初等数学总结.docx

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初等数学总结

数学,字面上看就是数的学问,但这个概念早已经过时了,只是数学起源于数罢了.

数学:

纯运动,这个世界的秘密所在.

抽象:

从运动体中抽出一些运动.

（抽象出的运动不会独立存在,但它是存在的,抽象不是幻象）

逻辑:

1.抽象出的有规律的运动

2.特指对脑运动抽象出的运动（概念、判断、推理）

现代数学三大基础科目:

代数、几何、分析数学

也分初等数学（小学、中学）高等数学（大学）

高等数学包括：

微积分，高等代数，概率论与数理统计

代数分为：

初等代数：

以方程为基础的有限元次的代数

高等代数包括：

线性代数、多项式代数

第一章数

1．数的分类及概念

N自然数Z整数Q有理数R实数C复数

自然数：

表示物体的个数

无理数：

无限不循小数

数轴上所有的数为实数

数学上并没有给出负数的表示符号,只是用正数的相反数作为标记.“－”只表示相反,而不是表示负数,负数就没有标记.

2．非负数：

正实数与零的统称。

（表为：

x≥0）

3．倒数两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数

4．相反数任意的一个实数a，它的相反数是-a

5．数轴：

①定义（“三要素”）原点、正方向、单位长度

②作用：

A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）

定义及表示：

奇数：

不能被除数整除的自然数2n+1

偶数：

能被除数整除的自然数2n（n为自然数）

整除是数学中两个自然数（不包括0）之间的一种关系

a/b为整数，a能被b整除

约数：

a、b为自然数a能被b整除，则b为a的约数

倍数：

a、b为自然数a能被b整除，则a为b的倍数

质数：

约数只有1和其本身的自然数

合数：

约数不只1和其本身的自然数

1既不是质数也不是合数

公约数：

几个数共有的约数（有限个，既有最大也有最小）

公倍数：

几个数共有的倍数（无限个，只有最小公倍数）

互质数：

两个数公约数只有1

质因子：

每个自然数都可分解为若干个质数相乘

分解质数叫被分解自然数的质因子

最简分数：

分子分母互质

真分数：

分子比分母小假分数相反

通分：

把几个单位不同的分数化成相同单位（大小不变）

约分：

把一个分数化成与它相等的分子分母较小的分数

7．绝对值：

①定义

几何定义：

数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。

②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;

③数a的绝对值只有一个;

④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。

8.因数亦称“因子”。

一整数被另一整数整除,后者即是前者的因数,如1,2,4都为8的因数

二、实数的运算

1．运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）

求n个相同因数a的积的的运算,叫作乘方,记作an,a为底数,n为指数,an叫幂.

①a＞0时，an＞0;②a＜0时，an＞0（n是偶数），an＜0（n是奇数）

⑵零指数：

a0=1（a≠0）

负整指数：

a-p=1/ap（a≠0,p是正整数）

xn=a，则x叫做a的n次方根，记作n√a＝x，n√a叫做根式。

在根式n√a中，n叫做根指数，a叫做被开方数，“√”叫做根号。

幂的运算性质

1﹥知识结构

2﹥知识要点

（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即

（2）幂的乘方，底数不变，指数相乘，即

（3）积的乘方，等于每个因式分别乘方，即

（4）同底数幂相除，底数不变，指数相减，即

（a≠0）

（5）零指数和负指数：

规定a0=1，a-p=1/ap（其中a≠0，p为正整数）（其中，m、n均为整数）

2．运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]

分配律）

3．运算顺序：

A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左”

到“右”（如5÷×5）;C.（有括号时）由“小”到“中”到“大”。

4.科学计数法:

用10的幂的形式，有时可以方便的表示日常生活中遇到的一些较大的数例如:

3×108

有效数字:

有效数字是指从左面数不为0的数

第二章代数式

一、重要概念

1.代数式与有理式

用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

单独的一个数或字母也是代数式。

代数式包括有理式和无理式，有理式包括整式和分式，整式包括单独的数或字母

2.整式和分式

含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

无理式含有根式且根式中有字母的代数式。

没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

整式和分式统称为有理式。

3.单项式与多项式

没有加减运算的整式叫做单项式。

（数字与字母的积—包括单独的一个数或字母）

几个单项式的和，叫做多项式。

说明：

①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。

②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。

4.系数与指数

区别与联系：

①从位置上看;②从表示的意义上看

5.同类项及其合并

所含字母（准确地说，是自变量）相同,并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项。

几个常数项也是同类项

条件：

①字母相同;②相同字母的指数相同

合并依据：

乘法分配律

6.根式

表示方根的代数式叫做根式。

含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。

注意：

①从外形上判断;②区别：

sqrt2是根式，但不是无理式（是无理数）。

7.算术平方根

平方根就是数字开跟号所得的数.有正负区分.

算数平方根就是平方根的绝对值.是正数

正数a的正的平方根

8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化

（1）式子√ā（a≥0）叫做_二次根式_，（与必是非负数）.

（2）最简二次根式的条件是_：

（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因式。

（3）化成最简二次根式后，被开方数相同。

这样的二次根式_叫做同类二次根式.

（4）两个含有根式的代数式相乘,如果它们的积不含有根式,那末这两个代数式_叫做互为有理化因式.

（5）通过适当的变形化去代数式分母中根号的运算_叫做分母有理化.

满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：

（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

9．分式的性质

（1）基本性质：

分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变

（2）繁分式：

分式的分子或分母含有分式,称这个分式为繁分式

10．乘法公式：

平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）

完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2和（a-b）2=a2-2ab+b2

立方和公式：

a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；

立方差公式：

a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）；

完全立方公式：

a3+3a2b＋3ab2+b3=（a+b）3

a3-3a2b＋3ab2-b3=（a-b）3

11．因式分解：

把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也作分解因式。

A.提公因式法;

B.公式法;

C.十字相乘法;

　　①x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．

　　②kx2+mx+n型的式子的因式分解

如果如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=（ax+b）（cx+d）．

D.分组分解法;

E.求根公式法。

例如在分解2x4+7x3-2x2-13x+6时，令2x4+7x3-2x2-13x+6=0，则通过综合除法可知，该方程的根为0.5，-3，-2，1．

　　所以2x4+7x3-2x2-13x+6=（2x-1）（x+3）（x+2）（x-1）．

多项式因式分解的一般步骤：

　　①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

　　②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

　　③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；

　　④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

第三章方程（组）

一、基本概念

带有未知数的等式

根为符合等式的值,解为符合等式且在定义域内的值.

二、解方程的依据—等式性质

1．a=b←→a+c=b+c

2．a=b←→ac=bc（c≠0）

三、解法

1．一元一次方程的解法：

去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化成1→解。

2．二元一次方程组的解法：

⑴基本思想：

“消元”⑵方法：

①代入法②加减法

四、一元二次方程

1．定义及一般形式：

2．解法：

⑴直接开平方法（注意特征）

⑵配方法（注意步骤—推倒求根公式）

⑶公式法：

⑷因式分解法（特征：

左边=0）

3．根的判别式：

△=b2-4ac（读做delta）

（1）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；

（2）当△＝0时，方程有两个相等的实数根；

　　（3）当△＜0时，方程没有实数根．

（1）和

（2）合起来：

当△≥0时，方程有两实数根．

4．根与系数顶的关系：

韦达定律，主要用于一元二次方程，它揭示了根与系数的关系。

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0且△=b2-4ac≥0）中两个根为X1和X2则X1+X2=-b/a;X1*X2=c/a

x=（-b±√（b2-4ac））/2a

配方法：

1.化二次系数为1.

x2+（b/a）x+c/a=0

2两边同时加上一次项系数一半的平方；

x2+（b/a）x+（b/2a）2=（b/2a）2-c/a

3用直接开平方法求解.

{x+（b/2a）}2=（b2-4ac）/4a2

当b2-4ac>=0（a>0）时

x+b/2a＝+-根号下{（b2-4ac）/4a2}

x=-b/2a+-根号下{（b2-4ac）/4a2}=-b+-根号下b2-4ac/2a

若b=0，方程有两个互为相反数实根.

若c=0，方程有一根为零.

四、可化为一元二次方程的方程

1．分式方程

2．无理方程

3．简单的二元二次方程组

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。

五、列方程（组）解应用题

一概述

列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。

其具体步骤是：

⑴审题。

理解题意。

弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

⑵设元（未知数）。

①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。

一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。

一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程及检验。

⑹答案。

综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。

在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。

因此，列方程是解应用题的关键。

第四章统计初步

统计的特点是用样本的特征数去估计总体的情况。

一、重要概念

1.总体：

考察对象的全体。

2.个体：

总体中每一个考察对象。

3.样本：

从总体中抽出的一部分个体。

4.样本容量：

样本中个体的数目。

5.众数：

一组数据中，出现次数最多的数据。

6.中位数：

将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数据的平均数）

二、计算方法

1.样本平均数：

所给出的样本的总和除以样本的个数得出的值.通常用样本平均数去估计总体平均数，样本容量越大，估计越准确。

2．样本方差：

样本中各数据与样本平均数的差的平方的平均数叫做样本方差.样本方差是刻划数据的离散程度（波动大小）的特征数，当样本容量较大时，样本方差非常接近总体方差，通常用样本方差去估计总体方差。

3．样本标准差：

样本方差的算术平方根叫做样本标准差。

样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。

第五章函数及其图象

虽然函数形式上是定量代数的深化,但函数思想却是起源于解析几何.解析几何只是函数运用的一小部分,是函数与几何的结合应用,人们为了解决空间问题而产生解析几何,后从解析几何中剖离出函数.（函数的精华就在于变量）

函数的定义：

设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作y=f（x）.

（函数应属于代数,分析数学是建立在函数基础之上的分析极限的数学）

函数的三要素，即定义域、值域和对应法则

一、平面直角坐标系

1．各象限内点的坐标的特点

2．坐标轴上点的坐标的特点

3．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点

4．坐标平面内点与有序实数对的对应关系

二、函数

1．表示方法：

⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法。

（1）解析法：

就是把两个变量函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。

优点：

函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质。

（2）列表法：

用列出表格来表示两个变量的函数关系。

如：

平方表、平方根表、三角函数表、利息表等。

优点：

不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值。

（3）图象法：

利用函数的图象表示两个变量的函数关系。

如：

股票图示、气象台应用的自动记录器等。

优点：

直观形象地表示出函数的变化情况。

2．确定自变量取值范围的原则：

⑴使代数式有意义;⑵使实际问题有意义。

3．画函数图象：

⑴列表（选几点列出X,Y的值）;⑵描点;⑶连线。

三、几种特殊函数

（定义→图象→性质）

1．正比例函数（两个变量的比为一定值K,这两个变量为正比例关系）

⑴定义：

y=kx（k≠0）或y/x=k。

⑵图象：

直线（过原点）

⑶性质：

①k>0，…②k<0，…

2．一次函数

⑴定义：

y=kx+b（k≠0）

⑵图象：

直线过点（0,b）—与y轴的交点和（-b/k,0）—与x轴的交点。

⑶性质：

①k>0,…②k<0,…

⑷图象的四种情况：

3．二次函数

定义与定义表达式

　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

　　y=ax^2+bx+c

　　（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。

IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。

）

　　则称y为x的二次函数。

　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

　　x是自变量，y是x的函数

编辑本段二次函数的三种表达式

　　①一般式：

y=ax^2+bx+c（a,b,c为常数,a≠0）

　　②顶点式[抛物线的顶点P（h，k）]：

y=a（x-h）^2+k

　　③交点式[仅限于与x轴有交点A（x1,0）和B（x2,0）的抛物线]：

y=a（x-x1）（x-x2）

　　以上3种形式可进行如下转化：

　　①一般式和顶点式的关系

　　对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为（-b/2a,（4ac-b^2）/4a），即

　　h=-b/2a=（x1+x2）/2

　　k=（4ac-b^2）/4a

　　②一般式和交点式的关系

　　x1,x2=[-b±√（b^2-4ac）]/2a（即一元二次方程求根公式）

编辑本段二次函数的图像

　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，

　　可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

编辑本段抛物线的性质

　　1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为P（-b/2a，（4ac-b^2）/4a）

　　当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则抛物线的开口越小。

　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

　　当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

　　抛物线与y轴交于（0，c）

　　6.抛物线与x轴交点个数

　　Δ=b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

　　Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

　　_______

　　Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

X的取值是虚数（x=-b±√b^2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

　　当a>0时，函数在x=-b/2a处取得最小值f（-b/2a）=4ac-b^2/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变

　　当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c（a≠0）

　　7.定义域：

R

　　值域：

（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[（4ac-b^2）/4a，正无穷）；②[t，正无穷）

　　奇偶性：

偶函数

　　周期性：

无

　　解析式：

　　①y=ax^2+bx+c[一般式]

　　⑴a≠0

　　⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；

　　⑶极值点：

（-b/2a，（4ac-b^2）/4a）；

　　⑷Δ=b^2-4ac,

　　Δ＞0，图象与x轴交于两点：

　　（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；

　　Δ＝0，图象与x轴交于一点：

　　（-b/2a，0）；

　　Δ＜0，图象与x轴无交点；

　　②y=a（x-h）^2+t[配方式]

　　此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=（4ac-b^2）/4a）；

编辑本段二次函数与一元二次方程

　　特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，

　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），

　　即ax^2+bx+c=0

　　此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

　　1．二次函数y=ax^2，y=a（x-h）^2，y=a（x-h）^2+k，y=ax^2+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

　　解析式

　　y=ax^2

　　y=a（x-h）^2

　　y=a（x-h）^2+k

　　y=ax^2+bx+c

　　顶点坐标

　　（0，0）

　　（h，0）

　　（h，k）

　　（-b/2a，sqrt[4ac-b^2]/4a）

　　对称轴

　　x=0

　　x=h

　　x=h

　　x=-b/2a

　　当h>0时，y=a（x-h）^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，

　　当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．

　　当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a（x-h）^2+k的图象；

　　当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）^2+k的图象；

　　当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a（x-h）^2+k的图象；

　　当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）^2+k的图象；

　　因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a（x-h）^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．

　　2．抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象：

当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是（-b/2a，[4ac-b^2]/4a）．

　　3．抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0），若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小．

　　4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

（1）图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；

（2）当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A（x?

，0）和B（x?

，0），其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

　　（a≠0）的两根．这两点间的距离AB=|x?

-x?

|另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A|（A为其中一点的横坐标）

　　当△=0．图象与x轴只有一个交点；

　　当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．

　　5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：

如果a>0（a<0），则当x=-b/2a时，y最小（大）值=（4ac-b^2）/4a．

　　顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．

　　6．用待定系数法求二次函数的解析式

（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

　　y=ax^2+bx+c（a≠0）．

（2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：

y=a（x-h）^2+k（a≠0）．

　　（3）当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：

y=a（x-x?

）（x-x?

）（a≠0）．

7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。

因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．

第六章初等几何

点、线、面

点point是空间中的一个位置,它没有大小,通常用×或者·标出，用大写字母标明。

线line连续点组成线straightline直线

平面plane

1．线段、射线、直线三者的区别与联系

从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。

2．线段的中点及表示

3．直线、线段的基本性质（用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边”）

4．两点间的距离（三个距离：

点-点;点-线;线-线）

5．角angle（锐角直角钝角平角反角周角

）

6．互为余角、互为补角及表示方法

7．角的平分线及其表示

8．垂线及基本性质：

从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短

9．对顶角及性质

对顶