=
⎩k
⎨
其中k∈N*．
n1n
⎪b,n=2k,
22
（i）求数列{an（cn-1）}的通项公式；
（ii）求∑ac（n∈N）．
2n
*
ii
i=1
5．（2019•新课标Ⅱ）已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1=2，a3=2a2+16．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=log2an，求数列{bn}的前n项和．
2
6．（2018•全国）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=，an>0，an+1（Sn+1+Sn）=2．
（1）求Sn；
（2）求
1
S1+S2
+1
S2+S3
+⋯+
1．
Sn+Sn+1
7．（2018•北京）设{an}是等差数列，且a1=ln2，a2+a3=5ln2．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求ea1+ea2+⋯+ean．
8．（2017•全国）设数列{b}的各项都为正数，且b
=bn．
n
（1）证明数列⎧1⎫为等差数列；
n+1
bn+1
⎨b⎬
⎩n⎭
（2）设b1=1，求数列{bnbn+1}的前n项和Sn．
9．（2017•新课标Ⅰ）记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2=2，S3=-6．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．
10．（2017•新课标Ⅲ）设数列{an}满足a1+3a2+⋯+（2n-1）an=2n．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和．
2n+1
11．（2016•新课标Ⅰ）已知{a}是公差为3的等差数列，数列{b}满足b=1，b=1，
n
anbn+1+bn+1=nbn．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求{bn}的前n项和．
n123
12．（2016•新课标Ⅱ）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28，记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．
（Ⅰ）求b1，b11，b101；
（Ⅱ）求数列{bn}的前1000项和．
13．（2015•福建）等差数列{an}中，a2=4，a4+a7=15．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设b=2an-2+n，求b+b+b+⋯+b
的值．
n12310
nnn
14．（2015•山东）设数列{a}的前n项和为S，已知2S=3n+3．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}，满足anbn=log3an，求{bn}的前n项和Tn．
15．（2015•新课标Ⅰ）S为数列{a}的前n项和，已知a>0，a2+2a=4S+3
nnnnnn
（I）求{an}的通项公式：
（Ⅱ）设bn
=1
anan+1
，求数列{bn}的前n项和．
16．（2015•四川）设数列{an}（n=1，2，3，⋯）的前n项和Sn满足Sn=2an-a1，且a1，a2+1，
a3成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记数列1的前n项和为T，求使得|T-1|<1
成立的n的最小值．
a
{}n
n
n1000
17．（2015•天津）已知数列{a}满足a=qa（q为实数，且q≠1），n∈N*，a=1，a=2，
nn+2n12
且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列
（1）求q的值和{an}的通项公式；
（2）
n
n
设b=log2a2n，n∈N*，求数列{b}的前n项和．
a2n-1
n
18．（2015•陕西）设f（x）是等比数列1，x，x2，，xn的各项和，其中x>0，n∈N，
n
2．
（Ⅰ）证明：
函数F（x）=f（x）-2在（1，1）内有且仅有一个零点（记为x），且x=1+1xn+1；
nn2nn22n
（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn（x），
比较fn（x）和gn（x）的大小，并加以证明．
19．（2015•山东）已知数列{a}是首项为正数的等差数列，数列{1}的前n项和为n．
n
（1）求数列{an}的通项公式；
anan+1
2n+1
（2）设b=（a+1）2an，求数列{b}的前n项和T．
nnnn
20．（2014•大纲版）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=13，a2为整数，且SnS4．
（1）求{an}的通项公式；
（2）
n
n
n
设b=1，求数列{b}的前n项和T．
anan+1
21．（2014•浙江）已知等差数列{an}的公差d>0，设{an}的前n项和为Sn，a1=1，S2S3=36．
（Ⅰ）求d及Sn；
mm+1m+2m+k
（Ⅱ）求m，k（m,k∈N*）的值，使得a+a+a+⋯+a=65．
n24
22．（2014•新课标Ⅰ）已知{a}是递增的等差数列，a，a是方程x2-5x+6=0的根．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列
an
{2n}
的前n项和．
23．（2014•新课标Ⅱ）已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1．
（Ⅰ）证明{a+1}是等比数列，并求{a}的通项公式；
n2n
（Ⅱ）证明：
1+1
a1a2
+⋯+1
an
<3．
2
24．（2014•安徽）数列{a}满足a=1，na=（n+1）a
+n（n+1），n∈N*．
n1n+1n
n
（Ⅰ）证明：
数列{a}
n
是等差数列；
an
（Ⅱ）设b=3n，求数列{b}的前n项和S．
nnn
历年高考数学真题精选（按考点分类）
专题26数列的综合（教师版）
1．（2016•新课标Ⅱ）等差数列{an}中，a3+a4=4，a5+a7=6．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，
[2.6]=2．
解：
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
a3+a4=4，a5+a7=6．
∴⎧2a1+5d=4，
⎨2a+10d=6
⎩1
⎧a1=1
⎨d=
解得：
⎪2，
⎪⎩5
∴an
=2n+3；
55
（Ⅱ）bn=[an]，
∴b1=b2=b3=1，
b4=b5=2，
b6=b7=b8=3，
b9=b10=4．
故数列{bn}的前10项和S10=3⨯1+2⨯2+3⨯3+2⨯4=24．
2．（2013•山东）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{b}的前n项和为T且T
+an+1=λ（λ为常数）．令c=b
（n∈N*）求数列{c}
n
的前n项和Rn．
nn2n
n2nn
解：
（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a2n=2an+1，取n=1，得a2=2a1+1，
即a1-d+1=0①
再由S
=4S，得4a+4⨯3d=4（a+a+d），即d=2a②
4212111
联立①、②得a1=1，d=2．
所以an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（2）把a
=2n-1代入T
+an+1=λ，得T
+2n=λ，则T
=λ-2n．
n
所以b1=T1=λ-1，
n2n
n2n
n2n
当n
2时，b=T-T=（λ-2n）-（λ-2（n-1））=n-2．
nnn-12n
2n-1
2n-1
所以b=n-2，c=b
=2n-2=n-1．
n2n-1
n2n
22n-14n-1
R=c+c
+⋯+c
=0+1+
2+⋯+n-1③
n12
n4142
4n-1
1R=
1+2+⋯+n-1④
4n42434n
1（1-1）
③-④得：
3R
=1+1
+⋯+1
-n-1=44n-1
-n-1
4n442
4n-14n
1-14n
4
所以Rn
=4（1-3n+1）；
94n
所以数列{c}的前n项和R=4（1-3n+1）．
nn94n
3．（2011•辽宁）已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an}的前n项和S．
2n-1n
解：
（I）设等差数列{a}的公差为d，由已知条件可得⎧a1+d=0，
n⎨2a+12d=-10
⎩1
⎨d=-1
解得：
⎧a1=1，
⎩
故数列{an}的通项公式为an=2-n；
（II）设数列{an}的前n项和为S，即S
=a+a2+⋯+an①，故S=1，
2n-1n
Sn=a1+a2+⋯+an②，
2242n
当n>1时，①-②得：
n122n-11
Sn=a
+a2-a1+⋯+an-an-1-an
2122n-12n
=1-（1+1+⋯+
1）-2-n
242n-12n
=1-（1-
1
2n-1
）-2-n=n，
2n2n
所以Sn
=n，
2n-1
综上，数列{an}的前n项和S
2n-1n
=n．
2n-1
4．（2019•天津）设{an}是等差数列，{bn}是等比数列．已知a1=4，b1=6，b2=2a2-2，
b3=2a3+4．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c}满足c=1，c
⎧⎪1,2k=
⎩k
⎨
其中k∈N*．
n1n
⎪b,n=2k,
22
（i）求数列{an（cn-1）}的通项公式；
（ii）求∑ac（n∈N）．
2n
*
ii
i=1
解：
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
依题意有：
⎧6q=6+2d
⎩
⎨6q2=12+4d
，解得⎧d=3，
⎨q=2
⎩
∴an=4+（n-1）⨯3=3n+1，
n
b=6⨯2n-1=3⨯2n．
（Ⅱ）（i）数列{c}满足c=1，c
⎧⎪1,2k=
⎩k
⎨
其中k∈N*．
2
n1n
⎪b,n=2k,
2
2
∴an
（cn
-1）=an
（bn
-1）=（3⨯2n+1）（3⨯2n-1）=9⨯4n-1，
22
∴数列{an（cn-1）}的通项公式为：
2nn2
a（c-1）=9⨯4n-1．
=（2n⨯4+2n（2n-1）⨯3）+∑n
（9⨯4i-1）
=2n-1
2i=1
n-14（1-4n）
（3⨯2
+5⨯2）+9⨯-n
1-4
=27⨯22n-1+5⨯2n-1-n-12．（n∈N*）．
5．（2019•新课标Ⅱ）已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1=2，a3=2a2+16．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=log2an，求数列{bn}的前n项和．解：
（1）设等比数列的公比为q，
由a=2，a=2a
+16，得2q2=4q+16，
132
即q2-2q-8=0，解得q=-2（舍）或q=4．
1
∴an
=aqn-1=2⨯4n-1=22n-1；
（2）bn
=log2an
=log22n-1=2n-1，
2
b1=1，bn+1-bn=2（n+1）-1-2n+1=2，
∴数列{bn}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
则数列{b}的前n项和T
=n⨯1+n（n-1）⨯2=n2．
nn2
2
6．（2018•全国）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=，an>0，an+1（Sn+1+Sn）=2．
（1）求Sn；
（2）求
1
S1+S2
+1
S2+S3
+⋯+
1．
Sn+Sn+1
2
n
解：
（1）a1=，an>0，an+1（Sn+1+Sn）=2，可得（Sn+1-Sn）（Sn+1+Sn）=2，
S可得
2
n+1
-S2=2，
n
n
即数列{S2}为首项为2，公差为2的等差数列，可得S2=2+2（n-1）=2n，
2n
由an>0，可得Sn=；
（2）
1=
1
2n+2（n+1）
Sn+Sn+1
n+n+1
=2（1
）=2（
-n），
n+1
22
即有1
S1+S2
+1
S2+S3
+⋯+
1
Sn+Sn+1
2
=2（
2
-1+3-
2+2-
3+⋯+
n+1-n）
n+1
=2（
2
-1）．
7．（2018•北京）设{an}是等差数列，且a1=ln2，a2+a3=5ln2．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求ea1+ea2+⋯+ean．
解：
（Ⅰ）{an}是等差数列，且a1=ln2，a2+a3=5ln2．可得：
2a1+3d=5ln2，可得d=ln2，
{an}的通项公式；an=a1+（n-1）d=nln2，
（Ⅱ）ean=eln2n=2n，
aaa
123
n2（1-2n）
n+1
∴e1+e2+⋯+en=2+2
+2+⋯+2
==2
1-2
-2．
8．（2017•全国）设数列{b}的各项都为正数，且b
=bn．
n
（1）证明数列⎧1⎫为等差数列；
n+1
bn+1
⎨b⎬
⎩n⎭
（2）设b1=1，求数列{bnbn+1}的前n项和Sn．
解：
（1）证明：
数列{b}的各项都为正数，且b
=bn，
n
两边取倒数得1=bn+1=1+1，
n+1
bn+1
bn+1bnbn
故数列⎧1⎫为等差数列，其公差为1，首项为1；
⎨b⎬b
⎩n⎭1
（2）由
（1）得，1=1，1=1+（n-1）=n，
b1
故b=1，所以bb=
bnb1
1=1-1，
nnnn+1
n（n+1）nn+1
因此S
=1-1+1-1+⋯+1-1
=n．
n223
nn+1
n+1
9．（2017•新课标Ⅰ）记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2=2，S3=-6．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．解：
（1）设等比数列{an}首项为a1，公比为q，
则a=S-S
=-6-2=-8，则a=a3=-8，a
=a3=-8，
332
1q2q2
2qq
由a+a=2，-8+-8=2，整理得：
q2+4q+4=0，解得：
q=-2，
12q2q
则a=-2，a=（-2）（-2）n-1=（-2）n，
1n
∴{a}的通项公式a=（-2）n；
nn
a（1-qn）-2[1-（-2）n]1
（2）由
（1）可知：
S
=1==-
[2+（-2）n+1]，
n1-q1-（-2）3
则Sn+1
=-1[2+（-2）n+2]，S
3
n+2
=-1[2+（-2）n+3]，3
由Sn+1
+
Sn+2
=-1[2+（-2）n+2]-1[2+（-2）n+3]，33
=-1[4+（-2）⨯（-2）n+1+（-2）2⨯（-2）n+1]，3
=-1[4+2（-2）n+1]=2⨯[-1（2+（-2）n+1）]，
33
=2Sn，
即Sn+1+Sn+2=2Sn，
∴Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列．
10．（2017•新课标Ⅲ）设数列{an}满足a1+3a2+⋯+（2n-1）an=2n．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和．
2n+1
解：
（1）数列{an}满足a1+3a2+⋯+（2n-1）an=2n．
n
2时，a1+3a2+⋯+（2n-3）an-1=2（n-1）．
∴（2n-1）an
=2．∴an
=2．
2n-1
当n=1时，a1=2，上式也成立．
∴an
=2．
2n-1
（2）an=
2=1-1．
2n+1（2n-1）（2n+1）2n-12n+1
∴数列{an
}的前n项和=（1-1）+（1-1）+⋯+（1
-1）=1-1
=2n．
2n+13352n-12n+12n+12n+1
11．（2016•新课标Ⅰ）已知{a}是公差为3的等差数列，数列{b}满足b=1，b=1，
n
anbn+1+bn+1=nbn．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求{bn}的前n项和．
解：
（Ⅰ）anbn+1+bn+1=nbn．当n=1时，a1b2+b2=b1．
b=1，b=1，
n123
123
∴a1=
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