小学数学五年级《数阵图与数字谜》练习题含答案.docx

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小学数学五年级《数阵图与数字谜》练习题含答案

《数阵图与数字谜》练习题（含答案）

你还记得吗

【复习1】把1～5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等.

分析：

（1+2+3+4+5）+重叠数=每条直线上三数之和×2，所以，每条直线上三数之和＝（15+重叠数）÷2.

　因为每条直线上的三数之和是整数，所以“15+重叠数”只能是偶数，重叠数只可能是1，3或5.

若“重叠数”=1，则两条直线上三数之和为（15+1）÷2=8。

填法见下图

（1）；

若“重叠数”=3，则两条直线上三数之和为（15+3）÷2=9。

填法见下图

（2）；

若“重叠数”=5，则两条直线上三数之和为（15+5）÷2=10。

填法见下图（3）.

【复习2】将1～7这七个数分别填入右图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等.

分析：

所有的数都是重叠数，中心数重叠两次，其它数重叠一次.所以三条边及两个圆周上的所有数之和为：

（1＋2＋…＋7）×2＋中心数＝56＋中心数.

因为每条边及每个圆周上的三数之和都相等，所以这个和应该是5的倍数，再由中心数在1至7之间，所以中心数是4.每条边及每个圆周上的三数之和等于（56＋4）÷5＝12.中心数是4，每边其余两数之和是12-4=8，两数之和是8的有1，7；2，6；3，5.于是得到右下图的填法.

【复习3】在右图所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字。

如果：

巧+解+数+字+谜=30，那么“数字谜”所代表的三位数是多少？

分析：

还是先看个位，5个“谜”相加的结果个位还是等于“谜”，“谜”必定是5（0显然可以排除）；接着看十位，四个“字”相加再加上进位2，结果尾数还是“字”，那说明“字”只能是6；再看百位，三个“数”相加再加上进位2，结果尾数还是“数”，“数”可能是4或9；再看千位，

（1）如果“数”为4，两个“解”相加再加上进位1，结果尾数还是“解”，那说明“解”只能是9；5+6+4+9=24，30-24=6，“巧”等于6与“字”等于6重复，不能；

（2）如果“数”为9，两个“解”相加再加上进位2，结果尾数还是“解”，那说明“解”只能是8；5+6+9+8=28，30-28=2，可以.所以“数字谜”代表的三位数是965.

数阵图

数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵.幻方是特殊的数阵图，一般地，将九个不同的数填在3×3（即三行三列）的方格中，使每行、每列、及二条对角线上的三数之和均相等，这样的3×3的数阵阵列称为三阶幻方.n阶幻方的定义与三阶幻方相仿！

【例1】

（1）将九个数填入下图

（1）的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定数k，则中心方格中的数必为

.请你说明理由！

（2）将九个数填入下图

（2）的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则一定有：

.请你说明理由！

（3）将九个数填入下图（3）的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则一定有：

.请你说明理由！

分析：

（1）因为每行的三数之和都等于k，共有三行，所以九个数之和等于3k.如右下图所示，经过中心方格的有四条虚线，每条虚线上的三个数之和都等于k，四条虚线上的所有数之和等于4k，其中只有中心方格中的数是“重叠数”，九个数各被计算一次后，它又被重复计算了三次.所以有：

九数之和+中心方格中的数×3=4k，

3k+中心方格中的数×3=4k，中心方格中的数=

（2）和=3e，a+e+b=和=3e，所以a+b=2e，即得：

.

（3）设中心数为d.每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d.由此可得右图，那么有：

c+（2d-b）=a+（2d-c），由此可得：

.

值得注意的是，这个结论对于a和b并没有什么限制，可以是自然数，也可以是分数、小数；可以相同，也可以不同.

【巩固】在右图的空格中填入七个自然数，使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90.

分析：

中心数为90÷3＝30；右上角的数为（23＋57）÷2＝40，

其它数依次可填（见右下图）.

【巩固】在下图的每个空格中填入个自然数，使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等.

分析：

右下角的数为（8＋10）÷2=9，中心数为（5＋9）÷2=7，且每行、每列、每条对角线上的三数之和都等于7×3=21.由此可得右下图

的填法.

【巩固】图中3×3的正方形的每一个方格内的字母都代表一个数，已知其每行、每列以及两条对角线上三个数之和都相等．若f=19，g=96．那么b是多少？

分析：

我们知道：

g=（b+f）÷2，易得b=173.

【例2】在右图的每个空格中，填入不大于12且互不相同的八个自然数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21.

分析：

中央一数必定是21÷3=7．从而一条对角线为8，7，6．另两个角上的数，和为14=2＋12=3＋11=4＋10=5＋9，不难验证只有3、11与4、10两种符合要求．于是填法有：

【巩固】

在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21.

分析：

【例3】将1，3，5，7，9，11，13，15，17填入3×3的方格内，使其构成一个幻方.

分析：

（法1）：

易得中心数为9，然后将剩余那么其余8个数分为4组，每组两个数的和是18，把它们分别填入图中关于中心格对称的格子内，实验可得结果，如右图.答案不唯一，仅供参考.

（法2）：

其实会学习的小朋友就知道理利用已经学习过的一些典型题目结果加以变形得到新题答案.事实上我们可以把结果中的幻方看作是1～9填图的幻方相应位置数字乘2减1得来的.推广开来可以知道等差数列填图的三阶幻方几乎都具有相似的

形式.

【前铺】将自然数1至9，分别填在右图的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等.

分析：

（法1）：

三行的总和=1＋2＋3＋4＋…＋9=45，所以每行三个数的和是45÷3=15，所以E代表15÷3=5，由于在同一条直线的三个数之和是15，因此若某格中的数是奇数，那么与这个数在同一条直线上的另两个数的奇偶性相同.

因此，四个角上的数A、C、G、I必为偶数.（否则，若A为奇数，则I为奇数.此时若B为奇数，则其余所有格亦为奇数；若B为偶数，则其余所有格亦为偶数.无论哪种情形，都与1至9中有5个奇数，4个偶数这一事实矛盾.）

　　因此，B、D、F、H为奇数.我们不妨认为A=2（否则，可把3×3方格绕中心块旋转即能做到这一点）.此时I=8.此时有两种选择：

C=4或G=4.因而，G=6或C=6.其他格的数随之而定.如果把经过中心块旋转而能完全重合的两种填数法视作一种的话，一共只有两种不同的填数法：

A=2，C=4或A=Z，G=4（2，4被确定位置后，其他数的位置随之而定）.

（法2）：

从法1知道中心数为5，那么其余8个数分为4组，每组两个数的和是10，把它们分别填入图中关于中心格对称的格子内，实验可得结果.这种试填的方法更易让学生接受.

【拓展】如图

（1）的3×3的阵列中填入了l～9的自然数，构成大家熟知的3阶幻方.现在另有一个3×3的阵列,如图

（2），请选择9个不同自然数填人9个方格中，使得其中最大者为20，最小者大于5，且要求横加、竖加、对角线方式相加的3个数之和都相等.

分析：

①观察原表中的各数是从1～9不同的九个自然数，其中最大的数是9，最小的数是1，且横加、竖加、对角线方式相加结果相等.

　　②根据题意，要求新制的幻方最大数为20，而9+11=20，因此，如果原表中的各数都增加11，就能符合新表中的条件了.

【例4】

右图是一个四阶幻方，请将其补全：

分析：

根据各行，各列，各对角线和相等为34，可得图

（1），此时我们可以设未知数，如图

（2），将一些数表示出来，进而根据和为34求得x代表9，随后得到答案，如图（3）.

【拓展】

在图中所示方格表的每个方格内填入—个恰当的字母；可使每行、每列及两条对角线上4个方格中字母都是A、B、C、D，那么标有“＊”的方格内应填的字母是什么？

分析：

考虑含A和＊的对角线上的元素．第二行第二个元素与C同行，因此不是C，第三行第三个元素与C同列，因此也不是C，所以＊代表的元素必为C．

【巩固】在右图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1，2，3，4.

分析：

如下图所示，受列及对角线的限制，a处只能填1，从而b处填3；进而推知c处填4，d处填3，e处填4，……右下图为填好后的数阵图.

【例5】右图是大家都熟悉的奥林匹克的五环标志.请将1～9分别填入五个圆相互分割的九个部分，并且使每个圆环内的数字之和都相等.

分析：

设每个圆内的数字之和为k，则五个圆内的数字之和是5k，它等于1～9的和45，再加上两两重叠处的四个数之和.而两两重叠处的四个数之和最小是1＋2＋3＋4＝10，最大是6＋7＋8＋9＝30，所以，5k≤45＋30＝75且5k≥45＋10＝55，即11≤k≤15.

　　当k＝11，13，14时可得四种填法（见下图），k＝12，15时无解.

【前铺】将1～11填入左下图的○内，使每条虚线上的三数之和都等于18.

分析：

设中心数为a，由五条虚线上的数字之和得到5×18=（1+2+…+11）+4a，解得a=6.填数方法如下图.

【例6】将1～7这七个自然数分别填入右图的七个○内，使得三个大圆周上的四个数之和都等于定数，指出这个定数所有的可能取值，并给出定数为13时的一种填法.

分析：

设每个大圆周上的四个数之和为k（即题中的定数）.图中有一个○属于三个大圆公有，有三个○各属于两个大圆公有.设属于三个大圆公有的○内的数为w，属于两个大圆公有的三个○内的数字之和为v.

将三个大圆上的数字和相加，得到：

3k＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋v＋2w＝28＋v＋2w，因为v＋2w最小为11（w＝1，v＝2＋3＋4），最大为29（w＝7，v＝6＋5＋4），分别代入上式，解得13≤k≤19，即定数可以取13至19之间的整数.本题是k＝13的情况，此时w＝1，v＝2＋3＋4，填法见右下图.

【例7】

在右图所示立方体的八个顶点上标出1～9中的八个，使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k，并且k不能被未标出的数整除.

分析：

标出的八个数是每面四个数和的2倍，是偶数，1～9和为45，因此未标出的数是一个奇数，在1，3，5，7，9中选一个数，并使余下八个数之和的一半不能被这个数整除，依此可知未标出的数是7.

下面用余下的8个数填图，每面四个数和为：

（45-7）÷2=19.如果已知某一面上四个数和为19.那么与其平行的面上四数和也必为19.因此我们只考虑有公共顶点的三个面即可.下面我们考虑以9为公共顶点的三个面.由于8，9不公面，因此8在顶点9的对顶点上，有公共点9的三个面上，每面其余三个数和为10，且每两个面有一个公共顶点.由此试验易得三个面上的数分别为：

（6，3，1），（5，4，1），（3，2，5），填图如右下图.

数字谜

【例8】将0～9中的8个不同的数字分别用a、b、c、d、e、f、g、h替换．在替换规则下：

g×g=

，g×c=

，g×f=

，

，如上面4个式子中，“+”、“×”、“=与平常算术中相应的符号意义相同，而且也是十进位制．在这种替换规则下，

的数值等于.

分析：

由g×g=

知，g≥4．

若g=4，d=1，与g×c=

是偶数矛盾；

若g=5，则d=2，b=5，与g≠b矛盾；

若g=6，则d=3，b=6，与g≠b矛盾；

若g=7，则d=4，b=9，由g×c=

=94,得到c=4÷7=

也不合题意；

若g=8，则d=6，b=4，由g×c=

46，得到c=46÷8=

，仍不合题意；

若g=9，则d=8，b=1，由g×c=

=18，得到c=18÷9=2，再由g×

f=

f=5，e=4，再由

得a=e-1=3.所以

.

【例9】在下面的加法算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．请把下面汉字算式翻译成数字算式．

分析：

首先“华”=1．由于“人”≠“华”，故“人”只能是0．从百位看出.百位没有向千位进位，即有“香”=9．

看百位，知“回”比“港”大1；再看十位，可知“爱”=8，并且个位要向十位进位，即“归”+“港”=10+“游”．

因为“游”≠0，1，知“游”≥2，即“归”+“港”≥12．又“归”≠8，9，知“归”≤7，从而“港”≥5．同样，“归”也不小于5，并且由于“回”比“港”大1，知“归”、“港”、“回”应该是5，6，7（次序未确定）．容易验证，只有“归”=7，“港”=5，“回”=6符合条件，此时“游”=2，即算式为：

9567+1085=10652.

【巩固】在下面的算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”代表1，2，3，4，5，6，7，8，9中的7个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立．则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于多少？

分析：

根据加法规则，“第”=1．“届”+“赛”=6或“届”+“赛”=16．

若“届”+“赛”=6，只能是“届”、“赛”分别等于2或4，此时“一”+“杯”=10只能是“一”、“杯”分别为3或7．此时“十”+“华”=9，“十”、“华’’分别只能取（1，8），（2，7），（3，6），（4，5）．但l，2，3，4均已被取用，不能再取．所以，“届”+“赛”=6填不出来，只能是“届”+“赛”=16．这时“届”、“赛”只能分别取9和7．这时只能是“一”+“杯”+1=10，且“十”+“华”+1=10，也就是“一”+“杯”=9，同时“十”+“华”=9．所以它们可以分别在（3，6），（4，5）两组中取值．

因此“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于1+9+9+16=35．

【例10】在右面的□内，各填一个合适的数字，使算式成立．

分析：

从被乘数个位上的□里填什么数字入手及竖式中□×6=（）4，是本题的突破口．这里有两种情况：

4×6=24或9×6=54，都可使□×6=（）4成立．也就是说，被乘数个位上的数字可能是4，也可能是9．

先考虑被乘数个位上的数字是9的可能性，因为在乘数十位上找不出任何数字与9相乘得“整十数”，所以被乘数个位上的数字不可能是9．

如果被乘数个位上的数字是4，很容易推出乘数十位上的数字应是5，才能与4相乘得“整十数”．

由被乘数乘以乘数十位上的5得270，也很容易推出被乘数十位上的数字是5，进而可推出其它各数字．

【巩固】在□内填入适当的数字，使下列乘法竖式成立：

分析：

（1）17×64=1088；

（2）5283×39=206037；

（3）734×619=454346，被乘数是6606和4404的三位数的公约数.

【例11】□内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使商尽可能小：

分析：

由右式知d=8，所以c=3或8.当a=2时，由bc×a=□5□,推出c不等于3，所以c=8，故推出b=7;因为除数是两位数，它与商的各个数位的乘积都是三位数，所以商的最小可能值为262。

【巩固】右式中不同的汉字代表1～9中不同的数字，当算式成立时，“中国”这两个汉字所代表的两位数最大是多少?

分析：

显然，“新”=9．因为要使“中国”尽量大，所以可以假定“中”=8．因为十位加法（含个位加法进位）等于20，所以“北+奥”在1～7中的取值有三种可能：

7，5；7，4；6，5．再考虑到“国+京+运”的个位数是8，经试算，只有“北”、“奥”等于7，5，“国”、“京”、“运”等于1，3，4．“国”取l，3，4中最大的4，得到“中国”最大是84．

附加题目

【附1】求任一列、任一行以及两条对角线上的三个数之和都等于267的三阶质数幻方.

分析：

在3×3的方格中，如果要求填入九个互不相同的质数，要求任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，那么这样填好的图称为三阶质数幻方.中间方格中的数为267÷3＝89.由于在两条对角线、中间一行及中间一列这四组数中，每组的三个数中都有89，所以每组的其余两数之和必为267-89＝178.两个质数之和为178的共有六组：

5+173＝11＋167＝29＋149＝41＋137＝47+131＝71+107.

　　经试验，可得右图所示的三阶质数幻方.

【附2】将自然数1～11填入下图的11个○中，使得每条直线（共10条）上的三个数字之和都相等.

分析：

左下角的数属于5条直线共有，对角线上中间的数属于4条直线共有，其余数只属于2条或3条直线，所以左下角的数和对角线上中间的数处于特殊地位，应当首先确定这两个数以及每条直线上三数之和.

　　设每条直线上三数之和为k.

由图

（1）中5条实线上所有数字之和，可列方程：

5k=（1+2+…+11）+4a，即

；因为k是整数，所以a只能取1，6或11；

再由图

（2）中四条实线上所有数字之和，可列方程：

4k=（1+2=…+11）+a,即

.得到a只能取2，6或10.综合以上讨论知a＝6，k＝18.

　　在图（3）中的5条实线中，只有b属于3条实线共有.注意到这5条实线上的数字没有6，在剩下的十个数字中，三个数的和等于18的共有以下八组：

3＋4＋11；1＋8＋9；1＋7＋10；3＋5＋10；2＋7＋9；2＋5＋11；3＋7＋8；4＋5＋9，其中同时出现在三个算式中的数只有3和9，所以b只可能是3或9，此时c等于9或3.由同时含有3的三个算式知，若b＝3，c＝9，则d，e只能取4，11或5，10或7，8，由于每条直线上的三个数之和为18，且c＝9，故d，e不能等于10或11，所以d，e只能取7，8.由此可得左下图中的答案.

　　同理，若b＝9，c＝3，则可得右下图的另一答案..

【附3】右图中大三角形被分成九个小三角形，大三角形的每条边都与其中五个小三角形有公共点，试将1～9九个自然数分别填入这九个小三角形内，使得每条边上的五个小三角形内的数字之和都相等.问这个和最小值是多少？

最大值是多少？

分析：

1～9和为45.设3个只属于一条边的数的和为k，

则每条边上五个数和为：

（45×2-k）÷3=30-

.

K最小时，取k=1+2+3=6，一边上的和为：

30-

×6=28；

K最大时，取k=7+8+9=24，一边上的和为：

30-

×24=22，因此这个和最大为28，最小为22.

【附4】在1～13这十三个自然数中选十二个填在图中的空格内，使每横行四数之和相等，每数列三数之和相等.

分析：

由和的整除性质，首先确定使用哪十二个数填图．由于每横行四数之和相等．每竖行三数之和相等知十二个数之和既是3的倍数也是4的倍数，因此是12的倍数，由此可知不用填图的数字是7，所选十二个数和为：

[（1+13）×13÷2]-7=84，每横行四个数和为：

84÷3=28，每竖行三个数和为：

84÷4=21．由于竖行和为21，因此可知1，2，3，4在不同竖行，而5只能跟3或4在同一竖行，由此可确定竖行分组有如下两种情况：

（1，8，12），（2，9，10），（3，5，13），（4，6，11）或（1，9，11），（2，6，13），（3，8，10），（4，5，12）．再根据横行和为28，易得如下结果：

【附5】右面算式

（1）中，相同的汉字表示相同的数，不同的汉字表示不同的数，其中“新”>4．清补残缺的数字，那么“新年好”代表的数字是.

分析：

“新年好”代表的数字是691．如右下式，“新”

一定小于7，否则A是2大了，是l又小了．不论“新”，是5或6，由于乘法第一行首位是“新”，一定有B=9．如果“新”=5，第二行百位是4，A无合适的值，因此“新”=6，而A=2．“年”≥7，对7，8，9三数算一下可知，只有“年”=9合适，如式（3）所示．

【附6】右面式中每个口表示一个数字，那么乘积是.

分析：

如右下式，显然E=1．由

×C=口5口5知，B、C中一个是5，另一个是奇数．若C=5，乘积的百位不可能是5，所以B=5．因为B=5，所以G=5或0．若G=5，则F=9，从而A=9，即

=695，但695×C不可能得到

口5口5，不合题意；若G=0，则F=4，从而A=4，即

=645，

由645×C=口5口5，得到C=7．因为B=5，G=0，所以D是偶数．

由

□□5□4□，得D=2，

原算式为645×721=465045．

练习

1．在左下图的每个空格中填入一个数字，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等.

分析：

利用

结论可以知道，中间数=6，和=18，进而得到答案.

2．用2，4，6，12，14，16，22，24，26九个偶数编制一个幻方.

分析：

答案如右图.

3．在下列各图的每个方格中都填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的四个数字都是1，2，3，4.

分析：

4．下面是三个数的加法算式，每个口内有一个数字，则三个加数中最大的是.

分析：

由和的个位数字是1知，第二个加数的个位数字是9；由和的十位数字是1知，三个加数的十位数字的和是10，百位数字的和也是10，于是知道第

二个加数的百位数字是8，即三个加数中最大的是819．

5．右面式中不同的汉字代表不同的数字，问：

“

”表示的四

位数是多少?

分析：

由积的千位数知“数”=1，由积的十位数知“学”=0，由积的百位数知“玩”=9．竖式化简为下式．

容易求得：

“真”=2，“好”=8，“啊”=6．所以，“数学好玩”=1089．