重力应用下运动圆周运动.docx
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重力应用下运动圆周运动
重力作用下的运动圆周运动 万有引力
从研究的运动形式看，本章由单方向的直线运动，扩展到往复运动和曲线运动，从研究方法看，本章综合运用牛顿定律和匀变速直线运动的基本规律，对物体的运动规律及深层原因作了剖析，体现了牛顿定律在力学中的核心地位；从思想方法看，通过本章复习，使学生掌握确定物体运动情况的基本方法，掌握研究复杂运动的基本方法——正交分解、运动的合成与分解。
知识网络：
专题一 重力作用下的运动
——自由落体与竖直上抛
【考点透析】
一、 本专题考点：
本专题为II类要求，即要求对自由落体和竖直上抛运动的规律熟练掌握，并能够和生产、生活实际相联，解决具体问题。
二、 理解和掌握的内容
1.做自由落体与竖直上抛运动的物体均受重力作用，它们运动的加速度均为重力加速度。
2.自由落体运动:
可看成是匀变速直线运动的特例,即初速度=0，加速度a=g，满足初速度为零的匀加速直线运动的所有基本规律和推论。
3.竖直上抛运动：
（1）规律:
上升过成是加速度为g的匀减速运动，下落过程是自由落体运动，各自符合匀变速运动规律；全过程也符合a=–g（取 方向为正方向）的匀变速直线运动规律。
（2）两个结论：
上升的最大高度=，上升到最大高度所用的时间
4.竖直上抛运动的两种研究方法
（1）分段法：
上升阶段是匀减速直线运动，下落阶段是自由落体运动。
下落过程是上升过程的逆过程。
（2）整体法：
从全程来看，加速度方向始终与初速度V的方向相反，所以可把竖直上抛运动看成是一个匀变速运动，应用时要特别注意矢量的正负号。
一般选取向上为正方向，V总是正值，上升过程中V为正值，下降过程V为负值；物体在抛出点以上时h为正值，物体在抛出点以下时h为负值。
5．竖直上抛运动的上升阶段和下降阶段具有对称性
（1）速度对称：
上升和下降过程经过同一位置时速度等大反向。
（2）时间对称：
上升和下降过程经过同一段高度的上升时间和下降时间相等。
【例题精析】
例1 在竖直的井底，将一物块以11m/s的速度竖直地向上抛出，物体冲过井口再落到井口时被接住前1s内物体的位移是4m,位移方向向上，不计空气阻力，g取10m/s2，求：
（1）物体从抛出到被人接住所经历的时间。
（2）此竖直井的深度。
解析
（1）设人接住物块前1s时刻速度为v
则有 即 解得 v=9m/s
则物块从抛出到接住所有总时间为
（2）竖直井的深度为
把竖直上抛运动的全过程作为匀变速运动来处理比较简单，但在使用公式时应注意正方向的规定和式中各量正、负号的意义。
例2 滴水法测重力加速度的过程是这样的，让水龙头的水一滴一滴的滴在其正下方的盘子里，调整水龙头，让前一滴水滴到盘子里而听到声音时，后一滴恰离开水龙头。
测出从第一次听到声音到第n次听到水击盘声的总时间为t，用刻度尺量出水龙头口到盘子的高度差h，即可算出重力加速度。
设人耳能区别两个声音的时间隔为0.1s，声速为340m/s，则
A.水龙头距人耳的距离至少为34m B.水龙头距盘子的距离至少为34m
C.重力加速度的计算式为 D.重力加速度的计算式为
解析:
n次响声间隔时间对应（n-1）个水滴下落用的时间,所以一个水滴下落时间=.由h=得:
g= ，水龙头到盘子的距离最少为×10×0.12=0.05m≠34m.另外，需要指出人听到两滴水响声的时间间隔与人耳距水龙头的距离无关，正确答案：
D。
本题告诉我们一种粗测重力加速度的方法，是自由落体运动规律的基本应用。
解题关键是正确确定水滴下落时在空中的运动时间。
如不能建立正确的物理情境，找不到水滴下落的规律，就很容易错选。
比如许多同学没有正确分析出记录时间与水滴次数的关系而错选C。
思考拓宽：
本题中如让一滴水到盘子而听到声音时有一滴恰离开水龙头，且空中有一滴正在下落，从第一滴开始测得n次听到水击盘声的总时间为t，同样已知h。
则算出重力加速度g= ，且一滴落入盘中时，空中一滴离水龙头口的距离为 。
提示：
归纳得出第一滴经T落入盘中后每隔有一滴落入盘中，
故有T+（n-1）=t，得T=；由h=gt2,得g=
由于每隔相同的时间间隔下落一滴，因此当一滴刚好离开水龙头时，连续两滴间距离之比为1：
3，当有一滴刚好落入盘中时，中间一滴离水龙头口的距离为。
【能力提升】
Ⅰ知识与技能
1.小球从离地140m的高处自由下落，则小球在下落开始后的连续三个2s时间内的位移大小之比是
A．1:
3:
5 B.1:
3:
3 C.4:
12:
9 D.2:
2:
1
2.在轻绳的两端各拴一个小球，一人用手拿着绳一端的小球站在三层楼的阳台上，放手让小球自由下落，两小球相继落地的时间差为△t；如果站在四层楼的阳台上，同样放手让小球自由下落，则小球相继落地的时间差将
A．不变 B.变大 C.减小 D.无法确定
3.图4--1四个图,其中可以表示两个做自由落体运动的物体同时落地的υ—t图像是（t表示落地的时刻）
4.从地面竖直上抛物体A,同时在某一高度处有一物体B自由下落,两物体在空中相遇时的速率都是υ,则
A.物体A的上抛初速度大小是两物体相遇时速率的2倍
B.相遇时物体A已上升的高度和物体B已下落的高度相同
C.物体A和物体B在空中运动时间相等
D.物体A和物体B落地速度相等
5.将一小球以初速度为V从地面竖直上抛后,经4S小球离地面高度为6m,若要使小球竖直上抛后经2S到达相同高度，（g取10m/s2）不计阻力，则初速度V应
A．大于V B.小于V C.等于V D.无法确定
Ⅱ能力与素质
6.某同学身高1.8m，在运动会上他参加跳高比赛，起跳后身体横着越过1.8米高度的横杆。
据此可估算出他起跳时竖直向上的速度大约为（取g=10m/s）
A.2m/s B.4m/s C.6m/s D.8m/s
7.从某一高度相隔1s先后释放两个相同的小球甲和乙，不计空气阻力，它在空中的任一时刻
A．甲、乙两球的距离越来越大，甲、乙两球速度之差越来越大
B．甲、乙两球距离始终保持不变，甲、乙两球速度之差保持不变
C．甲、乙两球距离越来越大，但甲、乙两球速度之差保持不变
D．甲、乙两球距离越来越小，甲、乙两球速度之差越来越小
8．自地面将一物体竖直上抛，初速度大小为20m/s.当它的位移为15m时，经历的时间和运动速度分别为（g取10m/s，不计空气阻力，取竖直向上为正方向）
A．1s,10m/s B．2s,15m/s C．3s,-10m/s D．4s,-15m/s
9．某中学高一年级在“研究性学习”活动中，有一小组的研究课题是“测定当地的重力加速度g”，经该组成员讨论研究，设计出多种方案之一为“利用水滴下落测重力加速度g”，具体操作步骤如下：
（1）让水滴落到垫起来的盘子里，细心地调整水龙头的阀门，让水一滴一滴地流出（等时间间隔），同时调整盘子垫物的厚度，使一个水滴碰到盘子时恰好有另一个水滴从水龙头开始下落（此时刻速度为零），而且空中还有一个正在下落的水滴；
（2）用秒表测时间，以第一个水滴离开水龙头时开始记时，测第N个水滴落至盘中，共用时间为T；（3）用米尺测出水龙头滴水处到盘子的竖直距离h。
不计空气阻力。
求：
①第一滴水滴刚到盘子时，第二滴水离开水龙头的距离S。
②当地的重力加速度g。
专题二 物体做曲线运动的条件运动的合成与分解
【考点透析】
一、 本专题考点：
物体做曲线运动的条件为II类要求，运动的合成与分解为1类要求。
二、 理解和掌握的内容
1．曲线运动的特点:
运动轨迹是曲线，曲线运动的质点在某一时刻的即时速度方向，就是过曲线上该点的切线方向。
曲线运动一定是变速运动。
2．物体做曲线运动的条件：
由于物体的速度方向不断变化，因此物体的受的合外力及它产生的加速度的方向跟它的速度方向不在一条直线上。
3．处理曲线运动的基本方法：
运动的合成与分解。
理解以下几点：
（1）运动的独立性
一个物体可以同时参与两种或两种以上的运动，而每一种运动都不因为其它运动的存在而受到影响，运动是完全独立的。
物体的运动是这几个运动的合运动。
（2）运动的等时性
若一个物体同时参与几个运动，合运动与各分运动是在同一时间内进行的，它们之间不存在先后的问题。
（3）运动的合成法则
描述运动的量有位移（s）、速度（v）、加速度（a），它们都是矢量，其合成法则都是平行四边法则。
如图4—2
图4—2
两分运动垂直或正交分解后的合成满足：
（4）运动的分解是合成的逆运算，在解决实际问题的过程中一般要根据质点运动的实际效果分解。
已知分运动求合运动，叫做运动的合成；已知合运动求分运动，叫做运动的分解。
分运动与合运动是一种等效替代关系，运动的合成和分解是研究曲线运动的一种基本方法。
【例题精析】
例1如图4—3（甲）所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时突然使它所受的力方向变而大小不变（即由F变为-F）。
在此力作用下，物体以后的运动情况，下列说法正确的是:
A．物体不可能沿曲线Ba运动 B．物体不可能沿直线Bb运动
C．物体不可能沿曲线Bc运动 D．物体不可能沿原曲线B返回A
解析:
物体在A点时的速度沿A点的切线方向，物体在恒力F作用下沿曲线AB运动，此力F必有垂直于的分量，即F力只可能为图4—3（乙）中所示的各种方向之一，当物体到达B点时，瞬时速度沿B点的切线方向，这时受力Fˊ=-F，即Fˊ力只可能为图中所示的各种方向之一；可知物体以后只可能沿曲线Bc运动，所以本题的正确答案是A、B、D。
例题2 一艘小艇从河岸的A处出发渡河，小艇保持与河岸垂直的方向行驶，经过10min到达正对岸下游120m的C处，如图4—4所示，如果小艇保持原来的速度逆水斜向上游成θ角方向行驶，则经过12.5min恰好到达正对岸的B处，求河宽及水流的速度。
分析与解答：
设河宽为d，河水流速为v，船速为v，船两次运动速度合成如图4—5所示，依题意有：
①
BC= ②
③
由②可得 由①可得 故河宽
说明：
对小艇渡河的两种典型情况，要能熟练地画出其运动的合成的矢量图，并能用它解题。
思考与拓宽：
设小船相对静水的速度为，水流的速度为，河宽为d，分两种情况讨论小船渡河最短时间及最短航程：
（1）>
（2）<
答案：
在第
（1）种情况中，最短时间，此时船头与河岸垂直；最短航程，此时船头指向上游与河岸夹某一角度。
在第
（2）种情况中，最短时间，此时船头与河对岸垂直；最短航程；此时船的实际速度与两个分速度的关系如图4—6所示，其中与垂直,且OB为小船的最短航程。
例3 如图4—7所示，用绳牵引小船靠岸，若收绳的速度为v,在绳子与水平方向夹角为α的时刻，船的速度v有多大？
解析：
船的速度v的方向就是合运动的速度方向，由于这个v产生两个效果：
一是使绳系着小船的一端沿绳拉方向以速率v运动，二是使绳的这端绕滑轮作顺时针方向的圆周运动，那么合速度v应沿着绳子的牵引方向和垂直于绳子的方向分解
（如图4—8），从图中易知v=
物体拉绳或绳拉物体运动的分解，一般分解为沿绳方向的运动和垂直方向的运动，各点处沿绳方向上速度大小相等。
在进行速度分解时，首先要分清合速度与分速度，合速度就是
物体实际运动的速度。
物体的实际运动可看作那些分运动的叠加，找出相应的分速度。
在上述问题中，若不对船的运动认真分析，就很容易得出v=vcosθ的错误结果。
【能力提升】
Ⅰ知识与技能
1．关于互成角度的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动，下述说法正确的是
A．一定是直线运动 B．一定是抛物线运动
C．可能是直线运动，也可能是抛物线运动 D．以上说法都不对。
2．一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内
A．速度一定在不断地改变，加速度也一定不断地改变
B．速度一定在不断地改变，加速度可以不变
C．速度可以不变，加速度一定不断地改变
D．速度可不变，加速度也可以不变
3．一物体在几个不在同一直线上的恒力作用下处于平衡状态，现突然撤去其中一个力，而其它各力保持不变，则物体以后的运动可能是
A．匀加速直线运动 B．匀减速直线运动 C．匀变速曲线运动 D．匀速圆周运动
4．有一小汽车从半径为R的拱桥上的A点以恒定的速率运动到B点，如图4—9所示，试从以下说法中选出正确答案
A．汽车所受的合外力为零
B．汽车在A、B两处的速 度变化率为零
C．汽车在运动过程中保持动量不变
D.车所受合外力做功为零
5．小船在静水中速度为v，今小船要渡过一条河流，渡过时小船垂直对岸划行。
若小船划行至河中间时，河水流速突然增大，则渡河时间与预定时间相比将
A．增长 B．不变 C．缩短 D．无法确定
6．人在静水中速度为3km/h,现在他在流速为1.5km/h的河水中沿不同的方向从O点游到彼岸，这些不同方向与A岸的夹角分别为
A．30° B．60° C．90° D．120°
此人要以最短时间游到彼岸，应选的方向是4-10中的哪一个？
Ⅱ能力与素质
7．在抗洪抢险中，战士驾驭摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v，摩托艇在静水中的航速为v，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d，战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为
A． B．0 C． D．
8．两个宽度相同但长度不同的台球框固定在水平面上，从两个框的长边同时以相同的速度分别发出小球A和B，如图4-11所示，设球与框边碰撞时无机械能损失，不计摩擦，则两球回到最初出发的框边的先后是
A．A球先回到出发框边；
B．B球先回到出发框边；
C．两球同时回到出发框边；
D．因两框长度不明，故无法确定哪一个球先回到出发框边。
9．如图4-12所示，为一匀强电场，实线为电场线，一个带电粒子射入该电场后，留下一条虚线所示的经迹，途经a点和b点，则下面判断正确的是：
（设由a运动到b）（ ）
A．b点的电势高于a点的电势
B．粒子在a点的动能大于粒子在b点的动能
C．粒子在b点的电势能大于粒子在a点的电势能
D．该匀强电场的场强方向向左
10．如图4-13所示，在高为H的光滑平台上有一物体用绳子跨过定滑轮C，由地面上的人以均匀速度v向右拉动，不计人的高度，当人从地面上平台的边缘A处向右行走距离s到过B处时，物体的速度v= ，物体移动的距离为s=
专题三 重力作用下运动—平抛运动
【考点透析】
一、 本专题考点：
本专题为II类要求，必须熟练掌握解决平抛运动的基本方法。
二、 理解和掌握的内容
1．平抛运动的特点：
以水平初速度抛出的物体只在重力作用下的运动。
运动中质点仅受重力的作用，其运动的加速度为重力加速度。
运动轨迹为抛物线，其运动性质为匀变速曲线运动。
2．处理方法：
运用运动的合成与分解，把其中分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，如图4—14所示。
在x方向：
vx=v0， x=v0t
在y方向：
vy=gt y= gt2
设在t时间内质点运动到A点，则其速度与位置分别为：
速度 与的夹角 ；对o点的位移 ，与轴正方向的夹角
3．难点释疑
（1）平抛运动加速度恒定，是匀变速曲线运动，速度随时间均匀变化，即在任意相等的时间内，速度变化量相等。
（2）平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
这两个分运动同时存在，按各自的规律独立进行。
水平初速度大小不会影响竖直方向的分运动，一般情况下，竖直方向的分运动决定着平抛物体运动的时间。
【例题精析】
例题1如图4—15所示，斜面倾角为300，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到斜面B点，求：
①AB间的距离；②物体在空中飞行的时间；③从抛出开始经多少时间小球与斜面间的距离最大？
解析：
①、②由题意且设AB长为,得：
解得：
③将v0和重力加速度g沿平行于斜面和垂直于斜面方向正交分解图如图4—16所示，则当物体在垂直于斜面方向速度为零时与斜面距离最大，即：
所以，
本题中利用了斜面的倾角找到了小球落到斜面时两个方向上的位移关系，在实际题目中已知的角度有时告诉的是位移关系，有时是速度关系，解题时要注意具体问题具体分析。
如在本题中当小球与斜面之间的距离最大时，可知小球的速度方向定与斜面平行即速度方向与水平方向的夹角为300，，如图4—17所示，此时小球的竖直方向的分速度vy=v0tan300，又由vy=gt 可求得
思考拓宽：
某时刻质点的位移与初速度方向的夹角α，速度与初速度方向的夹角θ的关系为tanθ=2tanα。
因此，在分析问题时既要会区分两个角度，又要会利用二者之间的关系。
如下题：
如图4-18中上图所示，在倾角为37°的斜面底端正上方高h处平抛一物体，该物体落到斜面上的速度方向正好与斜面体的斜面垂直， 则物体抛出时的初速度为 （重力加速为g）
简析：
由已知，小球打在斜面上的速度v方向与斜面垂直即v与水平方向的夹角为
53°，如图4-19中下图，设小球打到斜面上水平方向的位移为x，竖直方向的位移为y，所以有：
，由图示几何关系
由以上二式解得
小球在竖直方向做自由落体运动，得
所以
故所求
例题2 在研究平抛运动的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长L=1.25cm,若小球在平抛运动途中的几个位置如图4-20中的a、b、c、d所示，则小球平抛的初速度的计算式为v0= （用L、g表示），其值是 （取g=9.8m/s2）
解析：
做匀变速直线运动的物体，相邻相等时间时间隔位移差是一个常数，即
平抛物体，竖直方向符合上式。
由题意知，a与b、b与c、c与d水平方向的位移相等，即时间间隔相同，有：
竖直方向：
水平方向：
代入数值得：
v0=0.7m/s
错解：
很多同学解此题时，几乎是下意识地将点作为抛出点由 及求得错误结果。
思考与拓宽：
从上面的解法中可看出，a点不是抛出点，那么抛出点在何处呢？
解：
设抛出点离a点的水平距离为x0，竖上距离为y0，从抛出到a点时间为t0,则a点竖直方向速度
求得 所以
即抛出点的坐标为 （x轴正方向为，y轴正方向竖直向下）
【能力提升】
Ⅰ知识与技能
1．如图4—21所示，以9.8m/s的水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直撞在倾角θ为300斜面上，可知物体完成这段飞行的时间是
A． B． C． D．
2．一架飞机水平地匀速飞行，从飞机上每隔1s释放一个铁球，先后共放4个，若不计空气阻力，则4个球
A．任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的。
B．任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是不等间距的
C．在空中任何时刻总在飞机下方排成竖直的直线，它们的落地点是等间距的
D．在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点是不等间距的
3．如图4—22所示，火车厢在水平轨道上以速度v向西作匀速直线运动，车上有人相对车厢为u的速度向东水平抛出一小球，已知v>u，站在地面上的人看到小球的运动轨迹应是（图中箭头表示列车运动的方向）
4．如图4—23所示，斜面上有a、b、c、d四个点，ab=bc=cd，从a点正上方的O点以速度v水平抛出一个小球，它落在斜面上b。
若小球从O点以速度2v水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的
A．b与c之间的某上点 B．c点
C．c与d之间的某点 D．d点
5．如图4—24所示，从倾角为θ的斜面顶端抛出一个小球，落在斜面上某处，那么小球落在斜面上的速度与斜面的夹角α，则α为
A．不可能等于900 B．随初速度增大而增大
C．随初速度增大而减小 D．与初速度大小无关
6．对于平抛运动（不计空气阻力，g为已知），下列条件中可确定物体飞行时间的是
A．已知水平位移 B．已知下落高度
C．已知初速度 D．已知位移的大小和方向
7．小球由倾角为300的斜面上某一点平抛，初动能为6J，它落到斜面上时动能为 J
8．飞机以恒定的速度v沿水平方向飞行，高度为200m。
在飞行过程中释放一炸弹，经过30s后飞行员听见炸弹落地的爆炸声，假设爆炸声向空间各个方向的传播速度都为330m/s，炸弹受到的空气阻力可以忽略。
求该飞机的飞行速度v
9．如图4-25所示，一水平放置的平行板电容器的极板长为，板间距离为d，
离极板右端距离为S处有一竖直放置荧光屏，现让两极板带上等量异种电荷，有一束带正电的粒子（不计重力）沿两极板之间中线且平行极板从左端射入，从下极板右端飞出电场。
设
极板间中线交荧光屏于O点，求粒子击中荧光屏处离O点的距离y。
10．如图4-26所示，一个圆柱器的内壁是光滑的，圆柱高为h，直径为d，一小球从柱的顶端A处直径方向水平射出，在B处和器壁发生碰撞（碰撞中无机械能损失）后被弹射回来，如此反复整数次后落到容器底部。
设水平射出的初速度为v，求小球在容器中弹射的次数。
专题四 圆周运动的规律及处理方法
【考点透析】
一、 本专题考点：
本专题为II类要求。
不要求推导向心力公式。
二、 理解和掌握的内容
1.描述圆周运动的物理量:
（1）线速度：
是用来描述质点沿圆周运动快慢的物理量，是矢量，方向：
沿质点在圆弧上的点的切线方向；大小：
（s是t时间内质点通过的弧长）.
（2）角速度：
用来描述质点绕圆心转动的快慢，其大小：
（rad/s），其中ф是连接质点和圆心的半径在时间t内转过的角度。
（3）周期与频率：
做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期，用T表示。
做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，叫做频率，也叫转速，用f表示。
以上四量的关系：
T=，ω=πrf=ωr
注意：
T、f、r三个量中任一个确定，其余两个也就确定了。
但还是和半径r有关。
（4）向心加速度：
是用来描述质点速度方向改变快慢的物理量，是矢量。
大小：
方向：
总是指向圆心，方向时刻在变化，不论a的大小是否变化，a都是个变加速度。
因此，做圆周运动的物体一定是在做变加速曲线运动。
（5）向心力：
是根据其作用效果命名的，向心力产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变速度的大小。
因此，向心力对期待圆周运动的物体不做功。
大小：
F=
方向：
总是沿半径指向圆心，时刻在变化，即向心力是变力。
2．圆周运动：
（1）匀速圆周运动：
①特点：
线速度的大小恒定，角速度、周期和频率都是恒定不变的，向心加速度和向心力的大小也是恒定不变的。
②性质：
是速度大小不变而速度方向时刻在变的变速曲线运动，并且是加速度大小不变、方向时刻变化的变加速曲线运动。
③做匀速圆周运动的条件：
物体所受的合外力充当向心力，其大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。
（2）一般的圆周运动：
即非匀速圆周运动，速度大小有变化，向心力和向心加速度的大小也随着变化
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