直线与平面的平行垂直判定经典例题.docx
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直线与平面的平行垂直判定经典例题
、教学目标
1.巩固直线与平面的平行、垂直判定
二、上课容
1、回顾上节课容
2、直线与平面的平行、垂直判定知识点回顾
3、经典例题讲解
4、课堂练习
三、课后作业
见课后练习
一、上节课知识点回顾
1.平面的基本性质
公理1：
如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面.
2.直线与直线的位置关系
（1）位置关系的分类
平行共面直线相交
异面直线：
不同在任何一个平面内
3.直线与平面平行的判定与性质
判定
性质
定义
定理
图形
条件
ana=?
a?
a,b?
a,
a/a
a//a,a?
氏
a/b
aQp=b
结论
a//a
b/a
ana=?
a/b
4.面面平行的判定与性质
判定
性质
定义
定理
图
形
条
件
aQB=?
a?
Bb?
B
allB,any
allB,a?
B
anb=P,
a/a,b/a
=a,Bny=b
结
论
allB
all[3
a/b
a//a
二、直线与平面平行、垂直的判定知识点回顾
1.直线与平面垂直
（1）判定直线和平面垂直的方法
1定义法.
2利用判定定理：
一条直线和一个平面的两条相交直线都垂直，则该直线和此
平面垂直.
3推论：
如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也
垂直这个平面.
（2）直线和平面垂直的性质
1直线垂直于平面，则垂直于平面任意直线.
2垂直于同一个平面的两条直线平—
3垂直于同一条直线的两平面平行.
2.斜线和平面所成的角
斜线和它在平面的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角.
3.平面与平面垂直
（1）平面与平面垂直的判定方法
1定义法.
2利用判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线这两个平面垂直.
（2）平面与平面垂直的性质
两平面垂直，则一个平面垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
4.二面角的有关概念
（1）二面角：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
（2）二面角的平面角：
二面角棱上的一点，在两个半平面分别作与棱垂直的射线,则两射线所成的角叫做二面角的平面角.
［难点正本疑点清源］
1.两个平面垂直的性质定理
两个平面垂直的性质定理，即如果两个平面垂直，那么在一个平面垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点到平面距离的依据，要过平面外一点P作
平面的垂线，通常是先作（找）一个过点P并且和a垂直的平面B,设pna=l,在p作直线a丄l，贝ya丄a
2.两平面垂直的判定
（1）两个平面所成的二面角是直角；
（2）—个平面经过另一平面的垂线.
方法与技巧
1.证明线面垂直的方法
（1）线面垂直的定义：
a与a任何直线都垂直？
a丄a；
m、n?
amAn=A
（2）判定定理1:
?
I丄a；
l丄m,I丄n
（3）判定定理2：
a//b,a丄a?
b±a；
⑷面面平行的性质：
allB,a丄a?
a丄B；
（5）面面垂直的性质：
a丄B,aAp=I,a?
a,a丄I?
a丄B
2.证明线线垂直的方法
（1）定义：
两条直线所成的角为90°
（2）平面几何中证明线线垂直的方法；
（3）线面垂直的性质：
a丄a,b?
a?
a丄b；
（4）线面垂直的性质：
a丄a,b/a?
a丄b.
3.证明面面垂直的方法
（1）利用定义：
两个平面相交，所成的二面角是直二面角；
（2）判定定理：
a?
a,a丄B?
a丄B
4.转化思想：
垂直关系的转化
塑我療貞生蜿齒型宜竺面血；隹克
4JI
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图
中不存在，则可通过作辅助线来解决.
失误与防
1.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.
2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.
三、经典例题讲解
（一）直线与平面垂直的判定与性质
例1:
如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA丄底面ABCD,AB丄AD,
AC丄CD，/ABC=60°FA=AB=BC,E是PC的中点.
证明：
（1）CD丄AE;
（2）PD丄平面ABE.
（二）平面与平面垂直的判定与性质
例2:
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AiBi=A1C1,D,
E分别是棱BC,CCi上的点（点D不同于点C）,且AD丄DE,F为
BiCi的中点.
求证：
（1）平面ADE丄平面BCCiBi；⑵直线AiF//平面ADE.
（三）线面、面面垂直的综合应用
例3:
如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面FAD丄平面ABCD,
AB//DC,△FAD是等边三角形，已知BD=2AD=8,AB=2DC=4「5.
（1）设M是PC上的一点，求证：
平面MBD丄平面FAD;
⑵求四棱锥P—ABCD的体积.
（四）线面角、二面角的求法
例4:
如图，在四棱锥P—ABCD中，FA丄底面ABCD,AB丄AD,AC丄CD,
/ABC=60°FA=AB=BC,E是PC的中点.
（1）求FB和平面FAD所成的角的大小；
（2）证明AE丄平面PCD;
（3）求二面角A—PD—C的正弦值.
四、课堂练习
选择题：
1、如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD丄底面ABCD,
则下列结论中不正确的是（）
・・
A.AC丄SB
B.AB//平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
2、正方体ABCD—AiBiCiDi中，BBi与平面ACDi所成角的余弦值为（）
“2'3^2.'6
c・3Dp
3、已知I,m是不同的两条直线，aB是不重合的两个平面，则下列命题中为真
命题的是（）
A.若I丄a,a丄B贝卩I//B
B.若I//a,a丄伏则I//B
C.若I丄m,allB,m?
B贝卩I丄a
D.若I丄aallB,m?
B,贝卩丨丄m
4、已知矩形ABCD,AB=1,BC=「2,将厶ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中
填空题：
、［3
1.在正四棱锥P—ABCD中，FA^^AB,M是BC的中点，G是厶FAD的重心,则在平面FAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有.
2.已知a、b、I表示三条不同的直线，aB丫表示三个不同的平面，有下列四个命题：
1若anB=a,B^尸b,且a//b,贝Ually
2若a、b相交，且都在aB外，a//aa//Bb//ab//B,贝卩allB；
3若a丄B,anB=a,b?
B,a丄b,贝Ub丄a；
4若a?
ab?
a,I丄a,I丄b,I?
a则I丄a
其中正确命题的序号是.
解答题:
1、
（1）如图所示，证明命题“a是平面n的一条直线，b是n
外的一条直线（b不垂直于力,c是直线b在n上的投影，若
a丄b,贝Sa丄c”为真；
（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需证明）.
2、如图所示，已知长方体ABCD—AiBiCiDi的底面ABCD为正方形，E为线段
ADi的中点，F为线段BDi的中点，
（1）求证：
EF//平面ABCD;
（2）设M为线段CiC的中点，当DD的比值为多少时，DF丄
平面DiMB?
并说明理由.门-
3、如图，在三棱柱ABC—AiBiCi中，AAi丄BC,ZAiAC=60°AiA=AC=BC=i,AiB=\/2.
（1）求证：
平面AiBC丄平面ACCiAi;
（2）如果D为AB中点，求证：
BCi//平面AiCD.
五、课后练习
SA垂直于底面
1已知三棱锥S—ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形,
ABC,SA=3,那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为
A.
3
D.3
2、已知PABC所在平面外一点，且FA、PB、PC两两垂直，则下列命题:
①PA丄BC;②PB丄AC;③PC丄AB;④AB丄BC.
其中正确的个数是
3、如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD丄平面ABCD,
/BAD=60°E,F分别是AP,AD的中点.
⑵平面BEF丄平面PAD.
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