高考数学 集合的概念与运算.docx

高考数学 集合的概念与运算.docx

《高考数学 集合的概念与运算.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学 集合的概念与运算.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高考数学集合的概念与运算

　集合的概念与运算

[知识梳理]

1．集合与元素

（1）集合中元素的三个特征：

确定性、互异性、无序性．

（2）元素与集合的关系有属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．

（3）集合的表示法：

列举法、描述法、图示法．

（4）常见数集的记法

2．集合间的基本关系

3．集合的基本运算

4．集合的运算性质

（1）并集的性质：

A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.

（2）交集的性质：

A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.

（3）补集的性质：

A∪（∁UA）＝U；A∩（∁UA）＝∅；∁U（∁UA）＝A；∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）；∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．

（4）若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个，非空真子集的个数为2n－2个．

[诊断自测]

1．概念思辨

（1）直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是{1,4}．（　　）

（2）若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{（x，y）|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．（　　）

（3）设集合A＝{0,1}，若B＝{x|x⊆A}，则A⊆B.（　　）

（4）设集合A＝{x|ax＝1}，B＝{x|x2＝1}，若A⊆B，则a＝1或－1.（　　）

答案　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）×

2．教材衍化

（1）（必修A1P12T5）若集合P＝{x|x≥5}，Q＝{x|5≤x≤7}，则P与Q的关系是（　　）

A．P＝QB．PQC．PQD．P⊄Q

答案　C

解析　因为集合P＝{x|x≥5}，Q＝{x|5≤x≤7}，所以QP.故选C.

（2）（必修A1P12T2）已知A＝{（x，y）|4x＋y＝6}，B＝{（x，y）|3x＋2y＝7}，则A∩B＝________.

答案　{（1,2）}

解析　A∩B＝{（x，y）|4x＋y＝6}∩{（x，y）|3x＋2y＝7}＝＝{（1,2）}．

3．小题热身

（1）已知集合A＝{x|－3

A．（0,3）B．（－3,4）C．（0,4）D．（3,4）

答案　B

解析　集合B＝（0,4），故A∪B＝（－3,4）．故选B.

（2）若集合A＝[2,3]，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，则A∩B＝（　　）

A．{2,3}B．∅C．（2,3）D．[2,3]

答案　A

解析　因为A＝{x|2≤x≤3}，B＝{2,3}，所以A∩B＝{2,3}．故选A.

题型1　集合的基本概念　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　（优质试题·四川高考）设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（　　）

A．3B．4C．5D．6

本题用列举法．

答案　C

解析　A中包含的整数元素有－2，－1,0,1,2，共5个，所以A∩Z中的元素个数为5.故选C.

　　（优质试题·豫北名校联考）设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P⊗Q＝{z|z＝a÷b，a∈P，b∈Q}，若P＝{－1,0,1}，Q＝{－2,2}，则集合P⊗Q中元素的个数是（　　）

A．2B．3C．4D．5

本题用分类讨论法，根据元素的互异性确定元素的个数．

答案　B

解析　当a＝0时，无论b取何值，z＝a÷b＝0；

当a＝－1，b＝－2时，z＝；

当a＝－1，b＝2时，z＝－；

当a＝1，b＝－2时，z＝－；

当a＝1，b＝2时，z＝.

故P⊗Q＝，该集合中共有3个元素．故选B.

方法技巧

解决集合概念问题的一般思路

1．研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义．常见的集合的意义如下表：

2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．

3．集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．

冲关针对训练

1．已知集合A＝{x|y＝x2＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，则下列关系正确的是（　　）

A．A∩B＝∅B．A∩B＝A

C．A＝BD．A∩B＝B

答案　D

解析　A＝R，B＝[1，＋∞），故A∩B＝B.故选D.

2．已知a，b为两个不相等的实数，集合M＝{a2－4a，－1}，N＝{b2－4b＋1，－2}，f：

x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b等于（　　）

A．1B．2C．3D．4

答案　D

解析　因为集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，所以即因为a，b为两个不相等的实数，则a，b为方程x2－4x＋2＝0的两根，∴a＋b＝4.故选D.

题型2　集合间的基本关系

　　（优质试题·资阳模拟）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为{a2，a＋b,0}，则a优质试题＋b优质试题的值为（　　）

A．0B．±1C．－1D．1

利用集合相等分类讨论，根据元素的互异性求解．

答案　C

解析　三个实数的集合可表示为，也可表示为{a2，a＋b,0}，可得b＝0，a2＝1，因为集合含有三个实数，所以a＝－1，∴a优质试题＋b优质试题＝－1.故选C.

　　已知集合A＝{x|x<－3或x>7}，B＝{x|x<2m－1}，若

B⊆A，则实数m的取值范围是________．

本题可用数形结合方法．

答案　（－∞，－1]

解析　由题意知2m－1≤－3，m≤－1，∴m的取值范围是（－∞，－1]．

[条件探究1]　典例2中的B改为B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，其余不变，该如何求解？

解　当B＝∅时，有m＋1>2m－1，则m<2.

当B≠∅时，或

解得m>6.综上可知m的取值范围是（－∞，2）∪（6，＋∞）．

[条件探究2]　典例2中的A改为A＝{x|－3≤x≤7}，B改为B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，又该如何求解？

解　当B＝∅时，满足B⊆A，此时有m＋1>2m－1，

即m<2；当B≠∅，要使B⊆A，则有

解得2≤m≤4.

综上可知m的取值范围是（－∞，4]．

方法技巧

1．集合相等的问题求解思路

首先分析已知元素与另一个集合中的哪个元素相等，一般要分类讨论，列出方程（组）求解，最后要验证是否满足互异性．例如典例1.

2．已知两个集合间的关系求参数时的关键点及注意点

（1）关键点：

将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．例如条件探究1,2.

（2）注意点：

①利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论；②注意区间端点的取舍．例如典例2.

提醒：

空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．

冲关针对训练　

1．已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－

A．A∩B＝∅B．A∪B＝R

C．B⊆AD．A⊆B

答案　B

解析　易得A＝{x|x>2或x<0}，又B＝{x|－

2．（优质试题·河北校级期中）已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m＝（　　）

A．3B．2

C．2或3D．0或2或3

答案　D

解析　因为B⊆A，所以根据B是否为空集分以下两种情况：

①当B＝∅时，mx－6＝0无解，即m＝0，

②当B≠∅时，mx－6＝0的解为2或3，则m的值分别为3,2.故选D.

题型3　集合的基本运算

角度1　求交集

　　（优质试题·全国卷Ⅰ）设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝（　　）

A.B.

C.D.

本题用数形结合法．

答案　D

解析　易知A＝（1,3），B＝，∴A∩B＝.故选D.

角度2　求并集

　　（优质试题·浙江模拟）已知集合P＝{x|－1

{x|0

A．（－1,2）B．（0,1）C．（－1,0）D．（1,2）

本题用数形结合法．

答案　A

解析　∵P＝{x|－1

∴P∪Q＝{x|－1

角度3　交、并、补的综合运算

　　（优质试题·广东七校联考）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|y＝lg（x－1）}，则（∁UA）∩B＝（　　）

A．{x|x>2或x<0}B．{x|1

C．{x|1

本题用转化法、数形结合法．

答案　C

解析　解不等式x2－2x>0，即x（x－2）>0，得x<0或x>2，故A＝{x|x<0或x>2}．集合B是函数y＝lg（x－1）的定义域，由x－1>0，解得x>1，所以B＝{x|x>1}．易知∁UA＝{x|0≤x≤2}，所以（∁UA）∩B＝{x|0≤x≤2}∩{x|x>1}＝{x|1

方法技巧

1．集合的基本运算的求解策略

（1）求解思路一般是先化简集合，再根据交、并、补的定义求解．例如角度1典例．

（2）求解原则一般是先算括号里面的，再按运算顺序求解．

（3）求解思想一般是注重数形结合思想的运用，利用数轴、Venn图等．例如角度2,3典例．

2．参数求解策略

一般来讲，若集合中的元素是离散的，则用Venn图表示，根据画出的Venn图得到关于参数的一个或多个方程，求出参数后要验证是否与集合元素的互异性矛盾；若集合中的元素是连续的，则用数轴表示，根据数轴得到关于参数的不等式，解之得到参数的范围，此时要注意端点的情况．见冲关针对训练2.

冲关针对训练

1．（优质试题·天津高考）设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则（A∪B）∩C＝（　　）

A．{2}B．{1,2,4}

C．{1,2,4,6}D．{x∈R|－1≤x≤5}

答案　B

解析　A∪B＝{1,2,4,6}．又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则（A∪B）∩C＝{1,2,4}．故选B.

2．（优质试题·合肥质检二）已知集合A＝[1，＋∞），B＝{x∈R，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（　　）

A．[1，＋∞）B.

C.D．（1，＋∞）

答案　A

解析　因为A∩B≠∅，所以解得a≥1，故选A.

3．（优质试题·唐山二模）已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥3}，图中阴影部分所表示的集合为（　　）

A．{1,2}B．{4,5}C．{1,2,3}D．{3,4,5}

答案　A

解析　图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中，但不在集合B中，

由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（∁UB）∩A，又A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥3}，

∵∁UB＝{x|x<3}，∴（∁UB）∩A＝{1,2}，

则图中阴影部分表示的集合是{1,2}．故选A.

题型4　集合中的创新问题

　　已知数集A＝{a1，a2，…，an}（1≤a1

对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与两数中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则（　　）

A．{1,3,4}为“权集”B．{1,2,3,6}为“权集”

C．“权集”中元素可以有0D．“权集”中一定有元素1

本题用排除法．

答案　B

解析　由于3×4与均不属于数集{1,3,4}，故A不正确；由于1