（2kπ＋α）＝sinα（k∈Z），说明对于任意一个角α，每增加2π的整数倍，其正弦函数值不变。
所以，正弦函数是随角的变化而周期性变化的，正弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z，k≠0）为正弦函数的周期。
2π是正弦函数的正周期中最小的一个，称为最小正周期。
一般地，对于周期函数f（x），如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f（x）的最小正周期。
【巩固深化，发展思维】
课本P17的思考与交流。
课本P18的练习。
3．若点P（—3，y）是α终边上一点，且sinα＝—，求y值．
4．若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在函数y＝—3x（x≤0）
的图像上，则sinα＝。
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？
所涉及到的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？
你的体会是什么？
三、课后反思
第二课时§4.3正弦函数y＝sinx的图像
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
三角函数是一种重要的函数，从第一节我们就知道在实际生活中，有许多地方用到三角函数。
今天我们来学正弦函数y＝sinx的图像的做法。
在前一节，我们知道正弦函数是一个周期函数，最小正周期是2π，所以，关键就在于画出[0，2π]上的正弦函数的图像。
请同学们回忆初中作函数图像的方法是怎样的？
作函数图像的三步骤：
列表，描点，连线。
【探究新知】
正弦函数线MP
下面我们来探讨正弦函数的一种几何表示．如右图所示，
角α的终边与单位圆交于点P（x，y），提出问题
①线段MP的长度可以用什么来表示?
②能用这个长度表示正弦函数的值吗?
如果不能，你能否设计
一种方法加以解决?
引出有向线段的概念．
有向线段：
当α的终边不在坐标轴上时，可以把MP看作是带方向的线段，
y＞0时，把MP看作与y轴同向（多媒体优势，利用计算机演示角α终边在
一、二象限时MP从M到P点的运动过程．让学生看清后定位，运动的方向表明与y轴同向）．
y＜0时，把MP看作与y轴反向（演示角α终边在三、四象限时MP从M到P点的运动过程．让学生看清后定位，运动的方向表明与y轴反向）．
师生归纳：
①MP是带有方向的线段，这样的线段叫有向线段．MP是从M→P，而PM则是从P→M。
②不论哪种情况，都有MP＝y．③依正弦定义，有sinα＝MP＝y，我们把MP叫做α的正弦线．
（投影仪出示反馈练习）当α为特殊角，即终边在坐标轴上时，找出其正弦线。
演示运动过程，让学生清楚认识到：
当α终边在x轴上时，正弦线变为一个点，即sinα＝0。
2．作图的步骤
边作边讲（几何画法）y=sinxx[0,2]
作单位圆，把⊙O十二等分（当然分得越细，图像越精确）
十二等分后得对应于0,,,,…2等角，并作出相应的正弦线，
将x轴上从0到2一段分成12等份（2≈6.28），若变动比例，今后图像将相应“变形”
取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合
描图（连接）得y=sinxx[0,2]
（6）由于终边相同的三角函数性质知y=sinxx[2k，2（k+1）]（kZ，k0）
与函数y=sinxx[0,2]图像相同，只是位置不同——每次向左（右）平移2单位长。
可以得到y＝sinx在R上的图像
五点作图法：
由上图我们不难发现，在函数y=sinx，x[0,2]的图像上，起着关键作用的有以下五个关键点：
（0,0）（,1）（,0）（,-1）（2,0）。
描出这五个点后，函数y=sinx，x[0,2]的图像的形状就基本上确定了。
因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到这个函数的简图。
我们称这种画正弦曲线的方法为“五点法”。
【巩固深化，发展思维】
1．例题讲评
例1．用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]上的简图。
（1）y＝－sinx
（2）y＝1＋sinx
解：
（1）列表
x
0
π
2π
y＝－sinx
0
1
0
－1
0
描点得y＝－sinx的图像：
（略，见教材P22）
2．学生练习
教材P22
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？
所涉及到的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？
你的体会是什么？
三、布置作业
作业：
习题1—4第1,2题．
四、课后反思
§4.4正弦函数的性质（2课时）
教学目标：
知识与技能
（1）进一步熟悉单位圆中的正弦线；
（2）理解正弦诱导公式的推导过程；（3）掌握正弦诱导公式的运用；（4）能了解诱导公式之间的关系，能相互推导；（5）理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、最大（小）值、单调性、奇偶性；（6）能熟练运用正弦函数的性质解题。
过程与方法
通过正弦线表示α,－α,π－α,π＋α,2π－α,从而体会各正弦线之间的关系；或从正弦函数的图像中找出α,－α,π－α,π＋α,2π－α，让学生从中发现正弦函数的诱导公式；通过正弦函数在R上的图像，让学生探索出正弦函数的性质；讲解例题，总结方法，巩固练习。
情感态度与价值观
通过本节的学习，培养学生创新能力、探索归纳能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点
重点:
正弦函数的诱导公式，正弦函数的性质。
难点:
诱导公式的灵活运用，正弦函数的性质应用。
三、学法与教学用具
在上一节课的基础上，运用单位圆中正弦线或正弦函数图像中角的关系，引发学生探索出正弦函数的诱导公式；通过例题和练习掌握诱导公式在解题中的作用；在正弦函数的图像中，直观判断出正弦函数的性质，并能上升到理性认识；理解掌握正弦函数的性质；以学生的自主学习和合作探究式学习为主。
教学用具:
投影机、三角板
第一课时正弦函数诱导公式
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
在上一节课中，我们已经学习了任意角的正弦函数定义，以及终边相同的角的正弦函数值也相等，即sin（2kπ＋α）＝sinα（k∈Z），这一公式体现了求任意角的正弦函数值转化为求0°～360°的角的正弦函数值。
如果还能把0°～360°间的角转化为锐角的正弦函数，那么任意角的正弦函数就可以查表求出。
这就是我们这一节课要解决的问题。
【探究新知】
复习：
（公式1）sin（360k+）=sin
对于任一0到360的角，有四种可能（其中为不大于90的非负角）
（以下设为任意角）
公式2：
设的终边与单位圆交于点P（x,y），则180+终边与单位圆交于点P’（-x,-y），由正弦线可知：
sin（180+）=sin
4．公式3：
如图：
在单位圆中作出α与－α角的终边，同样可得：
sin（）=sin,
公式4：
由公式2和公式3可得：
sin（180）=sin[180+（）]=sin（）=sin,
同理可得：
sin（180）=sin,
6．公式5：
sin（360）=sin
【巩固深化，发展思维】
例题讲评
求下列函数值
（1）sin（－1650）；
（2）sin（－15015’）；（3）sin（－π）
解：
（1）sin（－1650）＝－sin1650＝－sin（4×360＋210）＝－sin210＝－sin（180＋30）＝sin30＝
（2）sin（－15015’）＝－sin15015’＝－sin（180－2945’）＝－sin2945’＝－0.4962
（3）sin（－π）＝sin（－2π＋）＝sin＝
例2．化简：
解：
（略，见教材P24）
学生练习
教材P24练习1、2、3
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？
所涉及到的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？
你的体会是什么？
三、课后反思
第二课时正弦函数的性质
教学思路
【创设情境，揭示课题】
同学们，我们在数学一中已经学过函数，并掌握了讨论一个函数性质的几个角度，你还记得有哪些吗？
在上一次课中，我们已经学习了正弦函数的y＝sinx在R上图像，下面请同学们根据图像一起讨论一下它具有哪些性质？
【探究新知】
让学生一边看投影，一边仔细观察正弦曲线的图像，并思考以下几个问题：
正弦函数的定义域是什么？
正弦函数的值域是什么？
它的最值情况如何？
它的正负值区间如何分？
ƒ（x）＝0的解集是多少？
师生一起归纳得出：
定义域：
y=sinx的定义域为R
值域：
引导回忆单位圆中的正弦函数线，结论：
|sinx|≤1（有界性）
再看正弦函数线（图象）验证上述结论，所以y＝sinx的值域为[-1，1]
3．最值：
1对于y＝sinx当且仅当x＝2k＋,kZ时ymax＝1
当且仅当时x＝2k－,kZ时ymin＝－1
2当2k＜x＜（2k+1）（kZ）时y＝sinx＞0
当（2k-1）＜x＜2k（kZ）时y＝sinx＜0
4．周期性：
（观察图象）1正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；
2规律是：
每隔2重复出现一次（或者说每隔2k,kZ重复出现）
3这个规律由诱导公式sin（2k＋x）＝sinx也可以说明
结论：
y＝sinx的最小正周期为2
5.奇偶性
sin（－x）＝－sinx（x∈R）y＝sinx（x∈R）是奇函数
6．单调性
x
－
…
0
…
…
π
…
sinx
－1
0
1
0
－1
增区间为[－＋2kπ，＋2kπ]（k∈Z），其值从－1增至1；
减区间为[＋2kπ，＋2kπ]（k∈Z），其值从1减至－1。
【巩固深化，发展思维】
例题讲评
例1．利用五点法画出函数y＝sinx－1的简图，根据函数图像和解析式讨论它的性质。
解：
（略，见教材P26）
2．课堂练习
教材P27的练习1、2、3
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？
所涉及的主要数学思想方法有哪些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？
你的体会是什么？
三、布置作业：
习题1—4第3、4、5、6、7题．
四、课后反思
§5余弦函数（2课时）
教学目标：
知识与技能
（1）了解任意角的余弦函数概念；
（2）理解余弦函数的几何意义；（3）掌握余弦函数的诱导公式；（4）能利用五点作图法作出余弦函数在[0，2π]上的图像；（5）熟练根据余弦函数的图像推导出余弦函数的性质；（6）能区别正、余弦函数之间的关系；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
过程与方法
类比正弦函数的概念，引入余弦函数的概念；在正、余弦函数定义的基础上，将三角函数定义推广到更加一般的情况；让学生通过类比，联系正弦函数的诱导公式，自主探究出余弦函数的诱导公式；能学以致用，尝试用五点作图法作出余弦函数的图像，并能结合图像分析得到余弦函数的性质。
情感态度与价值观
使同学们对余弦函数的概念有更深的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点
重点:
余弦函数的概念和诱导公式，以及余弦函数的性质。
难点:
余弦函数的诱导公式运用和性质应用。
三、学法与教学用具
我们已经知道正弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正弦函数的概念作比较，得出余弦函数的概念；同样地，可以仿照正弦函数的诱导公式推出余弦函数的诱导公式。
用五点作图的方法作出y＝cosx在[0，2π]上的图像，并由图像直观得到其性质。
教学用具:
投影机、三角板
第一课时余弦函数的概念和诱导公式
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
在初中，我们不但学习了正弦函数，也学习了余弦函数，sinα＝。
同样地，当我们把角放在平面直角坐标系中以后，就可以得到余弦函数的定义。
下面请同学们类比正弦函数的定义，自主学习课本P30—P31.
【探究新知】
1．余弦函数的定义
在直角坐标系中，设任意角α与单位圆交于点P（a，b）,
那么点P的横坐标a叫做角α余弦函数，记作：
a＝cosα（α∈R）.
通常我们用x，y分别表示自变量与因变量，将余弦函数表示
为y＝cosx（x∈R）.
如图，有向线段OM称为角α的余弦线。
其实，由相似三角形的知识，我们知道，只要已知角α
的终边上任意一点P的坐标（a，b），求出|OP|，记为r，则
角α的正弦和余弦分别为：
sinα＝，cosα＝.
在今后的解题中，我们可以直接运用这种方法，简化运算过程。
2．余弦函数的诱导公式
从右图不难看出，角α和角2π＋α，2π－α，（－α）的终边
与单位圆的交点的横坐标是相同的，所以，它们的余弦函数值相等；
角α和角π＋α，π－α的终边与单位圆的交点的横坐标是相反数，
所以，它们的余弦函数值互为相反数。
由此归纳出公式：
cos（2π＋α）＝cosα
cos（－α）＝cosα
cos（2π－α）＝cosα
cos（π＋α）＝－cosα
cos（π－α）＝－cosα
请同学们观察右图，角α与角＋α的正弦、余弦函数值有什么关
系？
由图可知，Rt⊿OMP≌Rt⊿OM’P’,点P的横坐标cosα与点P’的纵坐标sin（＋α）
相等；点P的纵坐标sinα与点P’的横坐标cos（＋α）互为相反数。
我们可以得到：
sin（＋α）＝cosαcos（＋α）＝－sinα
问题与思考：
验证公式sin（＋α）＝cosα
cos（＋α）＝－sinα
以上公式统称为诱导公式，其中α可以是任意角。
利用诱导公式，可以将任意角的正、余弦函数问题转化为锐角的正、余弦函数问题。
【巩固深化，发展思维】
例题讲评
例1．已
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