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定义证明二重极限

　　定义证明二重极限　　就是说当点落在以点附近的一个小圈圈内的时候，f与a的差的绝对值会灰常灰常的接近。

那么就说f在点的极限为a　　关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：

定义1设函数在点的某一邻域内有定义，如果对于任意给定的正数。

，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点p所对应的函数值都满足不等式那末，常数a就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于d的点，若对于任意给定的正数。

，总存在正数a，使得对d内适合不等式0　　利用极限存在准则证明：

　　当x趋近于正无穷时，的极限为0;　　证明数列{xn}，其中a>0，xo>0,xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。

　　1）用夹逼准则:

　　x大于1时,lnx>0,x_>0,故lnx/x_>0　　且lnx1）,lnx/x_　　故的极限为0　　2）用单调有界数列收敛:

　　分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a　　x0>√a时,xn-x=/2　　且xn=/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.　　设数列极限为a,xn和x极限都为a.　　对原始两边求极限得a=/2.解得a=√a　　同理可求x0　　综上,数列极限存在,且为√　　时函数的极限：

　　以时和为例引入.　　介绍符号:

的意义,的直观意义.　　定义　　几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.　　例1验证例2验证例3验证证……　　时函数的极限：

　　由考虑时的极限引入.　　定义函数极限的“”定义.　　几何意义.　　用定义验证函数极限的基本思路.　　例4验证例5验证例6验证证由=　　为使需有为使需有于是,倘限制,就有　　例7验证例8验证单侧极限:

　　1.定义：

单侧极限的定义及记法.　　几何意义:

介绍半邻域然后介绍等的几何意义.　　例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:

　　th类似有:

例10证明:

极限不存在.　　例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有　　=§2函数极限的性质　　教学目的：

使学生掌握函数极限的基本性质。

　　教学要求：

掌握函数极限的基本性质：

唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

　　教学重点：

函数极限的性质及其计算。

　　教学难点：

函数极限性质证明及其应用。

　　教学方法：

讲练结合。

　　一、组织教学：

　　我们引进了六种极限:

.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.　　二、讲授新课：

　　函数极限的性质:

以下性质均以定理形式给出.　　1.唯一性:

　　2.局部有界性:

　　3.局部保号性:

　　4.单调性:

　　th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=　　註:

若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.　　5.迫敛性:

　　6.四则运算性质:

　　利用极限性质求极限：

已证明过以下几个极限：

　　　　这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.　　利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：

通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.　　例1　　例2例3註:

关于的有理分式当时的极限.　　例4　　例5例6例7　　证明二重极限不存在　　如何判断二重极限不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。

由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f不存在,通常的方法是:

找几条通过定点的特殊曲线,如果动点沿这些曲线趋于时,f趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0f不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过,并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y→y0fg的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f-g=0,这样做就很容易出错。

例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-=0→时,所得的结论就不同→1）。

为什么会出现这种情况呢?

仔细分析一下就不难得到答案　　2　　若用沿曲线，一g=0趋近于来讨论，一0g，y。

。

可能会出现错误，只有证明了不是孤立点后才不会出错。

o13a1673-38780l__0l02__02如何判断二重极限不存在。

是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。

只是略谈一下在判断二重极限不存在时。

一个值得注意的问题。

由二重极限的定义知，要讨论limf不存在，通常x—’10y—’y0的方法是：

找几条通过定点的特殊曲线，如果动点沿这些曲线趋于时，f趋于不同的值，则可判定二重极限limf不存在，这一方i—’10r’y0法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲线时，是有一定技巧的，不过不管找哪条曲线，这条曲线一定要经过，并且定点是这条曲线的非孤立点，这一点很容易疏忽大意，特别是为图方便，对于型如2的极限，在判卜’iogx，yy—·y0断其不存在时，不少人找的曲线是f一g：

0，这样做就很容易出错。

　　3　　当沿曲线y=-x+x_趋于时，极限为lim/x_=-1;　　当沿直线y=x趋于时，极限为limx_/2x=0。

故极限不存在。

　　4　　x-y+x_+y_　　f=————————　　x+y　　它的累次极限存在：

　　x-y+x_+y_　　limlim————————=-1　　y->0x->0x+y　　x-y+x_+y_　　limlim————————=1　　x->0y->0x+y　　当沿斜率不同的直线y=mx,->时，易证极限不同，所以它的二重极限不存在。

　　例1、用数列极限定义证明：

limn?

0n?

n2?

7　　n?

2时n?

22n2nn?

2224|2?

0|?

nn?

7n?

nn?

1n?

n　　2　　上面的系列式子要想成立，需要第一个等号和不等号、、均成立方可。

第一个等号成立的条件是n>2；不等号成立的条件是2　　n4，即n>2；不等号成立的条件是n?

，故取n=max{7,2?

　　44}。

这样当n>n时，有n>7，n?

。

　　4因为n>7,所以等号第一个等号、不等式、、能成立；因为n?

，所以不等号成立的条件是1?

　　|不等式能成立，因此当n>n时，上述系列不等式均成立，亦即当n>n时，　　在这个例题中，大量使用了把一个数字放大为n或n?

0|?

。

n2?

7n的方法，因此，对于具体的数，．．．．．．．2　　可把它放大为的形式．．．．．．kn．．．．．．．．．．．．．．．　　n?

0n?

n2?

1　　n?

4n?

4时n?

n2n2|2?

0|?

1n?

1n2n　　22不等号成立的条件是n?

故取n=max{4,},则当n>n时，上面的不等式都成?

例2、用数列极限定义证明：

lim　　立。

　　注：

对于一个由若干项组成的代数式，可放大或缩小为这个代数式的一部分。

如：

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　　n2?

n2　　n2?

n　　n?

n22　　n2?

1　　n　　例3、已知an?

，证明数列an的极限是零。

2　　n11　　证明：

0，欲使|an?

0|?

||?

成立22n?

1　　11?

解得：

1，由于上述式子中的等式和不等号对于任意的正整n?

　　1数n都是成立的，因此取n?

，则当n>n时，不等号成立，进而上述系列等式由不等式?

　　和不等式均成立，所以当n>n时，|an?

0|?

。

　　在上面的证明中，设定0?

1，而数列极限定义中的?

是任意的，为什么要这样设定？

这样设定是否符合数列极限的定义？

　　在数列极限定义中，n是一个正整数，此题如若不设定0?

1，则n?

就有1　　?

　　可能不是正整数，例如若?

＝2，则此时n＝－1，故为了符合数列极限的定义，先设定0?

1，这样就能保证n是正整数了。

　　那么对于大于1的?

，是否能找到对应的n？

能找到。

按照上面已经证明的结论，当?

＝0.5时，有对应的n1，当n>n1时，|an?

0|＜0.5成立。

因此，当n＞n1时，对于任意的大于1的?

，下列式子成立：

　　|an?

0|＜0.5＜1＜?

，亦即对于所有大于1的?

，我们都能找到与它相对应的n=n1。

因此，在数列极限证明中，?

可限小。

只要对于较小的?

能找到对应的n，则对于较大的?

．．．　　就自然能找到对应的n。

　　极限定义证明　　趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0　　x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2　　这两个用函数极限定义怎么证明?

　　x趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0　　证明：

对于任意给定的ξ>0，要使不等式　　|1-4x_/2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1|　　需要0　　　　g=max{f1,....fm};　　然后求极限就能得到limg=max{a1,...am}。

　　其实这个看起来显然，但对于求极限能放到括号里面，但真要用极限定义严格说明却和上面的证明差不多。

　　有种简单点的方法，就是　　max{a,b}=|a+b|/2+|a-b|/2从而为简单代数式。

　　多个求max相当于先对f1，f2求max，再对结果和f3求，然后继续，从而为有限次代数运算式，　　故极限可以放进去。

　　2　　一）时函数的极限：

　　以时和为例引入.　　介绍符号:

　　1.定义：

单侧极限的定义及记法.　　几何意义:

介绍半邻域然后介绍等的几何意义.　　例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:

　　th类似有:

例10证明:

极限不存在.　　例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有　　=§2函数极限的性质　　教学目的：

使学生掌握函数极限的基本性质。

　　教学要求：

掌握函数极限的基本性质：

唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

　　教学重点：

函数极限的性质及其计算。

　　教学难点：

函数极限性质证明及其应用。

　　教学方法：

讲练结合。

　　一、组织教学：

　　我们引进了六种极限:

.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.　　二、讲授新课：

　　函数极限的性质:

以下性质均以定理形式给出.　　1.唯一性:

　　2.局部有界性:

　　3.局部保号性:

　　4.单调性:

　　th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=　　註:

若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.　　5.迫敛性:

　　6.四则运算性质:

　　利用极限性质求极限：

已证明过以下几个极限：

通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.　　例1　　例2例3註:

关于的有理分式当时的极限.　　例4　　例5例6例7　　2　　习题1?

3　　1.根据函数极限的定义证明:

　　lim?

8;x?

3　　lim?

12;x?

2　　x2?

4;limx?

2x?

2　　1?

4x3　　lim?

2.　　x?

2x?

12　　1证明分析|?

8|?

|3x?

9|?

3|x?

3|,要使|?

8|?

只须|x?

3|?

.3　　1证明因为?

0,?

当0?

|x?

3|?

时,有|?

8|?

所以lim?

8.x?

33　　1分析|?

12|?

|5x?

10|?

5|x?

2|,要使|?

12|?

只须|x?

2|?

.5　　1证明因为?

0,?

当0?

|x?

2|?

时,有|?

12|?

所以lim?

12.x?

25　　分析　　|x?

.x2?

4x2?

4x?

4x2?

|x?

2|?

|x?

|,要使?

只须x?

2x?

2　　x2?

4x2?

所以lim?

4.证明因为?

0,?

当0?

|x?

时,有x?

2x?

2　　分析1?

4x3111?

4x31?

只须|x?

|1?

2x?

2|?

2|x?

|,要使2x?

12x?

1222　　1?

4x3111?

4x3　　?

所以lim证明因为?

0,?

当0?

|x?

时,有?

2.12x?

12x?

122x?

2.根据函数极限的定义证明:

　　lim1?

x3　　2x3　　sinxx?

1;2limx?

0.　　证明分析　　|x|?

1　　1?

x32x311?

x3?

22x3?

12|x|3,要使1?

x32x3?

11?

只须?

即322|x|2?

.　　证明因为?

0,?

分析　　sinxx?

　　12?

　　,当|x|?

x时,有1x　　1?

x32x311?

x31?

所以lim?

.　　x?

2x322　　1x　　?

即x?

　　sinxx　　|sinx|x　　?

要使　　sinx　　证明因为?

0,?

2　　,当x?

x时,有　　xsinxx　　?

只须　　?

　　.　　?

所以lim　　x?

0.　　3.当x?

2时,y?

x2?

4.问?

等于多少,使当|x?

2|　　解由于x?

2,|x?

2|?

0,不妨设|x?

2|?

1,即1?

3.要使|x2?

4|?

|x?

2||x?

2|?

5|x?

2|?

0.001,只要　　|x?

2|?

　　0.001　　?

0.0002,取?

0.0002,则当0?

|x?

2|?

时,就有|x2?

4|?

0.001.5　　x2?

1x?

3　　4.当x?

时,y?

　　x2?

1x2?

3　　?

1,问x等于多少,使当|x|>x时,|y?

1|　　解要使?

　　4x2?

3　　?

0.01,只|x|?

397,x?

.0.01　　5.证明函数f?

|x|当x?

0时极限为零.　　x|x|　　6.求f?

当x?

0时的左﹑右极限,并说明它们在x?

0时的极限是否存在.　　xx　　证明因为　　x　　limf?

lim?

lim1?

1,　　x?

xx?

x　　limf?

lim?

lim1?

1,　　x?

xx?

limf?

limf,?

0　　x?

0　　所以极限limf存在.　　x?

0　　因为　　lim?

lim?

0　　x?

0　　|x|?

x　　?

lim?

1,?

0xx|x|x?

lim?

1,xx?

x　　lim?

lim?

0　　x?

0　　lim?

lim?

0　　x?

0　　所以极限lim?

不存在.　　x?

0　　7.证明:

若x?

及x?

时,函数f的极限都存在且都等于a,则limf?

a.　　x?

　　证明因为limf?

a,limf?

a,所以?

>0,　　x?

x1?

0,使当x?

x1时,有|f?

a|?

x2?

0,使当x?

x2时,有|f?

a|?

.　　取x?

max{x1,x2},则当|x|?

x时,有|f?

a|?

即limf?

a.　　x?

　　8.根据极限的定义证明:

函数f当x?

x0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.　　证明先证明必要性.设f?

a,则?

>0,?

0,使当0　　|f?

a|　　因此当x0?

　　|f?

a|　　这说明f当x?

x0时左右极限都存在并且都等于a.再证明充分性.设f?

a,则?

>0,?

1>0,使当x0?

10,使当x0　　取?

min{?

1,?

2},则当0　　|f?

a|　　即f?

a.　　9.试给出x?

时函数极限的局部有界性的定理,并加以证明.　　解x?

时函数极限的局部有界性的定理?

如果f当x?

时的极限存在?

则存在x?

0及m?

使当|x|?

x时?

|f|?

　　证明设f?

则对于?

当|x|?

x时?

有|f?

a|?

所以|f|?

|f?

a|?

|f?

a|?

|a|?

　　这就是说存在x?

0及m?

使当|x|?

x时?

|f|?

其中m?

|a|?

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