高中数学苏教版选修22教学案第1章 15 153 微积分基本定理.docx

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高中数学苏教版选修22教学案第1章15153微积分基本定理

1．5.3　微积分基本定理

[对应学生用书P28]

已知函数f（x）＝2x＋1，F（x）＝x2＋x.

问题1：

f（x）和F（x）有何关系？

提示：

F′（x）＝f（x）．

问题2：

利用定积分的几何意义求

（2x＋1）dx的值．

提示：

（2x＋1）dx＝6.

问题3：

求F

（2）－F（0）的值．

提示：

F

（2）－F（0）＝4＋2＝6.

问题4：

你得出什么结论？

提示：

f（x）dx＝F

（2）－F（0），且F′（x）＝f（x）．

问题5：

已知f（x）＝x3，F（x）＝

x4，试探究

f（x）dx与F

（1）－F（0）的关系．

提示：

因

f（x）dx＝

x3dx＝

.F

（1）－F（0）＝

，有

f（x）＝F

（1）－F（0）且F′（x）＝f（x）．

微积分基本定理

对于被积函数f（x），如果F′（x）＝f（x），那么

f（x）dx＝F（b）－F（a），即

F′（x）dx＝F（b）－F（a）．

1．微积分基本定理表明，计算定积分

f（x）dx的关键是找到满足F′（x）＝f（x）的函数F（x）．通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F（x）．

2．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，最重要的是它也提供了计算定积分的一种有效方法．

求简单函数的定积分

[例1]　求下列定积分：

（1）

（x2＋2x＋3）dx；

（2）

（sinx－cosx）dx；

（3）

（cosx－ex）dx.

[思路点拨]　先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解．

[精解详析]　

（1）取F（x）＝

＋x2＋3x，

则F′（x）＝x2＋2x＋3，

从而

（x2＋2x＋3）dx＝

F′（x）dx＝F

（2）－F

（1）＝

.

（2）取F（x）＝－cosx－sinx，

则F′（x）＝sinx－cosx，

从而

（sinx－cosx）dx＝

F′（x）dx＝F（π）－F（0）＝2.

（3）取F（x）＝sinx－ex，则F′（x）＝cosx－ex，