高等学校春季招生考试学业水平考试数学试题含答案.docx
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高等学校春季招生考试学业水平考试数学试题含答案
上海市普通高等学校春季招生考试
数学试卷
考试注意：
1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚。
2.本试卷共有31道试题，满分150分。
考试时间120分钟。
3.请考生用钢笔或圆珠笔按要求在试卷相应位置上作答。
一.填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分。
1.
函数y
log2（x2）的定义域是
2.
方程2x
8的解是
3.抛物线y28x的准线方程是
4.函数y2sinx的最小正周期是
5.
已知向量a（1，k），b（9，k6）。
若a//b，则实数
k
6.
函数y
4sinx3cosx的最大值是
7.
复数2
3i（i是虚数单位）的模是
8.
在ABC中，角A、B、C所对边长分别为
a、b、c，若a
5，b
8，B
60，则b=
9.
在如图所示的正方体
ABCDA1BC11D1中，
D1
C1
异面直线A1B与BC1
A1
B1
所成角的大小为
10.
从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参
D
C
加某社团活动，选出的
3人中男女同学都有的
概率为
（结果用数值表示）。
A
B
11.若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和Sn=
12.36的所有正约数之和可按如下方法得到：
因为36=2232，所以36的所有正约数之和为
（1332）（223232）（222232232）（1222（）1332）91
参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为
二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。
考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，
选对得3分，否则一律得0分。
13.展开式为ad-bc的行列式是（）
a
b
a
c
a
d
（A）
d
c
（B）
b
d
（C）
b
c
14.
设f
-1（x）为函数
f（x）
x的反函数，下列结论正确的是（
（A）
f
1
（2）
2
（B）
f
1
（2）
4
（C）
f
1（4）
2
（D）
f
1（4）
4
15.
直线2x
3y1
0
的一个方向向量是（
）
（A）
（2，3）
（B）
（2，3）
（C）
（3，2）
1
16函数f（x）
x2的大致图像是（
）
y
y
y
0
A
x
0
x
0
B
C
17.
如果ab
0，那么下列不等式成立的是（
）
（A）
1
1
（B）abb2
（C）
ab
a2
a
b
18.
若复数z1、z2满足z1
z2，则z1、z2在复数平面上对应的点
（A）
关于x轴对称
（B）关于y轴对称
（C）
关于原点对称
（D）关于直线y
x对称
19.
（1
x）10的二项展开式中的一项是（
）
ba
（D）dc
）
（D）（3，2）
y
x0x
D
11
（D）
ab
Z1、Z2（）
（A）45x（B）90x2（C）120x3（D）252x4
20.既是偶函数又在区间（0，）上单调递减的函数是（）
（A）ysin
x（B）y
cosx（C）y
sin2x（D）y
cos2x
21．若两个球的表面积之比为
1:
4，则这两个球的体积之比为（
）
（A）1:
2
（B）1:
4
（C）1:
8
（D）1:
16
22.设全集U
R，下列集合运算结果为R的是（
）
（A）ZeN
（B）N
eN
（C）痧（
u
）
（D）
eu
{0}
u
u
u
23.已知a、b、c
R，“b2
4ac
0”是“函数f（x）ax
2bx
c的图像恒在x轴上方”
的（）
（A）充分非必要条件
（B）必要非充分条件
（C）充要条件
（D）既非充分又非必要条件
24.已知A、B为平面内两定点，过该平面内动点
M作直线
AB的垂线，垂足为
N.若
2
ANNB，其中
M的轨迹不可能是（
MN
为常数，则动点
）
（A）圆
（B）
椭圆
（C）抛物线
（D）双曲线
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
25.（本题满分
7分）
如图，在正三棱锥
ABCA1B1C1中，AA1
6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为
，
6
求该三棱柱的体积。
A1
C1
[解]
B1
AC
B
26（本题满分7分）
如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中
米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且
B为直角，AB长40米，BC长50
B为矩形的一个顶点，求该
健身房的最大占地面积。
A
[解]
BC
27．（本题满分8分）
已知数列{a}
的前
n
项和为
S
n2
n，数列{b}
满足
b
2an，求
n
n
n
n
lim（b1b2
bn）。
n
[解]
28.（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分9分。
已知椭圆C的两个焦点分别为F1（1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为
B1、B2
（1）若F1B1B2为等边三角形，求椭圆
C的方程;
（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2
的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，且FP
FQ，
1
1
求直线l的方程。
[解]
（1）
（2）
29.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。
已知抛物线C：
y24x的焦点为F。
（1）点A、P满足AP2FA。
当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；
（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y2x的对称点在抛物线C上？
如果存
在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。
[解]
（1）
（2）
30.（本题满分13分）本题共有
2个小题，第一小题满分
4分，第二小题满分9
分。
在平面直角坐标系
xOy中，点A在y轴正半轴上，点Pn在x轴上，其横坐标为xn，且{xn}
是首项为1、公比为
2的等比数列，记
PnAPn1n，nN
。
（1）若3arctan
1
，求点A的坐标；
3
（2）若点A的坐标为（0，8
2），求
n的最大值及相应
n的值。
y
[解]
（1）
A
0P1P2P3P4x
（2）
31．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分。
已知真命题：
“函数yf（x）的图像关于点P（a、b）成中心对称图形”的充要条件为“函数
yf（xa）b是奇函数”。
（1）将函数g（x）x33x2的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图像
对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图像对称中心的坐标；
（2）求函数
2x
x
h（x）log24
图像对称中心的坐标；
（3）已知命题：
“函数
y
f
（x）的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实
数a和b，使得函数y
f（x
a）b是偶函数”。
判断该命题的真假。
如果是真命题，请
给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）。
[解]
（1）
（2）
（3）
20XX年上海市普通高等学校春季招生考试
数学试卷
参考答案
一．（第1至12题）每一题正确的给3分，否则一律得0分。
1．（2,）
2.3
3.
x
2
4.2
5.
3
6.5
4
7.
13
8.
7
9.
3
10.
4
11.
5n2
7n
12.
4836
5
6
6
二．（第13至24题）每一题正确的给
3分，否则一律得
0分。
题号
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
代码
B
B
D
A
D
A
C
B
C
A
D
C
三．（第25至31题）
25.[解]因为CC1AA1.
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