控制系统的状态空间模型.docx

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控制系统的状态空间模型

第一章控制系统的状态空间模型

1.1引言

工程系统正朝着更加复杂的方向发展，这主要是由于复杂的任务和高精度的要求所引起的。

一个复杂系统可能有多个输入和多个输出，并且以某种方式相互关联或耦合,可能是时变的。

由于需要满足控制系统性能提出的日益严格的要求，系统的复杂程度越来越大，为了分析这样的系统，必须简化其数学表达式，转而借助于计算机来进行各种大量而乏味的分析与计算,并且要求能够方便地用大型计算机对系统进行处理。

从这个观点来看，状态空间法对于系统分析是最适宜的。

大约从1960年升始发展起来。

这种新方法是建立在状态概念之上的。

状态本身并不是一个新概念，在很长一段时间内，它已经存在于古典动力学和其他一些领域中。

经典控制理论是建立在系统的输入-输出关系或传递函数的基础之上的，而现代控制理论以n个一阶微方程来描述系统，这些微分方程又组合成一个一阶向量-矩阵微分方程。

应用向量-矩阵表示方法，可极大地简化系统的数学表达式。

状态变量、输入或输出数目的增多并不增加方程的复杂性。

事实上，分析复杂的多输入-多输出系统，仅比分析用一阶纯量微分方程描述的系统在方法上稍复杂一些。

本课程将主要涉及控制系统的基于状态空间的描述、分析与设计。

本章将首先给出状态空间方法的描述部分。

将以单输入单输出系统为例，给出包括适用于多输入多输出或多变量系统在内的状态空间表达式的一般形式、线性多变量系统状态空间表达式的标准形式（相变量、对角线、Jordan、能控与能观测）、传递函数矩阵，以及利用MATLAB进行各种模型之间的相互转换。

第二章将讨论状态反馈控制系统的分析方法。

第三章将给出系统的稳定性分析。

第四章将给出几种主要的设计方法。

本章1.1节为控制系统状态空间分析的引言。

1.2节介绍状态空间描述1.3节讨论动态系统的状态空间表达式。

1.4状态空间表达式的标准形式。

1.5介绍系统矩阵的特征值基本性质.1.6讨论用MATLAB进行系统模型的转换问题。

1.2控制系统的状态空间描述

状态空间描述是60年代初，将力学中的相空间法引入到控制系统的研究中而形成的描述系统的方法，它是时域中最详细的描述方法。

特点：

1.给出了系统的内部结构信息.

2.形式上简洁,便于用数字计算机计算.

1.2.1状态的基本概念

在介绍现代控制理论之前，我们需要定义状态、状态变量、状态向量和状态空间。

状态：

动态系统的状态是系统的最小一组变量（称为状态变量），只要知道了在

时的一组变量和

时的输入量，就能够完全确定系统在任何时间

时的行为。

状态这个概念决不限于在物理系统中应用。

它还适用于生物学系统、经济学系统、社会学系统和其他一些系统。

状态变量：

动态系统的状态变量是确定动态系统状态的最小一组变量。

如果至少需要n个变量才能完全描述动态系统的行为（即一旦给出

时的输入量，并且给定

时的初始状态，就可以完全确定系统的未来状态），则这n个变量就是一组状态变量。

状态变量未必是物理上可测量的或可观察的量。

某些不代表物理量的变量，它们既不能

测量，又不能观察，但是却可以被选为状态变量。

这种在选择状态变量方面的自由性，是状态空间法的一个优点。

状态向量：

如果完全描述一个给定系统的行为需要n个状态变量，那么这n个状态变量可以看作是向量X的n个分量，该向量就称为状态向量。

状态向量是这样一种向量，一旦

时的状态给定，并且给出

时的输人

，则任意时间

时的系统状态

便使可以唯一地确定。

状态空间：

由n个状态变量

所张成的n维欧氏空间，称为状态空间。

任何状态都可以用状态空间中的一点来表示。

在状态空间分析中，涉及到三种类型的变量，它们包含在动态系统的模型中。

这三种变量是输入变量、输出变量和状态变量。

在后面的分析中我们将会看到，对于一个给定的系统，其状态空间表达式不是唯一的。

但是，对于同一系统的任何一种不同的状态空间表达式而言，其状态变量的数量是相同的。

动态系统的状态常常直接描述了系统中内部能量的分配.例如.通常选以下量作为状态变量:

位置（势能）,速度（动能）,电容电压（电能）和电感电流（磁能）.内部能量总可以通过状态变量计算出来.通过第二章的系统的分析知,可以把系统的状态与系统的输入和输出联系起来,并在系统的内部变量与外部输入和测量输出之间建立联系.相反,传递函数仅将输入和输出联系起来,没有给出系统的内部特性.状态形式保存了系统内部特性的信息,这一点有时是很重要的.

假设多输入、多输出n阶系统中,r个输入量为

和m个输出量

。

n个状态变量为

于是可以用下列方程描述系统:

（

输出方程为:

（

用向量形式描述,可写为:

状态方程:

（

输出方程:

（

其中

1.3根据系统微分方程建立状态空间表达式

1.不含作用函数导数项时n阶系统的状态空间表达式

（

选取状态变量:

得到:

即状态方程为：

（

输出方程为：

（

2.含作用函数导数项时n阶系统的状态空间表达式

（

方法一：

选取状态变量为

（

即

（

式中，

由下式确定：

（

（

（

（

方法二：

引入中间变量

令

（

并将原微分方程分解成如下两个方程：

选择系统的状态变量为：

（

得系统状态方程和输出方程

（

若

则有

写成矩阵形式

（

（

1.4状态空间表达式的标准形式

考虑由下式定义的系统：

（

式中u为输入，y为输出。

该式也可写为

（

下面给出由式（

1.4.1能控标准形

下列状态空间表达式为能控标准形：

（

（

1.4.2能观测标准形

下列状态空间表达式为能观测标准形：

1.4.3对角线标准形

考虑分母多项式中只含相异根的情况。

该系统的状态空间表达式的对角线标准形由下式确定：

1.4.4Jordan标准形

下面考虑分母多项式中含有重根的情况。

对此，必须将前面的对角线标准形修改为Jordan标准形。

例如，假设除了前3个相等外，其余极点相异。

于是Y（s）/U（s）因式分解后为：

该式的部分分式展开式为

该系统状态空间表达式的Jordan标准形由下式确定：

[例1.1]考虑由下式确定的系统：

试求其状态空间表达式之能控标准形、能观测标准形和对角线标准形。

解：

能控标准形为：

能观测标准形为：

对角线标准形为：

1.5系统矩阵的特征值的基本性质

n×n维系统矩阵A的特征值（特征根）是下列特征方程的根：

1.5.1n×n维系统矩阵的对角线化

如果一个具有相异特征值的n×n维矩阵A由下式给出：

作如下非奇异线性变换x=Pz，其中

称为范德蒙（Vandemone）矩阵，这里λ1，λ2，···，λn是系统矩阵A的n个相异特征值。

将P-1AP变换为对角线矩阵，即

P-1AP=

如果矩阵A含有重特征值，则不能将上述矩阵对角线化。

例如，3×3维矩阵

有特征值λ1，λ2，λ3作非奇异线性变换x=Sz，其中

得到

该式是一个Jordan标准形。

[例1.2]考虑下列系统的状态空间表达式：

可写为如下标准形式：

式中

矩阵A的特征值为：

λ1=－1，λ2=－2，λ3=－3

因此，这3个特征值相异。

如果作变换

或

x=Pz

定义一组新的状态变量z1、z2和z3，式中

P=

代入可得

将上式两端左乘P-1，得

或者

+

化简得，

这也是一个状态方程

输出方程可修改为：

y=CPz

或

注意：

由定义的变换矩阵P将z的系统矩阵转变为对角线矩阵。

由式可看出，3个纯量状态方程是解耦的。

注意矩阵P-1AP的对角线元素和矩阵A的3个特征值相同。

此处强调A和P-1AP的特征值相同，这一点非常重要。

下面我们将讨论线性变换下特征值的不变性。

1.5.2特征值的不变性

为证明线性变换下特性值的不变性，需证明|λI-A|和|λI–P-1AP|的特征多项式相同。

由于乘积的行列式等于各行列式的乘积，故

注意到行列式|P-1|和|P|的乘积等于乘积|P-1P|的行列式，从而

|λI-P-1AP|=|P-1P||λI-A|

=|λI-A|

这就证明了在线性变换下矩阵A的特征值是不变的。

1.5.3状态变量组的非唯一性

前面已阐述过，给定系统的状态变量组不是唯一的。

设

是一组状态变量，可取任意一组函数,

作为系统的另一组状态变量，这里假设对每一组变量

都对应于唯一的一组

的值。

反之亦然。

因此，如果x是一个状态向量，则

也是一个状态向量，这里假设变换矩阵P是非奇异的。

显然，这两个不同的状态向量都能表达同一系统之动态行为的同一信息。

1.6利用MATLAB进行系统模型之间的相互转换

本节将讨论系统模型由传递函数变换为状态方程，反之亦然。

MATLAB是相当有用的，我们首先讨论从传递函数向状态方程的变换。

将闭环传递函数写为

当有了这一传递函数表达式后，使用如下MATLAB命令：

将会给出状态空间表达式。

应着重强调，任何系统的状态空间表达式都不是唯一的。

对于同一系统，可有许多个（无穷多个）状态空间表达式。

上述MATLAB命令仅给出了一种可能的状态空间表达式。

1.6.1传递函数系统的状态空间表达式

考虑以下传递函数

对该系统，有多个（无穷多个）可能的状态空间表达式，其中一种可能的状态空间表达式为：

另外一种可能的状态空间表达式（在无穷个中）为：

MATLAB将式（，MATLABProgram1-1将产生矩阵A、B、C和D。

MATLABProgram1-1

Num=[0010];

Den=[11456160];

[A,B,C,D]=tf2ss（num,den）

A=

-14-56-160

100

010

B=

1

0

0

C=

010

D=

0

1.6.2由状态空间表达式到传递函数的变换

为了从状态空间方程得到传递函数，采用以下命令：

对多输入的系统，必须具体化iu。

例如，如果系统有3个输入

，则iu必须为1、2或3中的一个，其中1表示u1,2表示u2,3表示u3。

如果系统只有一个输入，则可采用

或

[例1.3]试求下列状态方程所定义的系统的传递函数。

MATLABProgram1-2将产生给定系统的传递函数。

所得传递函数为：

MTLABProgram1-2

A=[010;001;-5-25-5];

B=[0;25;-120];

C=[100];

D=[0];

[num,den]=ss2tf（A,B,C,D）

num=

0-0.000025.00005.0000

den=

1.00005.000025.00005.0000

%*****Thesameresultcanbeobtainedbyenteringthefollowingcommand*****

[num,den]=ss2tf（A,B,C,D,1）

num=

0-0.000025.00005.0000

den=

1.00005.000025.00005.0000

[例1.4]考虑一个多输入-多输出系统。

当系统输出多于一个时，MATLAB命令：

[NUM，den]=ss2tf（A,B,C,D,iu）

对每个输入产生所有输出的传递函数（分子系数转变为具有与输出相同行的矩阵NUM）。

考虑由下式定义的系统：

该系统有两个输入和两个输出，包括4个传递函数：

Y1（s）/U1（s）、Y2（s）/U1（s）、Y1（s）/U2（s）和Y2（s）/U2（s）（当考虑输入u1时，可设u2为零。

反之亦然）。

解：

MATLABProgram1-3将会产生出四个传递函数：

MATLABProgram1-3

A=[01；-25-4]；

B=[11；01]；

C=[10；01]；

D=[00；00]

[NUM,den]=ss2tf（A,B,C,D,1）

NUM=

014

00-25

den=

1425

[NUM,den]=ss2tf（A,B,C,D,2）

NUM=

01.00005.0000

01.0000-25.000

den=

1425

以上就是下列4个传递函数的MATLAB表达式：

习题

1.1考虑以下系统的传递函数：

试求该系统状态空间表达式的能控标准形和可观测标准形。

1.2考虑由下式定义的系统：

式中

试将该系统的状态空间表达式变换为能控标准形。

1.3考虑由下式定义的系统：

式中

试求其传递函数Y（s）/U（s）。

1.4考虑下列矩阵：

试求矩阵A的特征值λ1,λ2,λ3和λ4。

再求变换矩阵P，使得