高考数学考点测试2命题及其关系.docx
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高考数学考点测试2命题及其关系
考点测试2 命题及其关系、充分条件与必要条件
高考概览
考纲研读1．理解命题的概念
2．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系
3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义
一、基础小题
1．命题“若a∉A，则b∉B”的否命题是（ ）
A．若a∉A，则b∉BB．若a∈A，则b∈B
C．若b∈B，则a∉AD．若b∉B，则a∈A
答案 B
解析 由原命题与否命题的定义知选B．
2．命题“正数m的平方等于0”的逆命题为（ ）
A．正数m的平方不等于0
B．若m的平方等于0，则它是正数
C．若m不是正数，则它的平方不等于0
D．若m的平方不等于0，则它不是正数
答案 B
解析 依题意原命题可以写成“若m是正数，则它的平方等于0”，所以由逆命题的定义可知，其逆命题为“若m的平方等于0，则它是正数”，故选B．
3．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是（ ）
A．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数
B．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数
C．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数
D．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数
答案 D
解析 命题的逆否命题为否定原命题的条件和结论并交换条件和结论的位置，所以命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选D．
4．已知x1，x2∈R，则“x1>1且x2>1”是“x1＋x2>2且x1·x2>1”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由x1>1且x2>1得x1＋x2>1＋1＝2，x1·x2>1×1＝1，所以x1>1且x2>1是x1＋x2>2且x1·x2>1的充分条件；设x1＝3，x2＝，则x1＋x2＝>2且x1·x2＝>1，但x2<1，所以不满足必要性．故选A．
5．A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分，已知命题p：
若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格，在下列四个命题中，为p的逆否命题的是（ ）
A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格
B．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不高于70分
C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分
D．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分
答案 C
解析 “若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，“低于”的否定为“不低于”；“都没有及格”的否定为“至少有一人及格”．故选C．
6．命题“f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）＝f（x）·g（x），若f（x），g（x）均为奇函数，则h（x）为偶函数”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案 B
解析 由f（x），g（x）均为奇函数可得h（x）＝f（x）·g（x）为偶函数，反之则不成立，如h（x）＝x2，f（x）＝，g（x）＝x2＋1，h（x）是偶函数，但f（x），g（x）都不是奇函数，故原命题的逆命题是假命题，其否命题也是假命题，只有其逆否命题是真命题．故选B．
7．下面四个条件中，使a>b成立的必要不充分条件是（ ）
A．a－1>bB．a＋1>bC．|a|>|b|D．a3>b3
答案 B
解析 寻找使a>b成立的必要不充分条件，若a>b，则a＋1>b一定成立，a3>b3也一定成立，但是当a3>b3成立时，a>b也一定成立，故选B．
8．在下列四个命题中，其中的假命题是（ ）
①命题“若m＋n>2t，则m>t且n>t”的逆命题；
②“相似三角形的面积相等”的否命题；
③“末位数字不为零的数能被3整除”的逆否命题；
④命题“若c>1，则方程x2－2x＋c＝0没有实数根”的否命题．
A．②③B．①④C．①②D．③④
答案 A
解析 因为①中所给命题的逆命题“若m>t且n>t，则m＋n>2t”成立，所以①为真命题．
因为②中所给命题的否命题“如果两个三角形不相似，那么它们的面积不相等”不成立，所以②为假命题．
因为③中所给命题的逆否命题“如果一个数不能被3整除，那么它的末位数字为零”不成立，所以③为假命题．
因为④中所给命题的否命题“若c≤1，则方程x2－2x＋c＝0有实数根”成立，所以④为真命题．
综上知，应选A．
9．“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 “若a＋b＝3，则a＝1且b＝2”显然是假命题，所以“若a≠1或b≠2，则a＋b≠3”是假命题．因为“若a＝1且b＝2，则a＋b＝3”是真命题，所以“若a＋b≠3，则a≠1或b≠2”是真命题，故“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的必要不充分条件．故选B．
10．若命题p的逆命题是q，命题p的否命题是r，则q是r的________．（填“否命题”“逆命题”或“逆否命题”）
答案 逆否命题
解析 由4种命题的相互关系，可知原命题的否命题与逆命题互为逆否命题．
11．已知条件p：
x2＋2x－3>0；条件q：
x>a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是________．
答案 [1，＋∞）
解析 由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．∴{x|x>a}{x|x<－3或x>1}，∴a≥1．
12．设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件．（用“充分”“必要”或“充要”填空）
答案 充分 充要
解析 由题知p⇒q⇔s⇒t，又t⇒r，r⇒q，q⇒s⇒t，故p是t的充分条件，r是t的充要条件．
二、高考小题
13．（2018·北京高考）设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 |a－3b|＝|3a＋b|⇔|a－3b|2＝|3a＋b|2⇔a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2⇔2a2＋3a·b－2b2＝0，又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝0⇔a⊥b，故选C．
14．（2018·天津高考）设x∈R，则“x－<”是“x3<1”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由x－<得－由x3<1得x<1．当015．（2017·北京高考）设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由存在负数λ，使得m＝λn，可得m，n共线且反向，夹角为180°，则m·n＝－|m|·|n|<0，故充分性成立．由m·n<0，可得m，n的夹角为钝角或180°，故必要性不成立．故选A．
16．（2017·天津高考）设θ∈R，则“<”是“sinθ<”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 ∵<⇔－<θ－<⇔0<θ<，sinθ<⇔θ∈，k∈Z，，k∈Z，
∴“<”是“sinθ<”的充分而不必要条件．故选A．
17．（2017·浙江高考）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 解法一：
S4＋S6>2S5等价于（S6－S5）＋（S4－S5）>0，等价于a6－a5>0，等价于d>0．故选C．
解法二：
∵Sn＝na1＋n（n－1）d，∴S4＋S6－2S5＝4a1＋6d＋6a1＋15d－2（5a1＋10d）＝d，即S4＋S6>2S5等价于d>0．故选C．
18．（2016·四川高考）设p：
实数x，y满足（x－1）2＋（y－1）2≤2，q：
实数x，y满足则p是q的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 如图作出p，q表示的区域，其中⊙M及其内部为p表示的区域，△ABC及其内部（阴影部分）为q表示的区域，故p是q的必要不充分条件．故选A．
19．（2017·北京高考）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．
答案 －1，－2，－3（答案不唯一）
解析 答案不唯一，如：
a＝－1，b＝－2，c＝－3，满足a>b>c，但不满足a＋b>c．
20．（2018·北京高考）能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．
答案 f（x）＝sinx，x∈[0，2]（答案不唯一）
解析 根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f（x）min＝f（0）即可，除所给答案外，还可以举出f（x）＝等．
三、模拟小题
21．（2018·长春质检二）命题“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1或x≤1
B．若－1C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
答案 D
解析 对原命题的条件进行否定作为逆否命题的结论，对原命题的结论进行否定作为逆否命题的条件，由此知命题“若x2<1，则－122．（2018·武汉模拟）命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤5
答案 C
解析 命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题，可化为∀x∈[1，2]，a≥x2，恒成立，
即只需a≥（x2）max＝4，即“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，
而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选项可知C符合题意．
23．（2018·南昌一模）已知a>0，b∈R，那么a＋b>0是a>|b|成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 当a＝1，b＝2时，则由a＋b>0不能得到a>|b|；当a>|b|时，a>b且a>－b，无论b取任何值都有a>－b，即a＋b>0．故选B．
24．（2018·石家庄质检二）设a>0且a≠1，则“logab>1”是“b>a”的（ ）
A．必要不充分条件B．充要条件
C．既不充分也不必要条件D．充分不必要条件
答案 C
解析 当a＝，b＝时，满足logab＝log＝log23>log22＝1，但不满足b>a；当a＝，b＝1时，满足b>a，且有logab＝log1＝0<1，显然不满足logab>1．故“logab>1”是“b>a”的既不充分也不必要条件，故选C．
25．（2018·河南郑州一模）下列说法正确的是（ ）
A．“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a>1，则a2≤1”
B．“若am2C．存在x0∈（0，＋∞），使3x0>4x0成立
D．“若sinα≠，则α≠”是真命题
答案 D
解析 对于选项A，“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，故选项A错误；对于选项B，“若am23x，故选项C错误；对于选项D，“若sinα≠，则α≠”的逆否命题为“若α＝，则sinα＝”，该逆否命题为真命题，所以原命题为真命题，选项D正确．故选D．
26．（2018·山东日照3月联考）“m<0”是“函数f（x）＝m＋log2x（x≥1）存在零点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当m<0时，由图象的平移变换可知，函数f（x）必有零点；当函数f（x）有零点时，m≤0，所以“m<0”是“函数f（x）＝m＋log2x（x≥1）存在零点”的充分不必要条件，故选A．
27．（2018·南昌摸底）已知m，n为两个非零向量，则“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 当“m·n<0”时，有|m||n|cos〈m，n〉<0，即cos〈m，n〉<0，从而有<〈m，n〉≤π，故“m与n的夹角为钝角”不成立；而当“m与n的夹角为钝角”时，m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0．故“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件，故选B．
28．（2018·湖南师大附中3月月考）设p：
ln（2x－1）≤0，q：
（x－a）[x－（a＋1）]≤0，若q是p的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．0，B．0，
C．（－∞，0]∪，＋∞D．（－∞，0）∪，＋∞
答案 A
解析 由p得：
a≤x≤a＋1，因为q是p的必要而不充分条件，所以a≤且a＋1≥1，所以0≤a≤．故选A．
一、高考大题
本考点在近三年高考中未涉及此题型．
二、模拟大题
1．（2018·湖南浏阳三校联考）设p：
实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a∈R；q：
实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0．若a<0且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解 由p得（x－3a）（x－a）<0，
当a<0时，3a由q得x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0，则－2≤x≤3或x<－4或x>2，则x<－4或x≥－2．
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件．
设A＝（3a，a），B＝（－∞，－4）∪[－2，＋∞），
可知AB，∴a≤－4或3a≥－2，
即a≤－4或a≥－．
又∵a<0，∴a≤－4或－≤a<0，
即实数a的取值范围为（－∞，－4]∪－，0．
2．（2018·河北正定中学月考）已知条件p：
|5x－1|>a（a>0）和条件q：
>0，请选取适当的实数a的值，分别利用所给出的两个条件作为A，B构造命题：
“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题．则这样的一个原命题可以是什么？
并说明为什么这一命题是符合要求的命题．
解 已知条件p即5x－1<－a或5x－1>a，
∴x<或x>．
已知条件q即2x2－3x＋1>0，∴x<或x>1；
令a＝4，则p即x<－或x>1，
此时必有p⇒q成立，反之不然．
故可以选取一个实数是a＝4，A为p，B为q，对应的命题是若A则B．
由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，而它的逆命题为假命题．
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