高等学校春季招生考试学业水平考试数学试题含答案.docx

1、高等学校春季招生考试学业水平考试数学试题含答案上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷考试注意： 1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚。2.本试卷共有 31 道试题，满分 150 分。考试时间 120 分钟。3.请考生用钢笔或圆珠笔按要求在试卷相应位置上作答。一. 填空题（本大题满分 36 分）本大题共有 12 题，要求直接填写结果，每题填对得 3 分，否则一律得 0 分。1.函数 ylog 2 ( x 2) 的定义域是2.方程 2x8 的解是3.抛物线 y2 8x 的准线方程是4.函数 y 2sin x 的最小正周期是5.已知向量 a (1，k) ， b (9，k 6

2、) 。若 a / b ，则实数k6.函数 y4sin x 3cos x 的最大值是7.复数 23i （ i 是虚数单位）的模是8.在 ABC 中，角 A、B、C 所对边长分别为a、b、c ，若 a5，b8，B60 ，则 b=9.在如图所示的正方体ABCD A1 BC11 D1 中，D1C1异面直线 A1B 与 BC1A1B1所成角的大小为10.从 4 名男同学和 6 名女同学中随机选取 3 人参DC加某社团活动，选出的3 人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示） 。AB11.若等差数列的前 6 项和为 23，前 9 项和为 57，则数列的前 n 项和 Sn =12.36 的所有正约数之和可按

3、如下方法得到：因为 36=2 2 32 ，所以 36 的所有正约数之和为(1 3 32) (2 2 3 2 32) (22 22 3 22 32) (1 2 22（)1 3 32) 91参照上述方法，可求得 2000 的所有正约数之和为二选择题（本大题满分 36 分）本大题共有 12 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得 3 分，否则一律得 0 分。13.展开式为 ad-bc 的行列式是（ ）abacad（ A）dc(B)bd(C)bc14.设 f-1 ( x) 为函数f ( x)x 的反函数，下列结论正确的是（(A)f1(2)

4、2(B)f1 (2)4(C)f1 (4)2(D)f1 (4)415.直线 2x3y 10的一个方向向量是（）(A)(2， 3)(B)(2，3)(C)( 3，2)116 函数 f ( x)x 2 的大致图像是（）yyy0Ax0x0BC17.如果 a b0，那么下列不等式成立的是（）(A)11(B) ab b2(C)aba2ab18.若复数 z1、z2 满足 z1z2 ，则 z1、z2 在复数平面上对应的点(A)关于 x 轴对称(B)关于 y 轴对称(C)关于原点对称(D)关于直线 yx 对称19.(1x)10 的二项展开式中的一项是（）ba(D)d c）(D)(3，2)yx 0 xD1 1(D)

5、a bZ1、Z2 （ ）（A） 45x （B） 90x2 （ C） 120x3 （ D） 252x420.既是偶函数又在区间 (0， ) 上单调递减的函数是（ ）（A） y sinx （B） ycos x （ C） ysin 2 x （ D） ycos 2 x21若两个球的表面积之比为1: 4，则这两个球的体积之比为（）（A） 1: 2（B） 1: 4（C） 1: 8（D） 1:1622.设全集 UR ，下列集合运算结果为 R 的是（）（A） Z e N（B） Ne N（C） 痧(u)（D）eu0uuu23.已知 a、b、cR ，“ b24ac0 ”是“函数 f ( x) ax2 bxc 的图

6、像恒在 x 轴上方”的（ ）（A）充分非必要条件（ B）必要非充分条件（C）充要条件（ D）既非充分又非必要条件24. 已知 A、B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N . 若2AN NB ，其中M 的轨迹不可能是（MN为常数，则动点）（A）圆（ B）椭圆（ C） 抛物线（ D）双曲线三、解答题（本大题满分 78 分）本大题共有 7 题，解答下列各题必须写出必要的步骤。25.（本题满分7 分）如图，在正三棱锥ABC A1B1C1 中， AA16 ，异面直线 BC1 与 AA1 所成角的大小为，6求该三棱柱的体积。A1C1解 B1A CB26（本题满分 7 分）如图，

7、某校有一块形如直角三角形 ABC 的空地， 其中米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为直角， AB 长 40 米， BC 长 50B 为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积。A解 B C27（本题满分 8 分）已 知 数 列 a 的 前n项 和 为Sn2n ， 数 列 b 满 足b2an ， 求nnnnlim（ b1 b2bn）。n解 28.（本题满分 13 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 9 分。已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1( 1，0) 、 F2 (1，0) ，短轴的两个端点分别为B1、B2（1）若 F1B1B2 为等边三

8、角形，求椭圆C的方程;（2）若椭圆 C 的短轴长为 2 ，过点 F2的直线 l 与椭圆 C 相交于 P、Q 两点，且 F PFQ ，11求直线 l 的方程。解 （ 1）（2）29.（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分。已知抛物线 C：y2 4x 的焦点为 F 。（1）点 A、P 满足 AP 2FA 。当点 A 在抛物线 C 上运动时，求动点 P 的轨迹方程；（2 ）在 x 轴上是否存在点 Q ，使得点 Q 关于直线 y 2x 的对称点在抛物线 C 上？如果存在，求所有满足条件的点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由。解 （ 1）（2）3

9、0.（本题满分 13 分）本题共有2 个小题，第一小题满分4 分，第二小题满分 9分。在平面直角坐标系xOy 中，点 A 在 y 轴正半轴上， 点 Pn 在 x 轴上，其横坐标为 xn ，且 xn 是首项为 1 、公比为2 的等比数列，记Pn APn 1 n ， n N。（1）若 3 arctan1，求点 A 的坐标；3（2）若点 A 的坐标为 (0，82) ，求n 的最大值及相应n 的值。y解 （ 1）A0 P1 P2 P3 P4 x（2）31（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 7 分，第 3 小题满分 6 分。已知真命题： “函数 y f

10、 ( x) 的图像关于点 P(a、b) 成中心对称图形”的充要条件为“函数y f (x a) b 是奇函数”。（1）将函数 g (x) x3 3x2 的图像向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数 g( x) 图像对称中心的坐标；（2）求函数2xxh( x)log 2 4图像对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数yf( x) 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数 a 和 b，使得函数 yf (xa) b 是偶函数”。判断该命题的真假。如果是真命题，请给予证明； 如果是假命题，请说明理由， 并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明） 。解 （ 1）（2）（3）20XX 年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷参考答案一（第 1 至 12 题）每一题正确的给 3 分，否则一律得 0 分。1( 2,)2 . 33.x24. 25.36. 547.138.79.310.411.5 n27 n12.4836566二（第 13 至 24 题）每一题正确的给3 分，否则一律得0 分。题号131415161718192021222324代码BBDADACBCADC三（第 25 至 31 题）25.解 因为 CC1 AA1 .