历年高考数学真题精选26 数列的综合.docx

1、历年高考数学真题精选26 数列的综合历年高考数学真题精选（按考点分类）专题 26 数列的综合（学生版）1（2016新课标）等差数列an 中， a3 + a4 = 4 ， a5 + a7 = 6 （）求an 的通项公式；（）设bn = an ，求数列bn 的前 10 项和，其中x 表示不超过 x 的最大整数，如0.9 = 0 ，2.6 = 2 2（2013山东）设等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 S4 = 4S2 ， a2n = 2an + 1 （1）求数列an 的通项公式；（2）设数列b 的前 n 项和为T 且T+ an + 1 = (为常数）令c = b(n N* ) 求数列c n

2、的前 n 项和 Rn n n 2nn 2n n3（2011辽宁）已知等差数列an 满足 a2 = 0 ， a6 + a8 = -10 （）求数列an 的通项公式；（）求数列 an 的前 n 项和 S 2n-1 n4（2019天津）设an 是等差数列，bn 是等比数列已知 a1 = 4 ， b1 = 6 ， b2 = 2a2 - 2 ，b3 = 2a3 + 4 （）求an 和bn 的通项公式；（）设数列c 满足 c = 1， c1, 2k n 0 ， an+1 (Sn+1 + Sn ) = 2 （1）求 Sn ；（2）求1S1 + S2+ 1S2 + S3+ +1 Sn + Sn+17（2018

3、北京）设an 是等差数列，且 a1 = ln2 ， a2 + a3 = 5ln2 （）求an 的通项公式；（）求 ea1 + ea2 + ean 8（2017全国）设数列b 的各项都为正数，且b= bn n（1）证明数列 1 为等差数列；n+1bn + 1b n （2）设b1 = 1，求数列bnbn+1 的前 n 项和 Sn 9（2017新课标）记 Sn 为等比数列an 的前 n 项和已知 S2 = 2 ， S3 = -6 （1）求an 的通项公式；（2）求 Sn ，并判断 Sn+1 ， Sn ， Sn + 2 是否成等差数列10（2017新课标）设数列an 满足 a1 + 3a2 + + (

4、2n - 1)an = 2n （1）求an 的通项公式；（2）求数列 an 的前 n 项和2n + 111（2016新课标）已知a 是公差为 3 的等差数列，数列b 满足 b = 1 ， b = 1 ，nanbn+1 + bn+1 = nbn （）求an 的通项公式；（）求bn 的前 n 项和n 1 2 312（2016新课标） Sn 为等差数列an 的前 n 项和，且 a1 = 1 ， S7 = 28 ，记bn = lgan ，其中x 表示不超过 x 的最大整数，如0.9 = 0 ，lg99 = 1 （）求b1 ， b11 ， b101 ；（）求数列bn 的前 1000 项和13（2015福

5、建）等差数列an 中， a2 = 4 ， a4 + a7 = 15 （）求数列an 的通项公式；（）设b = 2an -2 + n ，求b + b + b + + b的值n 1 2 3 10n n n14（2015山东）设数列a 的前 n 项和为 S ，已知 2S = 3n + 3 （）求an 的通项公式；（）若数列bn ，满足 anbn = log3 an ，求bn 的前 n 项和Tn 15（2015新课标） S 为数列a 的前 n 项和，已知 a 0 ， a2 + 2a = 4S + 3n n n n n n(I ) 求an 的通项公式：（）设bn= 1anan+1，求数列bn 的前 n

6、项和16（2015四川）设数列an (n = 1 ，2，3，) 的前 n 项和 Sn 满足 Sn = 2an - a1 ，且 a1 ，a2 + 1 ，a3 成等差数列（）求数列an 的通项公式；（）记数列 1 的前 n 项和为T ，求使得| T - 1| 0 ， n N ，n2 （）证明：函数 F (x) = f (x) - 2 在( 1 ，1) 内有且仅有一个零点（记为 x ) ，且 x = 1 + 1 xn+1 ； n n 2 n n 2 2 n（）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 gn (x) ，比较 fn (x) 和 gn (x) 的大小，并加以证

7、明19（2015山东）已知数列a 是首项为正数的等差数列，数列 1 的前 n 项和为 n n（1）求数列an 的通项公式；an an+12n + 1（2）设b = (a + 1) 2an ，求数列b 的前 n 项和T n n n n20（2014大纲版）等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，已知 a1 = 13 ， a2 为整数，且 SnS4 （1）求an 的通项公式；（2）nnn设b = 1 ，求数列b 的前 n 项和T anan+121（2014浙江）已知等差数列an 的公差 d 0 ，设an 的前 n 项和为 Sn ，a1 = 1 ，S2 S3 = 36 （）求 d 及 Sn ；m m

8、+1 m+ 2 m+ k（）求 m ， k(m, k N* ) 的值，使得 a + a + a + + a = 65 n 2 422（2014新课标）已知a 是递增的等差数列， a ， a 是方程 x2 - 5x + 6 = 0 的根（1）求an 的通项公式；（2）求数列an2n 的前 n 项和23（2014新课标）已知数列an 满足 a1 = 1 ， an+1 = 3an + 1 （）证明a + 1 是等比数列，并求a 的通项公式；n 2 n（）证明： 1 + 1a1 a2+ + 1an 1 时， - 得：n 1 2 2n-1 1Sn = a+ a2 - a1 + + an - an-1 -

9、 an 2 1 2 2n-1 2n= 1 - ( 1 + 1 + + 1 ) - 2 - n 2 4 2n-1 2n= 1 - (1 -12n-1) - 2 - n = n ，2n 2n所以 Sn= n ，2n-1综上，数列 an 的前 n 项和 S2n-1 n= n 2n-14（2019天津）设an 是等差数列，bn 是等比数列已知 a1 = 4 ， b1 = 6 ， b2 = 2a2 - 2 ，b3 = 2a3 + 4 （）求an 和bn 的通项公式；（）设数列c 满足 c = 1， c1, 2k n 2k+1,= k其中 k N * n 1 nb , n = 2k ,2 2(i) 求数列

10、a n (c n -1) 的通项公式；(ii) 求a c (n N ) 2n*i ii =1解：（）设等差数列an 的公差为 d ，等比数列bn 的公比为 q ，依题意有：6q = 6 + 2d6q2 = 12 + 4d，解得d = 3 ，q = 2 an = 4 + (n - 1) 3 = 3n + 1 ，nb = 6 2n-1 = 3 2n （） (i) 数列c 满足 c = 1， c1, 2k n 0 ， an+1 (Sn+1 + Sn ) = 2 （1）求 Sn ；（2）求1S1 + S2+ 1S2 + S3+ +1 Sn + Sn+12n解：（1） a1 = ， an 0 ， an+

11、1 (Sn+1 + Sn ) = 2 ，可得(Sn+1 - Sn )(Sn+1 + Sn ) = 2 ，S可得2n+1- S 2 = 2 ，nn即数列S 2为首项为 2，公差为 2 的等差数列， 可得 S 2 = 2 + 2(n -1) = 2n ，2n由 an 0 ，可得 Sn = ；（2）1 =12n + 2(n + 1)Sn + Sn+1n + n + 1= 2 ( 1) = 2 (- n) ，n + 12 2即有 1S1 + S2+ 1S2 + S3+ +1Sn + Sn+12= 2 (2- 1 + 3 -2 + 2 -3 +n + 1 - n)n + 1= 2 (2- 1) 7（20

12、18北京）设an 是等差数列，且 a1 = ln2 ， a2 + a3 = 5ln2 （）求an 的通项公式；（）求 ea1 + ea2 + ean 解：（） an 是等差数列，且 a1 = ln2 ， a2 + a3 = 5ln2 可得： 2a1 + 3d = 5ln2 ，可得 d = ln2 ，an 的通项公式； an = a1 + (n - 1)d = nln2 ，（） ean = eln2n = 2n ，a a a1 2 3n 2(1 - 2n )n+1 e 1 + e 2 + e n = 2 + 2+ 2 + 2= = 21 - 2- 2 8（2017全国）设数列b 的各项都为正数，

13、且b= bn n（1）证明数列 1 为等差数列；n+1bn + 1b n （2）设b1 = 1，求数列bnbn+1 的前 n 项和 Sn 解：（1）证明：数列b 的各项都为正数，且b= bn ，n两边取倒数得 1 = bn + 1 = 1 + 1 ，n+1bn + 1bn+1 bn bn故数列 1 为等差数列，其公差为 1，首项为 1 ；b b n 1（2）由（1）得， 1 = 1 ， 1 = 1 + (n - 1) = n ，b1故b = 1 ，所以b b =bn b11 = 1 - 1 ， n n n n+1n(n + 1) n n + 1因此 S= 1 - 1 + 1 - 1 + + 1

14、 - 1 = n n 2 2 3n n + 1n + 19（2017新课标）记 Sn 为等比数列an 的前 n 项和已知 S2 = 2 ， S3 = -6 （1）求an 的通项公式；（2）求 Sn ，并判断 Sn+1 ， Sn ， Sn + 2 是否成等差数列 解：（1）设等比数列an 首项为 a1 ，公比为 q ，则 a = S - S= -6 - 2 = -8 ，则 a = a3 = -8 ， a = a3 = -8 ， 3 3 21 q2 q22 q q由 a + a = 2 ， -8 + -8 = 2 ，整理得： q2 + 4q + 4 = 0 ，解得： q = -2 ， 1 2 q2

15、 q则 a = -2 ， a = (-2)(-2)n-1 = (-2)n ，1 na 的通项公式 a = (-2)n ；n na (1 - qn ) -21 - (-2)n 1（2）由（1）可知： S= 1 = = -2 + (-2)n+1 ，n 1 - q 1 - (-2) 3则 Sn+1= - 1 2 + (-2)n+2 ， S3n+ 2= - 1 2 + (-2)n+3 ， 3由 Sn+1+Sn+ 2= - 1 2 + (-2)n+2 - 1 2 + (-2)n+3 ， 3 3= - 1 4 + (-2) (-2)n+1 + (-2)2 (-2)n+1， 3= - 1 4 + 2(-2)

16、n+1 = 2 - 1 (2 + (-2)n+1) ，3 3= 2Sn ，即 Sn+1 + Sn+ 2 = 2Sn ， Sn+1 ， Sn ， Sn + 2 成等差数列10（2017新课标）设数列an 满足 a1 + 3a2 + + (2n - 1)an = 2n （1）求an 的通项公式；（2）求数列 an 的前 n 项和2n + 1解：（1）数列an 满足 a1 + 3a2 + + (2n - 1)an = 2n n2 时， a1 + 3a2 + + (2n - 3)an-1 = 2(n - 1) (2n - 1)an= 2 an= 2 2n - 1当 n = 1 时， a1 = 2 ，上

17、式也成立 an= 2 2n - 1（2） an =2 = 1 - 1 2n + 1 (2n -1)(2n + 1) 2n -1 2n + 1数列 an 的前 n 项和= (1 - 1) + (1 - 1) + + ( 1 - 1 ) = 1 - 1= 2n 2n + 1 3 3 5 2n - 1 2n + 1 2n + 1 2n + 111（2016新课标）已知a 是公差为 3 的等差数列，数列b 满足 b = 1 ， b = 1 ，nanbn+1 + bn+1 = nbn （）求an 的通项公式；（）求bn 的前 n 项和解：（） anbn+1 + bn+1 = nbn 当 n = 1 时， a1b2 + b2 = b1 b = 1 ， b = 1 ，n 1 2 31 2 3 a1 =