上海市闵行区七宝中学学年高一下学期期末数学试题答案和解析.docx

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上海市闵行区七宝中学学年高一下学期期末数学试题答案和解析

上海市闵行区七宝中学【最新】高一下学期期末数学试题

学校:

姓名：

班级：

考号：

一、填空题

1.方程cosx=sin*的解集为

O

2

.设｛%｝为等差数列，若41+%+〃9=），则生+/=

5.设数列｛叫的前〃项和S“，若％=—1,5”一0（〃tN）则｛%｝的通项公式为.

6.利用数学归纳法证明不等式“1+!

+:

+...+J二的过程中,232“-12、7

由“n=k"变到"〃=%+1”时，左边增加了项.

7.若/（工）=25吊工-1在区间［4可（〃,〃£1<且。

）上至少含有30个零点，则/?

一。

的最小值为.

3

则lim（%+%+・•・+qJ=

8.设数列｛“〃｝的通项公式为%=01丫

卜J〃>3

10.对于正项数列｛4｝‘定义"〃=--——J为｛4｝的“光阴”值，

6+2/+3%+♦♦・+”%

1121

14.数列｛/｝的前〃项和为S〃，若数列｛册｝的各项按如下规律排列：

：

，一，一，—,2334

2-〃

1『〃♦

♦

♦

4-5

3-5

2-5

1-5

3-4

2-4

u—13

…，—■,…有如下运算和结论：

n8

②数列％,%+4，〃4+〃5+4，%+4+%+/o，…是等比数列:

③数列4，4+%，

2

%+%+4，%+/+"9+60,…的前〃项和为［=汇三：

④若存在正整数k，使演<10,5a+i>10,则4=?

.其中正确的结论是.（将你认为正确的结论序号

都填上）二、单选题

15.已知伍”｝、鱼｝都是公差不为0的等差数歹ij,且也户2,S“=q+的+…+a”,n

2S

则lim—的值为（）

nb2/i

A.2B.-1C.1D.不存在

16.设伍”｝是公比为4（0<卜|<1）的无穷等比数列，若｛"”｝的前四项之和等于第五项

起以后所有项之和，则数列｛%“-J是（）

A.公比为!

的等比数列

2

B.公比为立的等比数列

2

C.公比为它或-它的等比数列

22

11

D.公比为正或一正的等比数列

17.函数y=sin（2x+0（O<8<1）图象的一条对称轴在（。

。

）内，则满足此条件的263

一个。

值为（）

7tc7T「71-54

A.—B.-C.-D.——

12636

18.若数列｛4｝的前〃项和为S“，则下列命题：

（1）若数列｛〃“｝是递增数列，则数列5“

也是递增数列；

（2）数列S”是递增数列的充要条件是数列｛《｝的各项均为正数：

（3）

若｛“〃｝是等差数列（公差400）,则S/S）…=。

的充要条件是■•出・・・4=0；（4）

若｛册｝是等比数列，则S\・S?

…Sk=0伙N2,keN）的充要条件是%+=0.其中,

正确命题的个数是（）

A・0个B・1个C・2个D.3个

三、解答题

19.已知函数/（力=/+（2—〃户一方的图象与％轴正半轴的交点为点4,0）,

〃=1,2,3,….

（1）求数列伍”｝的通项公式：

（2）令勿=3勺+（-1）"-匚4・24（“为正整数），问是否存在非零整数几，使得对任意

正整数〃，都有，+1>"?

若存在，求出4的值，若不存在，请说明理由.

20.已知函数/（x）=2j5sinxcosx+3sin2x+cos?

x-2,xeR.

（1）求函数/（力在（0,%）上的单调递增区间；

（2）在AABC中，内角4、3、。

所对边的长分别是“涉,。

，若/（A）=2,C=7,c=2,求△ABC的面积凡人8c的值.

21.已知函数f（x）=2sin（sx）,其中常数3>0

（1）令由1,判断函数F（x）=/•（“）+/（“+》的奇偶性，并说明理由；

（2）令3=2,将函数y=f（x）的图象向左平移个*单位，再向上平移1个单位，得到函数y气（x）的图象，对任意a£R,求y=g（x）在区间［a,a+10兀］上零点个数的所有可能值.

，10.5a+〃为正奇数

22.已知数列｛叫满足：

—+尸］加〃为正偶数，2—.

（1）求“2、。

3、°4:

（2）求证：

数列｛2｝为等比数列，并求其通项公式：

（3）求和4=。

2+%+3+/〃・

参考答案

1.卜=2kn+pJcGzj

【分析】

由诱导公式可得COSX=sin?

=cos：

=cos（-9,由余弦函数的周期性可得：

x=2kn±pfcGZ.

【详解】

因为方程8sx=sin｝由诱导公式律in£=cosg=cos（-9，ODOO

所以x=2kn±\fk€Z,

故答案为=2kn±pfcGzj.

【点睛】

本题考查解三角函数的方程，余弦函数的周期性和诱导公式的应用，属于基础题.

2.史

3

【解析】

【分析】

根据等差数列的性质：

在等差数列中若加+〃=〃+。

则=与+与即可

【详解】

%++的=冗=3a5

乃

•••\

。

2尸

a2+%=2%=—

故答案为：

y

【点睛】

本题主要考查的等差数列的性质：

若〃?

+〃=〃+q则='+4,这一性质是常考的知识点，属于基础题。

3.叵

3

【解析】

【分析】

根据同角三角函数的基本关系：

sin26/+cos2r/=H以及反三角函数即可解决。

【点睛】

本题主要考查了同角三角函数的基本关系，同角角三角函数基本关系主要有:

sin2a+cos?

a=Ltana=‘1n".属于基础题。

cosa

4-rvj

【解析】

【分析】

首先根据X的范围求出sinx的范围，从而求出值域。

【详解】

当一£时，一正vsinxKl，

332

由于反余弦函数是定义域［-1,1］上的减函数,

所以值域为0,不

故答案为：

°，丁.

L6）

【点睛】

本题主要考查了复合函数值域的求法：

首先求出内函数的值域再求外函数的值域。

属于基础

题°

-L〃=1a,!

-[-2x3,,-\n>2

【解析】

【分析】

5.,«=1

己知S”求%,通常分％进行求解即可。

b-S“T，〃N2

【详解】

〃之2时，an=Sn-S“_[=-an^--an，化为：

an+l=3an.乙乙

〃=1时，-\=a｝=-a2,解得a2=-2.不满足上式.

2

・.・数列｛%｝在几之2时成等比数列.

「・〃»2时,%=—2x3”-2.

-1,n=1

・'・（in=<0.

〃—2x3『/7v>2

■5

—1,〃=1

故答案为：

4Ga〃-2、9-

-2x3,n>2

【点睛】

本题主要考查了数列通项式的求法:

求数列通项式常用的方法有累加法、定义法、配凑法、累乘法等。

6.2A.

【分析】

分析题意，根据数学归纳法的证明方法得到〃=〃+1时，不等式左边的表示式是解答该题的

-一，由此将其对n=k2人+i_i

突破口，当〃=〃+1时，左边=1H11■…H:

1-+.・・+

232人一12人

时的式子进行对比，得到结果.

【详解】

当〃=〃时，左边=1+!

+?

+・一+/一，

232-1

当〃=k+1时,左边=1+二+-+•••+—77+二十・••+7

232人一12A2吐|一1

观察可知，增加的项数是2&川一1—（力-1）=2"7一2&=2\

故答案是2*.

【点睛】

该题考查的是有关数学归纳法的问题，在解题的过程中，需要明确式子的形式，正确理解对应式子中的量，认真分析，明确哪些项是添的，得到结果.

r86

7.—汽

3

【解析】

【分析】

首先求出“X）在［0,可上的两个零点，再根据周期性算出至少含有30个零点时。

、〃的值

即可

【详解】

根据〃x）=2sirit-l=。

即siiu=L故工=2攵江+巳，或x=2k;r+匹，

266

/（x）=2sinx-l在区间［。

力］且〃

）上至少含有30个零点，

「・不妨假设。

=£（此时，k=0）,则此时〃的最小值为284+苧，（此时，z=14）,

66

」・八一。

的最小值为284+2一工=3,

663

故答案为：

—7T

3

【点睛】

本题函数零点个数的判断，解决此类问题通常结合周期、函数图形进行解决。

属于难题。

145

8.——

24

【解析】

【分析】

根据数列的通项式求出前〃项和，再极限的思想即可解决此题。

【详解】

77,1<7?

<3

数列｛q｝的通项公式为4=\（1V,匕卜”3

【点睛】本题主要考查了给出数列的通项式求前〃项和以及极限。

求数列的前〃常用的方法有错位相减、分组求和、列项相消等。

本题主要利用了分组求和的方法。

9.377

【解析】

【分析】本题主要考查了已知数列的通项式求前〃和，根据题目分奇数项和偶数项直接求s9即可。

【详解】

“2"工〃为正奇数

"”=12〃-1,〃为正偶数’则S9=（1+4+16+64+256）+（3+7+11+15）

1-45

=+36=341+36=377.

1-4

故答案为：

377.

【点睛】

本题主要考查了给出数列的通项式求前〃项和以及极限。

求数列的前〃常用的方法有错位相减、分组求和、裂项相消等。

本题主要利用了分组求和的方法。

属于基础题。

【解析】

【分析】

2

根据的定义把Hn=带入Hn即可.

n+2

【详解】

•・・乩=

八n

：

.a.+2&hfna„=——

.H.

n（n+2）小

「・ax+2a2+...+nan=-①

2

•二q+2/+・•・+（〃-l）4i

①-②得nan=

n（n+2）-1）（〃+1）2〃+1

2〃+1

「・a=

〃2n

故答案为：

氏=口区

2n

【点睛】本题主要考查了新定义题，解新定义题首先需要读懂新定义，其次再根据题目的条件带入新定义即可，属于中等题。

11.

【分析】

由正弦定理将siniWsin,S+sin'C—sinSsin。

变为。

r+/-/,然后用余弦定理

推论可求cosA='m>L,进而根据余弦函数的图像性质可求得角A的取值范围.2bc2

【详解】因为sinZWsin,S+sin'。

-sinSsinC,所以c,即bc

所以c°sA二"宗二’因为Ae（O,/r）,所以Ae（O,g].

【点睛】

在三角形中，已知边和角或边、角关系，求角或边时，注意正弦、余弦定理的运用.条件只

2A

有角的正弦时，可用正弦定理的推论sin月=——，sin6=——，将角化为边.

2R2R

12.±1

【解析】

【分析】

首先从方程看是不能直接解出这个方程的根的，因此可以转化成函数，从函数的奇偶性出发。

【详解】

设/（x）=./-4arctan（cosx）+/r・。

2,则

/（一x）=（-x）~-4arctan（cos（-x））+/r・a2=x2-4aictan（cos,v）+7r-cr=f（x）

・・・/（x）为偶函数，其图象关于）'轴对称，

又依题意/（X）只有一个零点，故此零点只能是x=0,

所以0-4arctan（cos0）+乃=0,

「・-4arctanl+4,/=0,

・・-4x—=0,

4

42=1，:

.a=±\f

故答案为：

±1

【点睛】

本题主要考查了函数奇偶性以及零点与方程的关系，方程的根就是对应函数的零点，本题属于基础题。

13.4028

【解析】

【分析】

首先根据（'-2）'+2013（%-2）=sin丝艺、

（。

刈3-2）3+2013（。

2°13-2）=cos2015”即可求出a2和«20|3,从而求出52014。

【详解】

（«2-2）^2013（^,-2）=sin=①

/732015/rg、

（a）。

”—2）+2013（^?

013—2）=cos=——,②

62

①+②得，

-2）3+2013（〃2—2）+（42013-2）3+2013（42^3—2）=0，

即

（i72-2+fl2O13-2）^（fl2-2）2-（fl2-2）（fl2O13-2）+（6720,3-2）-J+2013（«2-2+672O13-2）=0

「・出一2+6/7（）|3—2=0,

即。

2+。

2013="

（cl+^7nld）x2014/、

s刈4=—号=1007x（a2+。

刈3）=4028，

故答案为：

4028.

【点睛】

本题主要考查了解方程，以及等差数列的性质和前〃项和。

其中等差数列的性质:

若

m+〃=p+q则=%+%比较常考，需理解掌握。

14.®®®

【分析】

①根据数列规律列出前24项即可判定①正确.②根据数列%,生+为，%+%+。

6，

%+6+%+%0,…是5，1，工，2,…，三一，F，即可得到等差数列，故②不I乙乙

正确.③利用等差数列的前〃项和公式即可判定③正确.④通过列出数列中的项和计算

7；=7.5<10,7；=10.5>0即可判定④正确.

【详解】

1121231234

①前24项构成的数列是：

彳，一，一，一，一，一，一，一，一，一，

123451234561

666667777778

3

所以。

）4=一，故①正确.

8

U—1H—2I

由等差数列定义一（常数）

222

所以数列4,a4+a5+a69。

7+/+%+40,

②数列%,%+%，%+%+。

6，%+。

8+为+4（），-

…是等差数列，故②不正确.

③因为数列N，/+%，a4+a5+a69%+角+%+.o，…是等差数列，

所以由等差数列前«项和公式可知：

7；,=-//+竺二UX'=匕&，

2224

故③正确.

④由③知：

％，%+%，%+%+〃6，%+4+为+%0，

41+”12+“13+"14+〃】5，〃】6+"17+%8+“19+'"20+421，

165123456156

是天，1,一，2,-,-+-+-+-+-+-=—+

24277777777

因为（=7.5<10,T6=10.5>0

所以存在攵=20,使SzoVlO,521>10t且%o二.

故④正确.

故答案为：

①③©.

【点睛】本题主要考查探究数列的规律，同时考查了等差数列的性质和数列的证明，属于难题.

15.C

【解析】

【分析】

/2S

首先根据比？

者=2求出数列｛q｝、｛a｝公差之间的关系，再代入也？

嬴即可。

n2n

【详解】

因为｛q｝和｛2｝都是公差不为零的等差数列，

所以设2=4+（〃-i）4?

q=4+（〃-1）&

故lim%=lim."+（〃二"J=2,可得4=24,

…bnfa+（7?

-l）J2

又因为4+4■*%=na\■*—和4〃="+（2〃—1）4代入

叫+出」必

2x；——=——

/也+〃（2/i-l）d2

故选：

C.

【点睛】

本题主要考查了极限的问题以及等差数列的通项属于基础题。

16.B

【解析】

【分析】

根据题意可得S“=2s、,带入等比数列前〃和即可解决。

【详解】

根据题意，若｛q｝的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，

则S”=2s4,

又由｛q｝是公比为q（Ov|4|vl）的无穷等比数列，则2=2。

（匚"―），变形可得1_ql-q

y,则…表，

数列｛%-｝为｛〃”｝的奇数项组成的数列,则数列｛生“-1｝为公比为/=乎的等比数列;2

若｛为｝是等差数列（公差4X0）,则由舟祝…S«=0不能推出毛”…像=0,例如数列：

-3,

-1,1,3,

满足S4=0,但0・。

2・43・a4工0,故（3）不正确.

若3｝是等比数列，贝IJ由85…S&=oa22,依N）可得数列的｛”“）公比为-1,故有

=0.

由“用=0可得数列的｛""｝公比为-1,可得S|・S2…&=0（42,由N）,故（4）正确.

故选B.

【点睛】

本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，数列的前〃项和的意义，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题.

19.

（1）an=n；

（2）存在，-1.

【分析】

（1）把点A带入f（x）=x2+（2-n）x-2wgprT

（2）根据

（1）的｛4｝计算出“、a,,再解不等式即可

【详解】

（1）设/（x）=。

，•¥2+（2-〃）工-2〃=0得2=-2,,12=〃.

所以：

（2）4=3〃+（—1）1"N"，若存在/IwO,满足么+1>2恒成立

即:

3n+I+（-l）n-2-2n+,>3"4-（-l）n-，-2-2",

‘口'>（—1）"，4恒成立

（3、〃-1

当〃为奇数时，->2=>2<1

当〃为偶数时,

13

>一九=>A>—2

3所以一二

2

【点睛】

本题考查了数列通项的求法，以及不等式恒成立的问题，不等式恒成立是一个难点，也是高考中的常考点，本题属于较难的题.

（兀［「54）3+/

20.

（1）0,-,,，乃；

（2）—

V3JL6J2

【解析】

【分析】

（1）首先把/（戈）化成/（x）=Asin（卬工+9）的型式，再根据三角函的单调性即可解决

（2）根据

（1）结果把/（A）=2代入可得A的大小，从而计算出B的大小，根据正弦定理以及面积公式即可解决。

【详解】

（1）因为/（x）=2>/3sirLVcos.v+3sin2x+cos2x-2

=V3sin2x+2sin-1

=V5sin2x-cos2x

=2sin（2x-j,

由一2+2Z/r«2x-二工巳+2攵万，kwZ,

262

得一巳十%方工工《三十%万，&wZ,

63

又X£（0,7r）,所以0

36

所以函数在（0,乃）上的递增区间为：

［。

。

，彳了）：

⑵因为/（4）=2,二2sin2A-^j=2,sin2A--^j=1,

2A--=-+2k7r,keZ,：

.A=-+k;r9keZ,623

＜：

.A=—.AB=—,312

23

在三角形48c中由正弦定理得一二=—J,上==1J-=>/3,sinAsinCsine。

2

T

=—acsinB=—x氓x2xsin2212

【点睛】

本题主要考查了三角函数问题以及解三角形问题。

三角函数问题常考周期、单调性最值等,在解三角形中长考的有正弦定理、余弦定理以及面积公式。

21.

（1）F（x）既不是奇函数，也不是偶函数

（2）21或20

【分析】

（1）特值法：

3=1时，写出/（、）、F（a）,求出尸《）、F（-^）,结合函数奇偶性的定义可作出正确判断；

（2）根据图象平移变换求出g（x）,令g（x）=0可得g（x）可能的零点，而［。

，a+10n］恰含10个周期，分“是零点，"不是零点两种情况讨论，结合图象可得g（X）在［a,a+10n］上零点个数的所有可能值.

【详解】

（1）/（x）=2sinx,

F（x）=/（x）+f（x+-）=2sinv+2sin（x+-）=2（siiiv+cos.r）,JJ22

F=2四，F（一:

）=0,F（一白羊FV）,F（一白W-F*）,

444444

所以，F（x）既不是奇函数，也不是偶函数.

（2）/（a）=2sin2x,

将y=/（x）的图象向左平移?

个单位，再向上平移1个单位后得到y=2sin2+1的图

oO

象,所以g（X）=2sin2（x+g）+1.

令g（x）=0,得刀=%1+'"或工=闻+三九（蛇z）,124

因为［小a+10n］恰含10个周期,所以，当”是零点时,在®〃+1呵上零点个数21,

当〃不是零点时，”+hr（fe）也都不是零点，区间［"+E,“+（-1）n］上恰有两个零点,故在［a,"lOn］上有20个零点.

综上，y=g（x）在®a+KM上零点个数的所有可能值为21或20.

【点睛】

本题考查函数y=Asin（3x+

考查数形结合思想，结合图象分析是解决

（2）问的关键

357（1V

22.

（1）——不:

；

（2）证明见解析：

（3）T=2n-l+-.

224”⑴

【解析】

【分析】

（1）直接带入递推公式即可

（2）证明3等于一个常数即可。

（3）根据

（2）的结果即可求出。

2”，从而求出乙。

【详解】

（0.5〃“+〃,〃为正奇数

⑴为正偶数’

可得4）=1HCL=1+—=—:

-222

（2）证明：

bn=a2n-2=1a2n_,+2«-1-2=1（t/2„_2-4/?

+4）+2/?

-1-2

可得数列也｝为公比为L首项为-1等比数列，22

/］、〃

即2=—-:

\2）

/［、〃

（3）由

（2）可得/“=2—1

<2>

0丫

=2〃————=2〃一1+—・

1.1

2

【点睛】

本题主要考查了根据通项求数列中的某一项，以及证明是等比数列和求前偶数项和的问题,在这里主要用了分组求和的方法。

2

现知某数列的“光阴"值为“〃=——，则数列｛为｝的通项公式为.

〃+2

11.aABC中，sin2A

12.关于x的方程/-4arctan（cos力+乃・“2=0只有一个实数根，则实数。

=

13.等差数列｛%｝前〃项和为S”，己知（%—2）、+2013（4-2）=sin”艺，

（^2013-2）3+2013（^2013-2）=cos,则S刈4=.