激光原理答案.docx

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激光原理答案

《激光原理》习题解答第一章习题解答

1为了使氦氖激光器的相干长度达到1KM，它的单色性丸0应为多少?

解答：

设相干时间为.，则相干长度为光速与相干时间的乘积，即

Lc=c

根据相干时间和谱线宽度的关系

Lc

又因为

Av

■0=632.8nm

由以上各关系及数据可以得到如下形式:

单色性=

Av

0632^m=6.32810-10

Lc11012nm

解答完毕。

2如果激光器和微波激射器分别在10gm>500nm和f=3000MHZ输出1瓦连续功率，问每秒钟

从激光上能级向下能级跃迁的粒子数是多少。

解答：

功率是单位时间内输出的能量，因此，我们设在dt时间内输出的能量为dE,则

功率=dE/dt

激光或微波激射器输岀的能量就是电磁波与普朗克常数的乘积，即

dEnh、..，其中n为dt时间内输出的光子数目，这些光子数就等于腔内处在高能级的激发粒子在dt时间辐射跃迁到低能级的数目（能级间的频率为v）。

由以上分析可以得到如下的形式：

n妙-功―

hv

每秒钟发射的光子数目为：

N=n/dt,带入上式，得到：

每秒钟发射的光子数

二N」二功率Js

dth、.6.62610Js•

根据题中给岀的数据可知：

c3汉108ms*“13「

16310Hz

、1010》m

c3IO8ms'…“15「

291.510Hz

■250010m

•3=3000106Hz

把三个数据带入，得到如下结果：

N1=5.0311019，N2=2.51018，N^5.0311023

3设一对激光能级为E1和E2（f1=f2），相应的频率为v（波长为入），能级上的粒子数密度分别为n2和n1，求

（a）当v=3000兆赫兹，T=300K的时候，n2/n仁？

（b）当入=1卩mT=300K的时候，n2/n仁？

（c）当入=1卩mn2/n1=0.1时，温度T=?

解答：

在热平衡下，能级的粒子数按波尔兹曼统计分布，即：

n2_

exp

n1f1

其中kb=1.3806210

-h

exp•云10.99

1.3806210絃3Jk，T

2—小=exp_（E^E1）

kbT

（统计权重f1=

n2

（a）exp

KbT

^3JK4为波尔兹曼常数，T为热力学温度。

—6.626"0亠（」s^v

kbT

n2

（b）exp

.—6.626汉10亠（」

_h21

kbT

exp2311.3810

1.3806210JkT

h、、

6.62610-4Js-=6.26103K

n2

kbIn二

4在红宝石调Q激光器中，有可能将几乎全部Cr3离子激发到激光上能级并产生激光巨脉冲。

设红

_3193

宝石棒直径为1cm，长度为7.5cm，Cr离子浓度为210cm，巨脉冲宽度为10ns，求激光的最大能量输岀和脉冲功率。

解答：

红宝石调Q激光器在反转能级间可产生两个频率的受激跃迁，这两个跃迁几率分别是47呀口53%

其中几率占53%勺跃迁在竞争中可以形成694.3nm的激光，因此，我们可以把激发到高能级上的粒子数看成是整个激发到高能级的Cr*粒子数的一半（事实上红宝石激光器只有一半的激发粒子对激光有贡献）。

设红宝石棒长为L，直径为d，体积为V，Cr3总数为N，Cr3粒子的浓度为n，巨脉冲的时间宽度

3

为.，则Cr离子总数为：

nd2L

n2

kbln-

n1

N=nV=n

4

根据前面分析部分，只有

lN,兀nLd

Eh、

28

脉冲功率是单位时间内输岀的能量，即

：

nLd2h

N/2个粒子能发射激光，因此，整个发出的脉冲能量为:

2

-h•二

8.询答完毕。

5试证明，由于自发辐射，原子在E2能级的平均寿命为-s

—。

A21

证明如下：

根据自发辐射的定义可以知道，高能级上单位时间粒子数减少的量，等于低能级在单位时间内粒子数的增加。

即：

dn2

dn2i

dt

①（其中等式左边表示单位时间内高能级上粒子数的变化,

Idt丿sp

高能级粒子数随时间减少。

右边的表示低能级上单位时间内接纳的从高能级上自发辐射下来的粒子数。

再根据自发辐射跃迁几率公式：

也1=A21n2代入①式，

dtsp

dn21

dt

1

，把

dn2

得到：

dt

对时间进行积分，得到:

n2=n20e）p-A21t（其中n2随时间变化，n20为开始时候的高能级

具有的粒子数。

）

n2a

按照能级寿命的定义,

用字母•s表示。

-=e时，定义能量减少到这个程度的时间为能级寿命,

n20

1

s证明完毕

A21

6某一分子的能级E4到三个较低能级EE2和Ea的自发跃迁几率分别为A43=5*10s,A42=1*10s,

A1=3*107s-1，试求该分子E4能级的自发辐射寿命t4。

若t1=5*10-7s，t2=6*10-9s，t3=1*10-8s，在对E?

连

续激发且达到稳态时，试求相应能级上的粒子数比值n1/n4,n2/n4和n/n。

，并说明这时候在哪两个能级间实

现了集居数

解：

（1）由题意可知E4上的粒子向低能级自发跃迁几率A4为：

A,=A41A42A43=510711073107=9107s-1

则该分子E4能级的自发辐射寿命：

因此，A21s=1,即:

T4。

m/n4,

7-1

7-1

118

.47=1.110_S

A49107

结论：

如果能级u发生跃迁的下能级不止1条,能级u向其中第i条自发跃迁的几率为Au,则能级u的自发辐射寿命为：

1

一Aui

i

E4

（2）对E*连续激发并达到稳态，则有:

A41

A42

vA43

-E3

-E2

E1

能级只与

E4

r

能级

in1=.；：

n2=n3=•:

:

n4=0

111

n1'n4A41,n2*'n4A42，n3'n4A43

1-2-3

（上述三个等式的物理意义是：

在只考虑高能级自发辐射和

间有受激吸收过程，见图）

宏观上表现为各能级的粒子数没有变化由题意可得：

1n

n<|n4A41则-=A41v=310510^=15

■1帀

同理：

些=a422=110=610'=0.06,空=傀33=510”110*=0.5n4n4

匹=250,匹=0.12n2n3

由以上可知：

在E2和E4；E3和E（;E2和Es能级间发生了粒子数反转.

7证明，当每个模式内的平均光子数（光子简并度）大于1时，辐射光中受激辐射占优势。

证明如下：

按照普朗克黑体辐射公式，在热平衡条件下，能量平均分配到每一个可以存在的模上，即

h

进一步可求得：

h丸“

exp1

CT

由上式可以得到:

E

又根据黑体辐射公式:

（n为频率为y的模式内的平均光子数）

kbT

8h3

x

根据爱因斯坦辐射系数之间的关系式

kbT

exp「1

kbT

pY__

8h3n

8hf3a

21和受激辐射跃迁几率公式

W21

二B2i'，则可

以推导岀以下公式:

B21'W>1

A21

如果模内的平均光子数（

3

c

大于1,

W21

B21

即

n21-1,则受激辐射跃迁几率大于自发辐射跃迁几率,

即辐射光中受

0.01mm*，光通过10cm长的该材料后，出射光强为入射光

激辐射占优势。

证明完毕

8一质地均匀的材料对光的吸收系数为

强的百分之几？

如果一束光通过长度为1M地均匀激励的工作物质，如果出射光强是入射光强的两倍，试求该物质的

增益系数。

解答：

设进入材料前的光强为

I0，经过z距离后的光强为1z，根据损耗系数，--d^-z—

dzIz

的定义，可以得到:

Iz=Ioex^-z

则岀射光强与入射光强的百分比为：

kz」Z100%=exp-：

z100%=e』01mmi100mm100%=36.8%

I0

根据小信号增益系数的概念:

上式可通过积分得到

dz

，在小信号增益的情况下,

Iz=10expg0z=expg°z二」=

10

0

gz=ln

解答完毕。

In2

1000

41

=6.9310mm

《激光原理》习题解答第二章习题解答

1试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限次，而且两次往返即自行闭

合.

证明如下：

（共焦腔的定义一一两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔为共焦腔。

共焦腔分为实共焦腔和虚共

焦腔。

公共焦点在腔内的共焦腔是实共焦腔，反之是虚共焦腔。

两个反射镜曲率相等的共焦腔称为对称共焦腔，可以证明，对称共焦腔是实双凹腔。

）

根据以上一系列定义，我们取具对称共焦腔为例来证明。

设两个凹镜的曲率半径分别是

R1和R2，腔长为L，根据对称共焦腔特点可知:

R=R2=R=L

因此，一次往返转换矩阵为

把条件R1

t=A

共轴球面腔的稳定判别式子

11

如果a•D=-1或者AD=1，则谐振腔是临界腔，是否是稳定腔要根据情况来定。

本题中

22

因此可以断定是介稳腔（）

］临界腔），

下面证明对称共焦腔在近轴光线条件下属于稳定腔。

经过两个往返的转换矩阵式

T2，T2

=1

b

1」

坐标转换公式为：

0和』订

也」

〔0

1」也1」也1」

其中等式左边的坐标和角度为经过两次往返后的坐标，通过上边的式子可以看岀，光线经过两次往返后回到光线的岀发点，即形成了封闭，因此得到近轴光线经过两次往返形成闭合，对称共焦腔是稳定腔。

2试求平凹、双凹、凹凸共轴球面腔的稳定条件。

1

解答如下：

共轴球面腔的

是稳定腔，反之为非稳腔

2L2L2L21

AD三1,如果满足-1AD：

1，则腔

2R1R2R1R22

，两者之间存在临界腔，临界腔是否是稳定腔，要具体分析。

对于平凹共轴球面腔,

-AD=1-

2

2L

2LW

R2R1R2R2

（R

：

）

下面我们就根据以上的内容来分别求稳定条件。

2L

所以，如果_1:

：

-11，则是稳定腔。

因为L和R2均大于零，所以不等式的后半部分一定成立,

R2

因此，只要满足—:

:

:

1，就能满足稳定腔的条件，因此，—:

:

:

1就是平凹腔的稳定条件。

r2r2

类似的分析可以知道，

凸凹腔的稳定条件是：

R1

:

:

0

R2-L，且R1R2

:

:

:

L。

双凹腔的稳定条件是：

R1

■L，

R2L

（第一种情况）

R1

:

:

L，

R2：

：

L且R1R2

L（第二种情况）

R1

二R2

=rL

（对称双凹腔）

求解完毕。

3激光腔的谐振腔由一曲率半径为1M的凸和曲率半径为2M的凹面镜构成，工作物质长度为0.5M，其折

射率为1.52，求腔长L1在什么范围内谐振腔是稳定的。

解答如下：

设腔长为L1，腔的光学长度为L，已知R1=-IM，R2=2M，L0=0.5M，1=1，

2-1.52，

根据1AD；=1-生一生

2RR2

R1r2

，代入已知的凸凹镜的曲率半径，得到:

12L2L2L2

AD=11L-L

21M2M1M2M

因为含有工作物质，已经不是无源腔，因此，这里L应该是光程的大小（或者说是利用光线在均匀介质里

传播矩阵）。

即l=L^Lo•旦=丄丄05•卫勺，代入上式，得到：

n1J11.52

211.5211.52

1

要达到稳定腔的条件，必须是-1AD：

：

1，按照这个条件，得到腔的几何长度为:

2

1.17:

:

:

L1：

：

：

2.17，单位是米。

解答完毕。

5有一方形孔径共焦腔氦氖激光器，腔长L=30CM，方形孔径边长为d=2a=0.12CM，入=632.8nm，镜的反

射率为m=1,「2=0.96，其他损耗以每程0.003估计。

此激光器能否做单模运转？

如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔光阑来选择TEM00模，小孔的边长应为多大？

试根据图2.5.5作一大略的估计。

氦氖激光器

0|4l

增益由公式eg1=1310估算，其中的I是放电管长度。

d

分析：

如果其他损耗包括了衍射损耗，则只考虑反射损耗及其他损耗的和是否小于激光器的增益系数，增益大于损耗，则可产生激光振荡。

如果其他损耗不包括衍射损耗，并且菲涅尔数小于一，则还要考虑衍射损耗，衍射损耗的大小可以根

据书中的公式500=10.9*10-4.94N来确定，其中的N是菲涅尔数。

0|4l

解答：

根据eg=1310_，可以知道单程增益g°L=ln（1+0.0003L/d）=0.0723

d

由于反射不完全引起的损耗可以用公式2.1.24或者2.1.25来衡量

根据2.1.24得到：

5r〜-0.5lnr1r2=0.0204根据题意，总的损耗为反射损+其他损耗，因此单程总损耗系数为

5=0.0204+0.0003

如果考虑到衍射损耗，则还要根据菲涅尔数来确定衍射损系数：

此方形共焦腔氦氖激光器的菲涅尔数为：

N=a2/（L入）=7.6，菲涅尔数大于一很多倍，因此可以不考虑衍射

损耗的影响。

通过以上分析可以断定，此谐振腔可以产生激光振荡。

又根据氦氖激光器的多普勒展宽达到1.6Gf,

而纵模及横模间隔根据计算可知很小，在一个大的展宽范围内可以后很多具有不同模式的光波振荡，因此不采取技术措施不可能得到基模振荡。

为了得到基模振荡，可以在腔内加入光阑，达到基模振荡的作用。

在腔镜上，基模光斑半径为：

因此，可以在镜面上放置边长为230s的光阑

解答完毕。

6试求岀方形镜共焦腔面上TEM30模的节线位置，这些节线是等距分布吗?

解答如下：

方形镜共焦腔自再现模满足的积分方程式为

mnX,y=mn

Lk

经过博伊德一戈登变换，在通过厄密

i—ikL

e

-高斯近似，可以用厄密

aa

JV

-a-a

mnx',y'e

ikxxyy'

Ldxdy

-高斯函数表示镜面上场的函数

y

x

mnx,y~CmnH

-x2y2

ye「

-J2■:

vL1

x-1

使：

30x,y=0就可以求出节线的位置。

由上式得到：

刘=0,X23竺，这些节线是等距的。

解答完毕。

21l■

7求圆形镜共焦腔TEM20和TEM02模在镜面上光斑的节线位置。

解答如下：

圆形镜共焦腔场函数在拉盖尔一高斯近似下，可以写成如下的形式

m「・r2

~2

cosm

皿（这个场对应于TEM

sinm'

子可以任意选择，但是当m为零时，只能选余弦，否则整个式子将为零）

r2

_2亠-'0se

'mnr,=Cmn

mn，两个三角函数因

对于TEM20:

20r/=C20

2

2r2

cos2

2

0s

sin2

.=1,代入上式，得到

并且L0

20r「-C20

题中所要求的结果，我们取20r,二

节线的位置。

既

cS0"讣

对于TEM02，可以做类似的分析。

l2

C20

2

2r

:

•■'.■0s

0

02「，」

2r2”

0s丿

cos2

sin2「，我们取余弦项，根据

2

r

^~2~

eco。

’二°,就能求出镜面上

2

r

2

O0s

e

C02L2

2r2

2

0s

2

r

I2-0se

2厂=1一4]•2厂，代入上式并使光波场为零,产0s''0s''0s

得到

02=C02

r2

_2

e裁

01

4r2

■0s

it

最后镜面上节线圆的半径分别为：

显然，只要l2

=0即满足上式

0s

4

''0s

r1-120s

解答完毕。

8今有一球面腔，两个曲率半径分别是R1=1.5M，R2=-1M，L=80CM，试证明该腔是稳定腔，求出它的等

价共焦腔的参数，在图中画岀等价共焦腔的具体位置。

1

解：

共轴球面腔稳定判别的公式是-1AD:

:

1，这个公式具有普适性（教材36页中间文字部分），

2

对于简单共轴球面腔，可以利用上边式子的变换形式

0g1g2:

:

:

1判断稳定性，其中gi

题中gi=1=1一"8，g2^1-

15

Ri

R2

十5

10

gig^0.093，在稳定腔的判别范围内，所以是稳定腔。

任意一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价，

场是相同的。

等价共焦腔的参数包括：

以等价共焦腔的腔中心为坐标原点，从坐标原点到一般稳定球面两个腔镜面

的坐标乙和Z2，再加上它的共焦腔的镜面焦距F，这三个参数就能完全确定等价共焦腔。

根据公式（激光原理p66-2.8.4）得到：

LR2-L0.81-0.8

一个一般稳定球面腔唯一对应一个共焦腔,

他们的行波

Z10.18M

LL-R20.8-1.50.8-1

F2

08I5080.62M

L-尺L-R20.8-1.50.8-1

L（R2-L贰—LIR+R2-L）0.8汉（1—0.8$（1.5-0.811.5+1—0.8）。

備

QL—Ri）+（L—R2/因此F二0.485M

等价共焦腔示意图略。

9某二氧化碳激光器采用平-凹腔，L=50CM,R=2M,2a=iCM，波长入=i0.6卩m,试计算镜面上的光斑半径、束腰半径及两个镜面上的损耗。

〔0.8一1.50.8一1I2

解：

此二氧化碳激光器是稳定腔，其中平面镜的曲率半径可以看作是无穷大。

根据公式（激光原理p67-2.8.6或2.8.7）得到：

1/4

g2

八：

51爲2「L「「

1

]gi（i—g©L

g2

1/4

1/4

1/4

=i.687io-6i.3i6=2.22i0»M

:

'S2二-0s-

卫21-g©

其中第一个腰斑半径对应平面镜。

上式中•・0S二.L—二是这个平凹腔的等价共焦腔镜面上的腰斑半径,

并且根据一般稳定球面腔与等价共焦腔的性质，他们具有同一个束腰。

根据共焦腔束腰光斑半径与镜面上光斑半径的关系可知：

gi

gi

=L=1.68710-5.333=8.99710~M

'©（1-g©）」

&）0S1.687/ICCIJn”

co0=—==1.193AM

v'21.414

作为稳定腔，损耗主要是衍射损，衍射损耗与镜面上的菲涅尔数有关，在损耗不大的情况下，是倒数关系。

即:

N

根据公式（激光原理p69-2.8.18或2.8.19）分别求出两个镜面的菲涅尔数

0.2510*

Nefi

Nefi

2

ai

2

-'si

2

ai

2"

■-'si

2=1.615如06

3.1416"2.22汇10』）

0.2510鼻

=9.83ii04

3.1416"8.997"0厘J

根据衍射损耗定义，可以分别求岀：

1二1二

「6.210，、21.0210NefiNef2

2

a

10证明在所有菲涅尔数N相同而曲率半径R不同的对称稳定球面腔中，共焦腔的衍射损耗

L扎

最低。

这里L表示腔长，a是镜面的半径。

证明：

R+R2

在对称共焦腔中，R=R2

f』

2

-2L

-2‘

11今有一平面镜和一个曲率半径为R=1M的凹面镜，问：

应该如何构成一个平一凹稳定腔以获得最

小的基模远场发散角，画出光束发散角与腔长的关系。

解答：

我们知道，远场发散角不仅和模式（频率）有关，还和腔的结构有关。

根据公式

2.6.14得到:

—-，如果平面镜和凹面镜构成的谐振腔所对应的等价共焦腔焦距最大,

则可以获得最小的基模

光束发散角。

f2LR2-LR1-LRR2_L

El—R）+（L—R2）]2

代入发散角公式，就得到最小发散角为：

max=°.25m

0.25

=4

jt

发散角与腔长的关系式:

=2

儿.,：

：

l1—I二

13某二氧化碳激光器材永平凹腔，腰斑半径的大小和位置，该高斯光束的焦参数和基模发散角。

解答：

LR2-LR1-LR1R2-L=的

凹面镜的R=2M，腔长L=1M，试给出它所产生的高斯光束的束腰

、10.61.84」M

.3.1416

=1.1283.671O'rad

14某高斯光束束腰光斑半径为1.14MM，波长入=10.6卩求与束腰相距30厘米、100厘米、1000米远处的光斑半径及相应的曲率半径。

解答：

根据公式（激光原理

P71-2.9.4,2.9.6）

2

z"

叭诃丁-

\lf丿

把不同距离的数据代入，得到:

-■30cm=1.45MM，

■10m=2.97CM，-1000m=2.97M

-

/2、兀时0

2]

曲率半径R（z）=z

1+

0

1

＜人z丿

与不同距离对应的曲率半径为：

R30cm]=0.79M，R10m]=10.015M，R1000m[=1000M

15若已知某高斯光束的束腰半径为0.3毫米，波长为632.8纳米。

求束腰处的q参数值，与束腰距离30厘米处的q参数值，与束腰相距无限远处的q值。

解答：

束腰处的

q°=if

q参数值实际上就是书中的公交参量（激光原理P73-2.9.12）：

2

-=44.68i

（激光原理P75-2.10.8）

qzi=q0-z，可以得到30厘米和无穷远处的q参数值分别为

q30Aq030=3044.68i

无穷远处的参数值为无穷大。

16某高斯光束束腰半径为1.2毫米，波长为10.6微米。

现在用焦距F=2cm的锗透镜聚焦，当束腰与透镜距离分别为10米，1米，10厘米和0时，求焦斑大小和位置，并分析结果。

根据公式

解答：

根据公式（激光原理p78-2.10.17和2.10.18）

当束腰与透镜距离10米时

F2-0

=2.4[M

同理可得到:

解答完毕