激光原理答案.docx

1、激光原理答案激光原理习题解答第一章习题解答1为了使氦氖激光器的相干长度达到 1KM，它的单色性丸0应为多少?解答：设相干时间为.，则相干长度为光速与相干时间的乘积，即Lc = c根据相干时间和谱线宽度的关系Lc又因为Av 0 = 632.8nm由以上各关系及数据可以得到如下形式:单色性=Av0 632m =6.328 10-10Lc 1 1012 nm解答完毕。2如果激光器和微波激射器分别在 10 gm 500nm和f =3000MH Z输出1瓦连续功率，问每秒钟从激光上能级向下能级跃迁的粒子数是多少。解答：功率是单位时间内输出的能量，因此，我们设在 dt时间内输出的能量为dE,则功率=dE/

2、dt激光或微波激射器输岀的能量就是电磁波与普朗克常数的乘积，即d E nh、.，其中n为dt时间内输出的光子数目，这些光子数就等于腔内处在高能级的激发粒子在 dt时间辐射跃迁到低能级的数目(能级间的频率为 v )。由以上分析可以得到如下的形式：n妙-功hv每秒钟发射的光子数目为：N=n/dt,带入上式，得到：每秒钟发射的光子数二N二功率 J sdt h、. 6.626 10 J s 根据题中给岀的数据可知：c 3汉 108ms* “1316 3 10 H z、10 10mc 3IO8ms“1529 1.5 10 H z2 500 10 m 3=3000 106Hz把三个数据带入，得到如下结果：

3、 N1 =5.031 1019，N2 =2.5 1018，N 5.031 10233设一对激光能级为 E1和E2 (f1=f2 )，相应的频率为 v (波长为入)，能级上的粒子数密度分别为 n2和n1，求(a)当v =3000兆赫兹，T=300K的时候，n2/n仁？(b)当 入=1卩m T=300K的时候，n2/n仁？(c)当入=1 卩 m n2/n1=0.1 时，温度 T=?解答：在热平衡下，能级的粒子数按波尔兹曼统计分布，即：n2 _expn1 f1其中 kb =1.38062 10- hexp 云 1 0.991.38062 10絃3 J k， T2 小=exp_(EE1)kbT(统计权

4、重f 1 =n2(a) expKbT3 JK 4为波尔兹曼常数，T为热力学温度。6.6260亠(svkbTn2(b) exp,. 6.626汉10亠(_ h 21kbTexp 23 1 1.38 101.38062 10 J k Th、6.626 10-4 J s - = 6.26 103Kn2kb In 二4在红宝石调Q激光器中，有可能将几乎全部 Cr 3离子激发到激光上能级并产生激光巨脉冲。设红_3 19 3宝石棒直径为1cm，长度为7.5cm， Cr离子浓度为2 10 cm ，巨脉冲宽度为10ns，求激光的最大 能量输岀和脉冲功率。解答：红宝石调Q激光器在反转能级间可产生两个频率的受激跃

5、迁， 这两个跃迁几率分别是 47呀口 53%其中几率占53%勺跃迁在竞争中可以形成 694.3nm的激光，因此，我们可以把激发到高能级上的粒子数看 成是整个激发到高能级的 Cr*粒子数的一半（事实上红宝石激光器只有一半的激发粒子对激光有贡献） 。设红宝石棒长为L，直径为d，体积为V，Cr 3总数为N，Cr 3粒子的浓度为n，巨脉冲的时间宽度3为.，则Cr离子总数为：nd2Ln2kb ln -n1N = n V = n4根据前面分析部分，只有l N , 兀nLdE h、2 8脉冲功率是单位时间内输岀的能量，即：nLd 2hN/2个粒子能发射激光，因此，整个发出的脉冲能量为:2-h 二8.询答完毕

6、。5试证明，由于自发辐射，原子在 E2能级的平均寿命为-s 。A21证明如下：根据自发辐射的定义可以知道，高能级上单位时间粒子数减少的量，等于低能级在单位时 间内粒子数的增加。即：dn2dn2idt（其中等式左边表示单位时间内高能级上粒子数的变化,I dt 丿sp高能级粒子数随时间减少。右边的表示低能级上单位时间内接纳的从高能级上自发辐射下来的粒子数。 再根据自发辐射跃迁几率公式：也1 = A21 n2代入式，dt spdn21dt1，把dn2得到：dt对时间进行积分，得到:n2 = n20e）p - A21t （其中n2随时间变化，n20为开始时候的高能级具有的粒子数。）n2 a按照能级寿命

7、的定义,用字母 s表示。-=e时，定义能量减少到这个程度的时间为能级寿命,n201s 证明完毕A216某一分子的能级 E4到三个较低能级 E E2和Ea的自发跃迁几率分别为 A43=5*10 s , A 42=1*10 s ,A1=3*107s-1，试求该分子 E4能级的自发辐射寿命 t 4。若t 1=5*10-7s，t 2=6*10-9s，t 3=1*10-8s，在对E?连续激发且达到稳态时， 试求相应能级上的粒子数比值 n1/n 4, n2/n 4和n/n。，并说明这时候在哪两个能级间实现了集居数解：（1）由题意可知E4上的粒子向低能级自发跃迁几率 A4为：A, =A41 A42 A43

8、=5 107 1 107 3 107 =9 107s-1则该分子E4能级的自发辐射寿命：因此，A21 s =1,即:T 4。m/n 4,7 -17 -11 1 8.4 7=1.110_SA4 9 107结论：如果能级u发生跃迁的下能级不止 1条,能级u向其中第i条自发跃迁的几率为 Au,则能级u的 自发辐射寿命为：1一 AuiiE4（2）对E*连续激发并达到稳态，则有:A41A42v A43-E3-E2E1能级只与E4r能级in 1 = . ；： n2 = n3 = :n4 =011 1n1 n4 A41 , n2 * n4 A42，n3 n4 A431 - 2 - 3（上述三个等式的物理意义

9、是： 在只考虑高能级自发辐射和间有受激吸收过程，见图）宏观上表现为各能级的粒子数没有变化 由题意可得：1 nn1A21如果模内的平均光子数（3c大于1,W21B21即n 21 -1,则受激辐射跃迁几率大于自发辐射跃迁几率,即辐射光中受0.01mm*，光通过10cm长的该材料后，出射光强为入射光激辐射占优势。证明完毕8 一质地均匀的材料对光的吸收系数为强的百分之几？如果一束光通过长度为1M地均匀激励的工作物质， 如果出射光强是入射光强的两倍， 试求该物质的增益系数。解答：设进入材料前的光强为I 0，经过z距离后的光强为1 z，根据损耗系数，-d-z dz I z的定义，可以得到:I z =Ioe

10、x - z则岀射光强与入射光强的百分比为：kzZ 100% = exp-： z 100% =e01mmi100mm 100% = 36.8%I 0根据小信号增益系数的概念:上式可通过积分得到dz，在小信号增益的情况下,I z = 10 expg0z= expgz 二=1 00g z = ln解答完毕。In 210004 1= 6.93 10 mm激光原理习题解答第二章习题解答1试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限次，而且两次往返即自行闭合.证明如下：（共焦腔的定义一一两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔为共焦腔。 共焦腔分为实共焦腔和虚共焦腔。公共焦点在腔内的共焦腔是

11、实共焦腔，反之是虚共焦腔。两个反射镜曲率相等的共焦腔称为对称共 焦腔，可以证明，对称共焦腔是实双凹腔。 ）根据以上一系列定义，我们取具对称共焦腔为例来证明。设两个凹镜的曲率半径分别是R1和R2，腔长为L，根据对称共焦腔特点可知:R = R2 = R = L因此，一次往返转换矩阵为把条件R1t = A共轴球面腔的稳定判别式子1 1如果 a D = -1或者 A D =1，则谐振腔是临界腔，是否是稳定腔要根据情况来定。 本题中22因此可以断定是介稳腔（）临界腔），下面证明对称共焦腔在近轴光线条件下属于稳定腔。经过两个往返的转换矩阵式T2，T2=1b1坐标转换公式为：0和订也01也1也1其中等式左边

12、的坐标和角度为经过两次往返后的坐标，通过上边的式子可以看岀，光线经过两次往返后回 到光线的岀发点，即形成了封闭，因此得到近轴光线经过两次往返形成闭合，对称共焦腔是稳定腔。2试求平凹、双凹、凹凸共轴球面腔的稳定条件。1解答如下：共轴球面腔的是稳定腔，反之为非稳腔2L 2L 2L2 1A D三1 ,如果满足-1 A D ： 1，则腔2R1 R2 R1R2 2，两者之间存在临界腔，临界腔是否是稳定腔，要具体分析。对于平凹共轴球面腔,-A D =1 -22L2L WR2 R1R2 R2（Ri ）：）下面我们就根据以上的内容来分别求稳定条件。2L所以，如果_1 :：-1 1，则是稳定腔。因为L和R2均大

13、于零，所以不等式的后半部分一定成立,R2因此，只要满足 :1，就能满足稳定腔的条件，因此， :1就是平凹腔的稳定条件。r2 r2类似的分析可以知道，凸凹腔的稳定条件是：R1:0R2 - L，且 R1 R2:L。双凹腔的稳定条件是：R1 L，R2 L（第一种情况）R1:L，R2 ： L 且 R1 R2L （第二种情况）R1二 R2=r L（对称双凹腔）求解完毕。3激光腔的谐振腔由一曲率半径为 1M的凸和曲率半径为2M的凹面镜构成，工作物质长度为 0.5M，其折射率为1.52，求腔长L1在什么范围内谐振腔是稳定的。解答如下：设腔长为L1，腔的光学长度为L，已知R1 = -IM，R2 =2M，L0

14、=0.5M， 1 =1，2 -1.52，根据1 A D ；=1 -生一生2 R R2R1 r2，代入已知的凸凹镜的曲率半径，得到:12L 2L 2L 2A D =1 1 L - L21M 2M 1M 2M因为含有工作物质，已经不是无源腔，因此，这里 L应该是光程的大小（或者说是利用光线在均匀介质里传播矩阵）。即l = LLo 旦=丄丄 05 卫勺，代入上式，得到：n1 J 1 1.522 1 1.52 1 1.521要达到稳定腔的条件，必须是 -1 A D ： 1，按照这个条件，得到腔的几何长度为:21.17 : L1 ： 2.17，单位是米。解答完毕。5有一方形孔径共焦腔氦氖激光器，腔长 L

15、=30CM，方形孔径边长为d=2a=0.12CM，入=632.8nm，镜的反射率为m=1 ,2=0.96，其他损耗以每程 0.003估计。此激光器能否做单模运转？如果想在共焦镜面附近加 一个方形小孔光阑来选择 TEM 00模，小孔的边长应为多大？试根据图 2.5.5作一大略的估计。氦氖激光器0| 4 l增益由公式eg 1 =13 10 估算，其中的I是放电管长度。d分析：如果其他损耗包括了衍射损耗，则只考虑反射损耗及其他损耗的和是否小于激光器的增益系数，增 益大于损耗，则可产生激光振荡。如果其他损耗不包括衍射损耗， 并且菲涅尔数小于一， 则还要考虑衍射损耗， 衍射损耗的大小可以根据书中的公式5

16、 00=10.9*10 -4.94N来确定，其中的N是菲涅尔数。0| 4 l解答：根据eg =1 3 10_ ，可以知道单程增益 gL=ln（1+0.0003L/d）=0.0723d由于反射不完全引起的损耗可以用公式 2.1.24或者2.1.25来衡量根据2.1.24得到：5 r -0.5lnr 1r 2=0.0204 根据题意，总的损耗为反射损 +其他损耗，因此单程总损耗系数为5 =0.0204+0.0003 gL如果考虑到衍射损耗，则还要根据菲涅尔数来确定衍射损系数：此方形共焦腔氦氖激光器的菲涅尔数为： N=a2/（L入）=7.6，菲涅尔数大于一很多倍，因此可以不考虑衍射损耗的影响。通过以

17、上分析可以断定，此谐振腔可以产生激光振荡。又根据氦氖激光器的多普勒展宽达到 1.6Gf,而纵模及横模间隔根据计算可知很小，在一个大的展宽范围内可以后很多具有不同模式的光波振荡，因此 不采取技术措施不可能得到基模振荡。为了得到基模振荡，可以在腔内加入光阑，达到基模振荡的作用。在腔镜上，基模光斑半径为：因此，可以在镜面上放置边长为 2 3 0s的光阑解答完毕。6试求岀方形镜共焦腔面上 TEM 30模的节线位置，这些节线是等距分布吗? 解答如下：方形镜共焦腔自再现模满足的积分方程式为mn X, y = mnLk经过博伊德一戈登变换，在通过厄密i ikLe-高斯近似，可以用厄密a aJ V-a -am

18、n x, y eikxx yy L dx dy-高斯函数表示镜面上场的函数yxmn x , y C mn H-x2 y2ye-J 2 :v L 1x -1使：30 x, y = 0就可以求出节线的位置。由上式得到：刘=0,X23 竺，这些节线是等距的。解答完毕。, 2 1 l 7求圆形镜共焦腔TEM 20和TEM 02模在镜面上光斑的节线位置。 解答如下：圆形镜共焦腔场函数在拉盖尔一高斯近似下，可以写成如下的形式m r22cosm皿 （这个场对应于TEMsinm 子可以任意选择，但是当 m为零时，只能选余弦，否则整个式子将为零）r2_ 2 亠-0s emn r, = Cmnmn，两个三角函数因

19、对于TEM 20 : 20 r/ =C2022r2cos220ssin2.=1,代入上式，得到并且L020 r - C20题中所要求的结果，我们取 20 r, 二节线的位置。既cS0讣对于TEM 02，可以做类似的分析。l2C2022 r:.0 s002，2r2 ”0s丿cos 2sin 2，我们取余弦项，根据2r2e co。二,就能求出镜面上2r 2O0seC02L22r220s2rI 2 -0s e2厂=1 一4 2厂，代入上式并使光波场为零, 产 0s 0s 0s得到02 = C02r2 _ 2e裁014r20sit最后镜面上节线圆的半径分别为：显然，只要l2=0即满足上式0s40sr1

20、 - 1 2 0s解答完毕。8今有一球面腔，两个曲率半径分别是 R1=1.5M，R2=-1M，L=80CM，试证明该腔是稳定腔，求出它的等价共焦腔的参数，在图中画岀等价共焦腔的具体位置。1解：共轴球面腔稳定判别的公式是 -1 A D : 1，这个公式具有普适性（教材36页中间文字部分），2对于简单共轴球面腔，可以利用上边式子的变换形式0 g1g2 : 1判断稳定性，其中gi题中 gi =1 =1 一8，g2 1 -15RiR2十510gig0.093，在稳定腔的判别范围内，所以是稳定腔。 任意一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价，场是相同的。等价共焦腔的参数包括：以等价共焦腔的腔中心为坐标原点，

21、 从坐标原点到一般稳定球面两个腔镜面的坐标乙和Z2，再加上它的共焦腔的镜面焦距 F，这三个参数就能完全确定等价共焦腔。根据公式（激光原理 p66-2.8.4）得到：L R2 -L 0.8 1 -0.8一个一般稳定球面腔唯一对应一个共焦腔,他们的行波Z1 0.18ML L -R2 0.8 -1.5 0.8 -1F208 I5 08 0.62ML -尺 L -R2 0.8 -1.5 0.8 -1L(R2 - L 贰L IR + R2 - L ) 0.8汉(10.8 $ (1.5-0.811.5 + 10.8)。備QLRi ）+（LR2 / 因此 F 二 0.485M等价共焦腔示意图略。9某二氧化碳

22、激光器采用平-凹腔，L=50CM , R=2M , 2a=iCM，波长 入=i0.6卩m,试计算镜面上的 光斑半径、束腰半径及两个镜面上的损耗。0.8 一1.5 0.8一1 I2解：此二氧化碳激光器是稳定腔，其中平面镜的曲率半径可以看作是无穷大。根据公式（激光原理 p67-2.8.6或2.8.7 ）得到：1/4g2八：5 1爲2 L1gi(i g Lg21/41/41/4=i .687 io-6 i.3i6 = 2.22 i0M:S2 二-0s -卫 21 -g其中第一个腰斑半径对应平面镜。 上式中0S二.L二是这个平凹腔的等价共焦腔镜面上的腰斑半径,并且根据一般稳定球面腔与等价共焦腔的性质，

23、他们具有同一个束腰。根据共焦腔束腰光斑半径与镜面上光斑半径的关系可知：gigi=L =1.687 10- 5.333 =8.997 10 M(1-g)&）0S 1 .687 /ICC I Jn”co0 = = = 1.193AMv2 1.414作为稳定腔，损耗主要是衍射损，衍射损耗与镜面上的菲涅尔数有关，在损耗不大的情况下，是倒数 关系。即:N根据公式（激光原理 p69-2.8.18或2.8.19）分别求出两个镜面的菲涅尔数0.25 10*NefiNefi2ai2-si2ai2- si2 =1.615如063.14162.22汇10)0.25 10 鼻= 9.83i i043.14168.99

24、70厘 J根据衍射损耗定义，可以分别求岀：1 二 1 二 6.2 10 ，、2 1.02 10 Nefi Nef22a10证明在所有菲涅尔数 N 相同而曲率半径 R不同的对称稳定球面腔中，共焦腔的衍射损耗L扎最低。这里L表示腔长，a是镜面的半径。证明：R +R2在对称共焦腔中，R =R2f2-2L-2 11今有一平面镜和一个曲率半径为 R=1M的凹面镜，问：应该如何构成一个平一凹稳定腔以获得最小的基模远场发散角，画出光束发散角与腔长的关系。解答：我们知道，远场发散角不仅和模式（频率）有关，还和腔的结构有关。根据公式2.6.14 得到:-，如果平面镜和凹面镜构成的谐振腔所对应的等价共焦腔焦距最大

25、,则可以获得最小的基模光束发散角。f 2 L R2 - L R1 - L R R2 _ LEl R ）+（L R2 ）2代入发散角公式，就得到最小发散角为：max = .25m0.25=4jt发散角与腔长的关系式:=2 儿. ,：l 1 I 二13某二氧化碳激光器材永平凹腔， 腰斑半径的大小和位置，该高斯光束的焦参数和基模发散角。解答：L R2 -L R1 -L R1 R2 -L =的凹面镜的R=2M，腔长L=1M，试给出它所产生的高斯光束的束腰、10.6 1.84M.3.1416= 1.128 3.67 1Orad14某高斯光束束腰光斑半径为 1.14MM，波长 入=10.6卩求与束腰相距

26、30厘米、100厘米、1000 米远处的光斑半径及相应的曲率半径。解答：根据公式（激光原理P71-2.9.4, 2.9.6 )2z叭诃丁 - lf丿把不同距离的数据代入，得到:- 30cm =1.45MM， 10m = 2.97CM， - 1000m =2.97M-/ 2、 兀时02曲率半径 R（z ）= z1 +01人z丿与不同距离对应的曲率半径为：R30cm =0.79M，R 10m=10.015M，R 1000m =1000M15若已知某高斯光束的束腰半径为 0.3毫米，波长为632.8纳米。求束腰处的q参数值，与束腰距离 30厘米处的q参数值，与束腰相距无限远处的 q值。解答：束腰处的q =ifq参数值实际上就是书中的公交参量（激光原理 P73-2.9.12）：2-=44.68i（激光原理 P75-2.10.8）q zi=q0 - z，可以得到30厘米和无穷远处的q参数值分别为q 30 Aq0 30 =30 44.68i无穷远处的参数值为无穷大。16某高斯光束束腰半径为 1.2毫米，波长为10.6微米。现在用焦距 F=2cm的锗透镜聚焦，当束腰与 透镜距离分别为10米，1米，10厘米和0时，求焦斑大小和位置，并分析结果。根据公式解答：根据公式（激光原理 p78-2.10.17和2.10.18）当束腰与透镜距离10米时F2-0= 2.4M同理可得到:解答完毕