西安交通大学电介质物理姚熹张良莹课后习题答案第二章.docx
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西安交通大学电介质物理姚熹张良莹课后习题答案第二章
【西安交通大学】【电介质物理】【姚熹、张良莹】【课后习题答案】【第二章】
第二章变化电场中的电介质
2-1什么是瞬时极化、缓慢极化,它们所对应的微观机制代表什么,
极化对电场响应的各种情况分别对何种极化有贡献,
答案略
2-2何谓缓慢极化电流,研究它有何意义,在实验中如何区分自由
电荷、束缚电荷随产生的传到电流,
答案略
2-3何谓时域响应、频域响应,两者的关系如何,对材料研究而言，
时域、频域的分析各由什么优缺点,
答案略
1,t/,2-4已知某材料的极化弛豫函数，同时材料有自由电荷传ft,e（）,
导，其电导率为，求该材料的介质损耗角正切。
tg,
1,t/,解:
由弛豫函数可知德拜模型ft,e（）,
极化损耗，漏导损耗tg,tg,GP
如果交变电场的频率为;,
,,,,（）s,则=tg,P22,，,,,s,
,,,1s,=，tg,（）G22,,,，,,10,
该材料的介质损耗正切为:
=+tg,tg,tg,GP
2-5在一平板介质（厚度为d，面积为S）上加一恒定电压V，得
Vt到通过介质的总电流为,已知介质的光频介电常数为I,,，,e
，求单位体积内的介质损耗、自由电子的电导损耗、极化,,
弛豫与时间的关系。
若施加频率为的交变电场，其值又为多,
23
少,并求出介质极化弛豫函数f（t）。
解:
在电场的作用下（恒场）介质中的功率损耗即为介质
损耗
电功dA,Vdq,VI（t）dt
ttVtVt,,A,VI（t）dt,（,，,e）Vdt,,Vt，,（1,e）,,00
A,VtW,,,V，,Ve,I（t）V,t
W1,Vt单位体积中的介电损耗:
w,,（,V，,Ve）dsds
V,自由电子电导损耗:
w,1ds
V,,Vt极化弛豫损耗:
w,e,ds
dVsV,,RI电导率:
,,,,,0sR,d
Vt电流:
I,,，,e
其中为传导电流I,,R
Vt为极化电流I,,er
dQdsdP（）,rrrIs另一方面,,,rdtdtdt
,,EdP（,）,t/,s,00re,,dt
,,,E（）,t/,,Vts,00故I,e,,er,
1V2有,,,E,,（,,,）,sV,,ds,0Vd
d,,,，s,2,sV0
因而，加交变电场时:
w
,（,）s,,,,,，r,221，,,
,,,（,）s,,,,,极化损耗:
1r221，,,
24
,d,,,电导损耗:
,2r,,,,sV00
22,,,,,（,）V120s,,,,,,单位体积中的极化损耗功率:
W,E,01rr22222d（1，,,）
V,单位体积中的电导损耗功率:
W,Gds
W,W，WrG
1,t/,,Vt弛豫函数:
f,e,Ve,
1,t/,2-6若介质极化弛豫函数，电导率为，其上施加电场,ft,e（）,
E（t）=0（t<0）;
E（t）=at（t>0,a为常数）
求通过介质的电流密度。
1,t/,解:
已知:
f,e,
t
D（T）,,,E（T），,（,,,）f（t,x）E（x）dx00,s,,0
t1（）/,,,tx,,,,,,,,t，,exdx（）00,,s,0,
t/,,,,,t，,（,,,）,（t,,，,e）0,0s,
t/,,,,,t，,（,,,）,,（e,1）0,0s,
dD（t）,t/,j（t）=，,E（t）,,,,，,（,,,）,e，,,t0,0s,dt
,,,2-7求德拜弛豫方程中吸收峰的半高宽,吸收峰高为多少,出,,
,,现在什么频率点上,吸收峰中（以半高宽为范围）的变化,,
为多少,占总变化量的百分之几,,
,,d11r,,,解:
令可得,0,,（,,,）,mmaxs,d,,2
,,,（,）11s,,,,,,,,,,（）,,（,）,半高maxs,22241，,,
1,,,可以解得,2,3,,（2,3）,
12,,半高宽,,,[2，3,（2,3）],3,,
25
,（,）s,,,,由于,，,221，,,
,,在吸收峰的半高宽范围，的变化,,
11,,,,,,,,[（2，3）],[（2,3）],,
（,）（,）,,,,s,s,,,221，（2，3）1，（2,3）
0.866（,,,）s,
,,的总变化量（,（0）,,（,）,,,,,s,
占总变化量的百分数86.6%,
,,2,8试对德拜方程加以变化，说明如何通过，的测量，,（,）,（,）
最后确定弛豫时间。
1,,,解:
在极大值处,,m,
11,,,,,（,，,）,,（,,,）s,maxs,22
11,,,测量曲线测时，对应求,,,（,，,）,~,,s,m,2m
11,,,,,测量曲线测时对应求弛豫时间:
,,（,,,）,~,,maxs,m,2m
,,,,,,,,,1r,另,,,2222,,,,,,1，,,1，,,s,s,
,,,,,r,,,且时，所以,,,,,（,,,）,,,,,,rsrr,,,（,,,）r,
,,r,所以时，很大，,可以求的,,,,,（,,,）s,
2,9已知一极性电介质具有单弛豫时间，为了确定这一弛豫时间
,，对其在一定的频率范围内进行测量（在一定的温度下）,,
，结果表明所对应的频率远高于所用的频率，证明得到的,
,地变化满足形式,
26
M222,,,其中,,（l,Mf）f,24,l
,若介质具有明显的直流电导，若介质没有明显的直流电导，,
与f的变化关系记成对数形式更有用，为什么,
222解:
已知,,,2,f,,M/4,l
122,,1,,,,,,,1221，,,
,,,（,）22s,,,,,（）,,（,,,）,,（1,,,）s,221，,,
222,2,（,,,）,f（1,4,f,）s,
22,2,（,,,）,f（1,Mf/l）s,
222,（,,,）,（l,Mf）fs,l
令2,（,,,）,,ls,
2,,即,（,）,（l,Mf）f
,,,,（,）s,,,,,如果介质有明显的直流电导（）,，22,,1，,,0
1,,,,,,,当时，漏导损耗可以用或者作图,~lnf~,,,,1,~ln,,
2-10一个以极性电介质（单弛豫）制作的电容器，在上施加一正弦
,交变电压，试写出热损耗对频率的函数。
并证明在极大值对,
应的频率下损耗为其极大值得一半。
试问能否用上面的结果作
实际测量，以确定弛豫时间,,
2,,,,,,（）2220s,,,解:
单位体积中的介质损耗功率,，,，wEgE（）E22，,,2
（1）
g为电容器中的介质在交变电场下的等效电导率，
为介质电导率,
E为宏观平均电场强度的有效值
2当的时候，w,,E,,0min
27
1122当的时候,,,,w,,[，,（,,,）]E,,（,,,）Es,s,max0022,,
11,,,,时，，高频下由于漏导很小,,,（,,,）,maxmrmaxs,,2
11122,ww,[,，,（,,,）]E,,（,,,）Es,s,max00244,,
不能确定弛豫时间因为忽略了介质中的漏导损耗,
2,11已知电介质静态介电常数，折射率，温度,,4.5n,1.48s
o,3o时，极化弛豫时间常数，时t,25C,,1.60，10st,125C121
6。
,6.5，10s2
"
（1）分别求出温度、下的极值频率，以及（,）ffttrmaxm12m21
,的极值频率,.（tg,）ffm1maxm2
",,,,
（2）分别求出在以上极值频率下，，，，（tg,）,,,,rrrrmax
，。
（tg,）max
06,,,（3）分别求出时的，，。
25C,50Hz,10Hz,,tg,rr
（4）从这些结果可以得出什么结论,
（5）求该电介质极化粒子的活化能U（设该电介质为单弛
弛豫时间）。
2,n=1.48,解:
,4.5,,n,2.2,,,2,fs,
62511,
（1）,f,,100Hz,,,625m1m1,3,,21.6，101
51.5，101145,,f,,3.3，10Hz,,,1.5，10m1m2,6,,26.5，102
1s,时的，（tg,）,max1m,,,
114.5s,,，f,142HZ,,,894m11m,3,,2.21.6，101,
28
114.545s,,f,3.3，10HZ,,,2.1，10m2m2,6,,2.26.5，10,2
（2）在极值频率下:
,,m
11,,,（,，,）,（4.5，2.2）,3.35rs,22
11,,,,（,,,）,（4.5,2.2）,1.15rmaxs,22
,,,,,1.15s,max,tg,,,,0.34,,,,，3.35rs,
,,,m
,22，4.5，2.2s,,,,,,2.96r,,，4.5，2.2s,
,,4.5,2.2s,,,,,,,,4.5，2.2,1.07rs,，4.5，2.2,,s,
,,4.5,2.2s,,tg,,,0.37
,224.5，2.2s,
o,3（3）,,,f,50HZ,,1.6，10,,2,f,314T,25C1111
,,0.511
,（,）4.5,2.2s,,,,,（）,，,2.2，,4.041r,22,,1，0.251，
,,,（,）（4.5,2.2）*0.5s,,,,,（）,,,0.921r22,,1，0.251，
,,,（）0.92r1,,tg（）,,,0.231,,,（）4.04r1
66,3,,f,10Hz,,2,f,6.28，10,,,1022122
,（,）4.5,2.2,s,,,,（）,，,2.2，,4.52,r22,6,,1，1，10
3,,,,（,）（4.5,2.2）*10,3s,,,,,（）,,,2.3，10r222,6,,1，1，10
3,,,,（）2.3，10,4r2,,tg（）,,,5，102,,,（）4.5r2
29
,（4）温度越高，极化弛豫时间越小，极值频率越大,rmax
,,的频率大于频率（tg,）,,,maxmrmaxm
1u/kT,（5）,e2,0
11u/kTu/kT12,,,,e,e122,2,00
uu;ln,,,ln2,，ln,,,ln2,，2010kTkT12
kTT（ln,ln）,,1212u,,0.56evT,T12
该极化粒子的极化能U为0.56ev
32,12某极性电介质，，在某一温度下，求其,,10,,2.5,,10ss,
分别在频率为交变电压作用下，电容器消耗的f,50Hz,100Hz
全部有功、无功电能中有多少被转化为热量。
3解:
由,,,,,6.28，50,,,0.314,,,6.28,,10112
,（,）s,,,,,,,（,）,9.33（）,，,2.14r21r,22,,1，
,,,（,）s,,,,,,,,（,）,2.68（）,,1.17r21r22,,1，
,,2.14r,,,,,,22.3%1222.14，2.14，9.33，9.33,,,,,，rr
,,,,rr,,,,,,,0.814,,,0.399122222,,,,,,,,,,，，rrrr
,r,,,,0.697222,,,,,，rr
62,13已知某极性液体电介质,,5，，在频率为,,2.5f,10Hzs,
o下温度处出现（tg,），其粘度为,,0.06P,s，试求t,100C1maxa
其分子半径a。
30
33aa,8,,4,,解:
,,,KTKTKT22
,11,7s,,,,,,,,2.25，10m,,,,,ms,
KT3,303,10,a,,1536.8，10ma,11.5，10m,,4
2-14在讨论介质弛豫时，介质中有效电场和宏观平均电场的不一致
结果有什么影响,对什么结果没有影响,
解:
若有效电场与宏观平均E一致稳态时Ee
nq,剩余跃迁粒子书,n,Ee12KT
22nq,弛豫极化强度P,Ere12KT
1u/KT,弛豫时间,e2,0
如果随时间变化与E不一致，稳态时Ee
nq,,n,Ee12KT
22
（2）
（2）,，,，nq,s,
（1）PEE,,，,,r,0129KT
，2,s,E,3
2，s,,,,,e2，,,
对没有影响，对有影响,,n
2,15何谓电介质测量中的弥散区,弥散区的出现说明了什么,若
某介质有明显的两个弥散区，则又说明了什么,
1,,解:
在附近的频率范围，介电常数发生剧烈的变化,,,,
,由;出现极大值这仪频率称为弥散区;,,,,s,
弥散区的出现证明了极化机制中出现弛豫过程，造成极化
31
能量损耗;
出现两个弥散区，该电介质存在着弛豫时间不同的两种驰
豫极化机制。
,,2,16试分别对下面四种弛豫分布计算，（在0.5，,,,0,0.05,,,0
1，10，100，点），并对接过进行讨论。
（1）单弛豫时间（德拜型）
（2）G（ln,）,c0.95,,,,1.053,00
G（ln,）,0,,1.053,,,,0.95,00
（3）G（ln,）,c0.9,,,,1.111,00
G（ln,）,0,,1.111,,,,0.9,00
（4）G（ln,）,c0.8,,,,1.29,00
G（ln,）,0,,1.25,,,,0.8,00
其中c满足G（ln,）dln,,1,,0,
解:
（1）单弛豫时间，德拜弛豫
,（,）s,,,,,（）,，r,221，,,
,,,（,）s,,,,,（）,r221，,,
=00.050.51,,0
=,0.5（,，,）,（,）s,rs
,=00.05（,,,）0.4（,,,）0.5（,,,）,（,）s,s,rs,
=10100,,0
=,（,）,r,
,=0.1（,,,）0,（,）rs,
,,,,可见从,,,;从0,,,0,（,）,（,）s,rrmax
32
（2）当的时候;其它f（,）,c0.95,,,,1.053,f（,）,000
,,f（）dc11,,,,,（）,,，,（,,）,,，（,,,）[tg（1.053,,）,tg（0.95,,）]rss00,,,,,220,1，,,
c,,,=，（,）A,s,,
,,（）fd,,,,,,（）,（,）rs,22,01，,,
c,,=（,）Bs,,
其中A和B皆为常数，且A和B分别为
11,,A=tg（1.053,,）,tg（0.95,,）00
22,,,,,（1.053）（0.95）1.053000B=ln,，220.95,2[1（1.053,,）]2[1（0.95,,）]，，000
,,分别代入的值可以求的A和B的值，从而求的的值;此处略,,,,,0
同理（3）（4）的算法同上此处略
2,17试证明:
对单弛豫时间，有关系式
2,,,,,（,）,（,,,（,））（,（,）,,）S,
对非单弛豫时间的情况其关系式为
2,,,,,（,）,（,,,（,））（,（,）,,）s,
证明:
对于单弛豫时间
2,,,,,（,）,（,,,（,））（,（,）,,）S,
,,,,,（,）（,）s,s,,,,,,,,,（）,，（）,由德拜弛豫方程;,22221，,,1，,,
22,,,,,,（,）（,）s,s,,,,,,,（,）,（,）,;s,22221，,,1，,,
222,,,,（）,2s,,,,,证毕,,（）,,（,,,）（,,,）,s222
（1），,,
对于非单弛豫时间
33
,,,,,（）（）fdfd,,,,,,,,,,,,;（）,，（,）（）,（,）ss,,,2222,,00（1，,,）（1，,,）
,,,,,（）（）fdfd,,,,,,,,,,;,,,,,,（,）（）[1]sss,,,2222,,00，,,（1，,,）
（1）
由于对于弛豫时间有f（,）f（,）d,,1,0
,,,,,（）（）fdfd2,,,,,,,,,,（,（））（（）,）,（,）[1,]ss,,2222,,00（1，,,）（1，,,）
22,,,,,,,,（）（）fdfd2,,=（,）s,2222,,00（1，,,）（1，,,）
,,,,,（）（）fdfd22,,,,,,（）,（,）s,2222,,00（1，,,）（1，,,）
比较上面两个式子可以知道:
2,,,,,（,）,（,,,（,））（,（,）,,）s,
2,18试证明:
若某介质优两个弛豫时间（），且权重,,,,,,1212
*因子相同，则有关系式为,
,,,,,,,,,,,,,（）（（））,,，12012s,,,2,,,,,,,（,）,,,（,）000
证明:
由题意可知
111,,,,,,,，,，（）（）（）,s,22222，,,，,,1112
,,,112,,,,,,,,，（）（）（）s,22222，,,，,,1112
111,,,,,,,,,，因此:
（）（）（）,s,22222，,,，,,1112
111,,,,,,,,,,，（）（）
（2）ss,22222，,,，,,1112
2222,,,,112,,,，=（）（）s,22222，,,，,,1112
34
2,,,=证毕,,（,，,）,,,,（,,,）1212,
2-19Jonscher给出经验关系
A,,,,（）,,m1,n（,/,），（,/,）12
,,,其中，求其的极大值，并说明，0,m,1,,（,）,（,）,0,n,1max1
n和，和分别决定了介质低频端、高频端的形态。
其中Colem,2
,,,Cole图在高低频端与轴的夹角分别为。
（1,n）,m,22
答案略
722-20某介质的，，，在交变电场的频率,,3.5U,1eVf,10n,2.7s0
oHz，温度时有个极大值，求极大值。
当极大值tg,tg,tg,t,40C
o时，求相应的电场频率。
移向27C
,,3.5,2.7s,,解:
tg,,,0.13
,223.5*2.7s,
11U/KTs0,,,,e,m2,,,,0
,/UKTs0,,,所以,2em0,,
,,U/KT0s0f,e,,,
,U00slnf,ln[],1,,KT,1
,U00slnf,ln[],2,,KT,2
U110=14.94f,f,,lnln（）21KTT12
14..946即f,e,3.3，10Hz2
35
oo40的时候，极大值为0.13;极大值移向27时，tg,tg,CC
6相应的电场频率为3.3，10Hz
2-21实验测得一种ZnO陶瓷的，，激活能为，,,1300,,9000.3eVs,
o5且在17C时，损耗峰的位置在附近，求10Hz
（1）损耗峰的位置;
o
（2）当温度升高到200C时，损耗峰的位置。
11,,解,,（,,,）,（1300,900）,200rmaxs,22
11U/KT0,,,,在处,,e,rmaxm,2,0
U/KT0,,2,f,2,em0
U00lnf,ln,1,KT1
U00lnf,ln,2,KT2
U110f,f,,lnln（）21KTT12
=16.4
16.47f,e,1.3，10Hz2
o17时损耗峰值为200HzC
o7200时损耗峰值为C1.3，10Hz2-22若某介质有两个分离的德拜弛豫极化过程A和B
,,
（1）给出和的频率关系;,,rr
,,
（2）作出一定温度下，和的频率关系曲线，并给出,,rr
,和的极值频率;,tg,r
36
,,（3）作出在一定温度下、温度关系曲线;,,rr
（4）作出Cole,Cole图。
,,解:
此处只给出和的频率关系作图略,,rr
,（,）sn,,,,（）,，,,,AnAB221，,,A
,（,）n,,,,,（）,，,,,,,Bsn,,221，,,B
,,,（,）snA,,,,（）,A221，,,A
,,,（,）nB,,,,,和（）,B221，,,B
22-23一平板电容器，其极板面积，极板间距离，A,750cmd,1mm
t,,1，在阶跃电压作用下电流按衰减函数衰减,,2.1if（t）,e,r,
6,1360t（为弛豫时间），当阶跃电压时，,i,20，10eAU,150Vr
,,
（1）求在1kHz交变电压作用下介质的、和。
,tg,rr
,,
（2）求及其极值频率下的、。
（tg,）,,maxrr
9,,,（3）若电导率，求1kHz下计及漏导时候的、和,,10S/m,,rr
。
tg,
dP,t/,r1解:
（1）j,,,（,,,）Eer0s,,dt
U,t/,,t/,11Ir,Aj,A,（,,,）Ee,A,（,,,）er0s,0s,,,d
6,1360t=20，10e
1U,t/,,61,;,A,（,,,）e,20，100s,,1360d
3,,2,f,6.28，10
,（,）s,,,,,（）,，=2.17r,221，,,
37
,,,（,）s,,,,,=0.03（）,221，,,
,,0.03,tg,,,0.014,,2.17
,,s,,
（2）（tg）max,,0.28
,2s,
,2s,,,,,0.071r,,，s,
,,s,,,,,,,,2.65rs,，,,s,
（3）考虑漏导时
,（,）s,,,,,（）,，=2.17r,221，,,
,,,,（,）s,,,,,（）,，,0.3222,,,,1，0
,,,,,（）1s,,,，tg[][]22,,,（）,,,,，1s,0,，,22，,,1
=0.15
2-24有一电容器，，另一电容器，C,300pFtg,,0.005C,60pF112
，求该二电容器并联时的电容量C和。
当为tg,,0.04tg,C21
的空气电容器时，求与串联合并联时的。
300pFCtg,2
111111解:
串联时:
，,，,3006050CCC12
所以C=50pF
Ctg，Ctg,,1122tg,,0.034,C，C12
并联时:
C=C+C=360pF12
22,,,,C（1，tg）tg，C（1，tg）tg221112,tg,22C（1，tg,），C（1，tg,）2211
22由于:
tg,,,1tg,,,121
38
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