江西省南昌市2011届高三上学期调研测试卷(理科数学)(参考答案及评分标准).doc
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江西省南昌市2011届高三上学期调研测试卷
(数学理)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.第I卷1至2页,第II卷3至4页,共150分.
第I卷
考生注意:
1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2.第I卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.
3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回.
参考公式:
如果事件互斥,那么 球的表面积公式
如果事件相互独立,那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是,
那么次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,集合,则
A.B.C. D.
2.已知复数的实部为,虚部为2,则=
A.B.C. D.
3.若函数,则下列结论正确的是
A.存在a∈R,是偶函数
B.存在a∈R,是奇函数
C.对于任意的a∈R,在(0,+∞)上是增函数
D.对于任意的a∈R,在(0,+∞)上是减函数
4.如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是
边长为1的正方形,俯视图是一个直径为1的圆,
那么这个几何体的体积为
A.B.C.D.
5.已知数列的前项和为,且满足,,则数列的公差是
A. B. C. D.
6.若下框图所给的程序运行结果为S=20,那么判断框中应填入的关于的条件是
A.B.C.D.]
7.已知函数的最大值为4,最小值为0,最小正周期为,直线是其图象的一条对称轴,则符合条件的函数解析式是
A.B.
C.D.
)
8.设(其中为自然对数的底数),则的值为
A.B.C.D.
9.设圆的圆心在双曲线的右焦点上,且与此双曲线的渐近线相切,若圆被直线截得的弦长等于2,则
A.B.C.D.
10.如图,在透明塑料制成的长方体ABCD—A1B1C1D1容器内灌进一些水,将容器底面一边BC固定于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四个说法:
①水的部分始终呈棱柱状;
②水面四边形EFGH的面积不改变;
③棱A1D1始终与水面EFGH平行;
④当时,是定值.
其中正确说法是
A.①②③B.①③C.①②③④D.①③④
二.填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在题中横线上.
11.函数f(x)=的定义域为_________.
12.已知为坐标原点,点,若满足不等式组,则的最大值为__________.
13.直三棱柱的各顶点都在同一球面上,若,,
则此球的表面积等于
14.已知下面数列和递推关系:
①数列{an}(an=n)有递推关系an+2=2an+1–an;
②数列有递推关系:
③数列有递推关系:
请猜测出数列的一个类似的递推关系:
___________________________.
15.(在给出的二个题中,任选一题作答.若多选做,则按所做的第①题给分)
①已知圆的极坐标方程为,则该圆的圆心到直线的距离为____________.
②若不等式对任意的实数x恒成立,则实数a的取值范围是____________________.
三.解答题:
本大题共6小题,共75分。
其中(16)~(19)每小题12分,(20)题13分,(21)题14分.解答应写出文字说明,正明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知函数
(1)当时,求函数的值域;
(2)若,且,求的值.
17.(本小题满分12分)
在直角梯形PBCD中,,A为PD的中点,如下左图。
将沿AB折到的位置,使,点E在SD上,且,如下右图。
(1)求证:
平面ABCD;
(2)求二面角E—AC—D的正切值.
18.(本小题满分12分)
某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场.如
图,运动场是由一个矩形ABCD和分别以AD、BC为直
径的两个半圆组成.跑道是一条宽8米的塑胶跑道,运动
场除跑道外,其他地方均铺设草皮.已知塑胶跑道每平方
米造价为150元,草皮每平方米造价为30元
(1)设半圆的半径OA=(米),试建立塑胶跑道面积S与的函数关系S();
(2)由于条件限制,问当取何值时,运动场造价最低?
(取3.14)
19.(本小题满分12分)
设函数,已知它们在处的切线互相平行.
(1)求的值;
(2)若函数,且方程有且仅有四个解,求实数的取值范围.
20.(本小题满分13分)
从椭圆上一点向轴作垂线,垂足恰好为椭圆的左焦点是椭圆的右顶点,是椭圆的上顶点,且.
(1)求该椭圆的离心率;
(2)若过右焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点,点关于轴的对称点为,直线与轴交于点,求椭圆的方程.
21.(本小题满分14分)
已知各项均为正数的数列满足,且,其中.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列满足,是否存在正整数,使得成等比数列?
若存在,求出所有的的值;若不存在,请说明理由.
(3)令,记数列的前项积为,其中,试比较与9的大小,并加以证明.
参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共10题,每小题5分,共50分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
A
D
C
D
D
C
C
D
二、填空题:
(本大题共5题,每小题5,共25分)
11.[3,+∞]12.1213.14.
15.①②
三、解答题:
(本大题共6小题,共75分)
16.解:
(1)由已知…2分
当时,……………………4分
故函数的值域是(3,6]………………………………………………………6分
(2)由,得,即……………8分
因为),所以………………………………………10分
故……………………………12分
17.
(1)证明:
在图中,由题意可知,
为正方形,所以在图中,,
四边形ABCD是边长为2的正方形,
因为,ABBC,
所以BC平面SAB,……………………………………3分
又平面SAB,所以BCSA,又SAAB,
所以SA平面ABCD,…………………………………6分
(2)解法一:
在AD上取一点O,使,连接EO。
因为,所以EO//SA…………………………7分
所以EO平面ABCD,过O作OHAC交AC于H,连接EH,
则AC平面EOH,所以ACEH。
所以为二面角E—AC—D的平面角,…………………………………9分
在中,…11分
,即二面角E—AC—D的正切值为……………12分
解法二:
如图,以A为原点建立直角坐标系,
…………………7分
易知平面ACD的法向为
设平面EAC的法向量为
……………………9分
由,所以,可取
所以……………………………………………………………………11分
所以
所以,即二面角E—AC—D的正切值为…………………12分
18.解:
(1)塑胶跑道面积
-…………………4分
∵∴……………6分
(2)设运动场的造价为元
……8分
令∵当时
∴函数在上为减函数.……10分
∴当时,.
即运动场的造价最低为636460.8元.……………12分
19.解:
(1),,…2分
依题意:
,所以;……………………………………………………4分
(2)时,,时,,………5分
所以当时,取极小值;………………………………………6分
当时,方程不可能有四个解;………7分
当时,时,,
时,
所以时,取得极小值=2,又,所以的图像如下:
从图像可以看出不可能有四个解。
…………10分
当时,时,,时,
所以时,取得极小值=2,又,所以的图像如下:
从图像看出方程有四个解,则,
所以实数的取值范围是。
………………12分
20.(本小题满分13分)
解:
(1)令,得,
所以点P的坐标为,………………………2分
由得到:
,……………………………………………4分
所以,即离心率………………………………………………5分
(2)设直线的方程为:
,与椭圆方程
联立得到:
即:
…6分
记,,
则……………………………………………………7分
由A关于轴的对称点为,得,
则直线的方程是:
,过点得到:
…………………………………9分
即:
所以:
……………………………………………………11分
得到:
,所以:
……………………………………………………12分
所以所求椭圆方程为:
…………………………………………………13分
21.解:
(1)因为,即………1分
又,所以有,所以
所以数列是公比为的等比数列…………………………………………………2分
由得,解得
故数列的通项公式为…………………………………………4分
(2)=,所以,
若成等比数列,则,
即.…………………………………………………………5分
由,可得,所以,…7分
从而,又,且,所以,
此时.故当且仅当,.使得成等比数列………………8分
(3)构造函数
则,…………………………………………………………9分
当时,,即在上单调递减,
所以,…………………………………………10分
所以,所以,…11分
记,
则,…………………………………………12分
所以:
…………………13分
即,所以,所以………………………………………14分