小学鸡兔同笼问题.docx

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小学鸡兔同笼问题

鸡兔同笼问题练习

（请另附纸）

1.鸡兔同笼,共有30个头,88只脚.求笼中鸡兔各有多少只?

　　2．鸡兔同笼,共有头48个,脚132只,求鸡和兔各有多少只?

　　3．一个饲养组一共养鸡、兔78只,共有200只脚,求饲养组养鸡和兔各多少只?

　　4．鸡兔同笼不知数,三十六头笼中露.数清脚共五十双,各有多少鸡和兔?

　　5．小明用10元钱正好买了20分和50分的邮票共35张,求这两种邮票名买了多少张?

　　6．小红用13元6角正好买了50分和80分邮票共计20张,求两种邮票各买了多少张?

　　7．小刚的储蓄罐里共2分和5分硬币70枚,小刚数了一下,一共有194分,求两种硬币各有多少枚?

　　8．三年一班30人共向北京奥运会捐款205元,同学每人了捐了5元或10元,你知道捐5元和10元的同学各有多少人吗?

　　9．三年二班45个同学向爱心基金会共计捐款100元,其中11个同学每人捐1元,其他同学每人捐2元或5元,求捐2元和5元的同学各有多少人?

　　10．松鼠妈妈采松籽,晴天每天可以采20个,雨天每天只能采12个.它一连8天共采了112个松籽,这八天有几天晴天几天雨天?

　　11．某校有一批同学参加数学竞赛,平均得63分,总分是3150分.其中男生平均得60分,女生平均得70分.求参加竞赛的男女各有多少人?

　　12．一次数学竞赛共有20道题.做对一道题得5分,做错一题倒扣3分,刘冬考了52分,你知道刘冬做对了几道题?

　　13．一次数学竞赛共有20道题.做对一道题得8分,做错一题倒扣4分,刘冬考了112分,你知道刘冬做对了几道题?

　　14．52名同学去划船,一共乘坐11只船,其中每只大船坐6人,每只小船坐4人.求大船和小船各几只?

　　15．在一个停车场上,停了小轿车和摩托车一共32辆,这些车一共108个轮子.求小轿车和摩托车各有多少辆?

　　16．解放军进行野营拉练.晴天每天走35千米,雨天每天走28千米,11天一共走了350千米.求这期间晴天共有多少天?

　　17．100个和尚吃了100个面包,大和尚1人吃3个,小和尚3人吃1个.求大小和尚各有多少个?

　　18．有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只,共有腿118条,翅膀20对.问蜻蜓有多少只?

（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿,两对翅膀；蝉6条腿,一对翅膀）

　　19．一队强盗一队狗,二队拼作一队走,数头一共三百六,数腿一共八百九,问有多少强盗多少狗?

20.有蜘蛛，蜻蜓，蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，2对翅膀；蝉6条腿，1对翅膀），三种动物各几只？

21.班主任张老师带五年级

（2）班50名同学栽树，张老师栽5棵，男生每人栽3棵，女生每人栽2棵，总共栽树120棵，问几名男生，几名女生？

22.大油瓶每瓶装4千克，小油瓶2瓶装1千克，现有100千克油装了共60个瓶子。

问大小油瓶各多少个？

23.小毛参加数学竞赛，共做20道题，得67分，已知做对一道得5分，不做得0分，错一题扣1分，又知道他做错的题和没做的同样多。

问小毛做对几道题？

答案

1．鸡：

16只,兔：

14只

　　2．鸡：

30只,兔：

18只

　　3．鸡：

56只,兔：

22只

　　4．鸡：

22只,兔：

14只

　　5．20分的邮票25张,50分的邮票10张.

　　6．50分的邮票8张,80分邮票12张.

　　7．2分硬币52枚,5分硬币18枚.

　　8．捐了5元的同学有19人,捐10元的有11人.

　　9．捐2元的有27人,捐5元的有7人.

　　10．晴天2天,雨天6天.

　　11．求参加竞赛的女生15人,男生35人.

　　12．刘冬做对14道题.

　　13．刘冬做对16道题.

　　14．大船4只,小船7只.

　　15．小轿车22辆,摩托车10辆.

　　16．晴天共有6天.

　　17．大和尚有25个,小和尚有75个.

　　20.18（蜻蜓）．蜘蛛5只；蜻蜓7只；蝉6只.

　　19．强盗275人,狗85只.

21-23无答案

鸡兔同笼解答公式法

　　解法1：

（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）

　　=鸡的只数

　　总只数－鸡的只数=兔的只数

　　解法2：

（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）

　　=兔的只数

　　总只数－兔的只数=鸡的只数

　　解法3：

总脚数÷2—总头数=兔的只数

　　总只数—兔的只数=鸡的只数

例1（古典题）鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？

　　分析如果46只都是兔，一共应有4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2（只）脚.那么，46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？

显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换28只兔就行了.所以，鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18。

　　解：

①鸡有多少只？

　　（4×6-128）÷（4-2）

　　=（184-128）÷2

　　=56÷2

　　=28（只）

　　②免有多少只？

　　46-28=18（只）

　　答：

鸡有28只，免有18只。

　　我们来总结一下这道题的解题思路：

先假设它们全是兔.于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看相差多少.每差2只脚就说明有一只鸡；将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只鸡.我们称这种解题方法为假设法.概括起来，解鸡兔同笼问题的基本关系式是：

　　鸡数=（每只兔脚数×兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）

　　兔数=鸡兔总数-鸡数

　　当然，也可以先假设全是鸡。

　　例2鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？

　　分析这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢？

　　假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只），这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）。

　　解：

（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。

　　100-20=80（只）。

　　答：

鸡与兔分别有80只和20只。

鸡兔同笼原理

鸡兔同笼

一、基本问题

“鸡兔同笼”是一类有名的中国古算题.最早出现在《孙子算经》中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法--“假设法”来求解.因此很有必要学会它的解法和思路.

例1有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？

解：

我们设想，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着.现在，地面上出现脚的总数的一半，·也就是

244÷2=122（只）.

在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数

122-88=34，

有34只兔子.当然鸡就有54只.

答：

有兔子34只，鸡54只.

上面的计算，可以归结为下面算式：

总脚数÷2-总头数=兔子数.

上面的解法是《孙子算经》中记载的.做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！

能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2，4又是2的2倍.可是，当其他问题转化成这类问题时，“脚数”就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通.因此，我们对这类问题给出一种一般解法.

还说例1.

如果设想88只都是兔子，那么就有4×88只脚，比244只脚多了

88×4-244=108（只）.

每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡

（88×4-244）÷（4-2）=54（只）.

说明我们设想的88只“兔子”中，有54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式

鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）.

当然，我们也可以设想88只都是“鸡”，那么共有脚2×88=176（只），比244只脚少了

244-176=68（只）.

每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚，

68÷2=34（只）.

说明设想中的“鸡”，有34只是兔子，也可以列出公式

兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）.

上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数.

假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为“假设法”.

现在，拿一个具体问题来试试上面的公式.

例2红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2.80元.问红、蓝铅笔各买几支？

解：

以“分”作为钱的单位.我们设想，一种“鸡”有11只脚，一种“兔子”有19只脚，它们共有16个头，280只脚.

现在已经把买铅笔问题，转化成“鸡兔同笼”问题了.利用上面算兔数公式，就有

蓝笔数=（19×16-280）÷（19-11）

=24÷8

=3（支）.

红笔数=16-3=13（支）.

答：

买了13支红铅笔和3支蓝铅笔.

对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的“脚数”19与11之和是30.我们也可以设想16只中，8只是“兔子”，8只是“鸡”，根据这一设想，脚数是

8×（11+19）=240.

比280少40.

40÷（19-11）=5.

就知道设想中的8只“鸡”应少5只，也就是“鸡”（蓝铅笔）数是3.

30×8比19×16或11×16要容易计算些.利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算.

实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如，设想16只中，“兔数”为10，“鸡数”为6，就有脚数

19×10+11×6=256.

比280少24.

24÷（19-11）=3，

就知道设想6只“鸡”，要少3只.

要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领.

下面再举四个稍有难度的例子.

例3一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时.甲打字用了多少小时？

解：

我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数），甲每小时打30÷6=5（份），乙每小时打30÷10=3（份）.

现在把甲打字的时间看成“兔”头数，乙打字的时间看成“鸡”头数，总头数是7.“兔”的脚数是5，“鸡”的脚数是3，总脚数是30，就把问题转化成“鸡兔同笼”问题了.

根据前面的公式

“兔”数=（30-3×7）÷（5-3）

=4.5，

“鸡”数=7-4.5

=2.5，

也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时.

答：

甲打字用了4小时30分.

例4今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁.四年后（2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？

解：

4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作“鸡”头数，弟的年龄看作“兔”头数.25是“总头数”.86是“总脚数”.根据公式，兄的年龄是

（25×4-86）÷（4-3）=14（岁）.

1998年，兄年龄是

14-4=10（岁）.

父年龄是

（25-14）×4-4=40（岁）.

因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是

（40-10）÷（3-1）=15（岁）.

这是2003年.

答：

公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍.

鸡兔同笼原理2

“鸡兔同笼问题”是我国古算书《孙子算经》中著名的数学问题，其内容是：

“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。

问雉兔各几何。

”意思是：

有若干只鸡和兔在同个笼子里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只脚。

求笼中各有几只鸡和兔？

《孙子算经》用算术方法来解：

脚数的1/2减头数，即94/2-35=12为兔数；头数减兔数即35-12=23为鸡数。

这种解法虽然直接而自然，也很合乎逻辑，但是却不容易理解。

知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？

原来孙子提出了大胆的设想。

他假设砍去每只鸡和每只兔1/2的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，而每只兔就变成了“双脚兔”。

这样，“独脚鸡”和“双脚兔”的脚就由94只变成了47只；而每只“鸡”的头数与脚数之比变为1：

1，每只“兔”的头数与脚数之比变为1：

2。

由此可知，有一只“双脚兔”，脚的数量就会比头的数量多1。

所以，“独脚鸡”和“双脚兔”的脚的数量与他们的头的数量之差，就是兔子的只数。

用现在列方程的方法，这个问题就更容易解决了。

设鸡有x只，兔有y只，则根据题意有：

x+y=35，2x+4y=94，解这个方程组得x=23，y=12。

“鸡兔同笼问题”除了可以用方程解，还可以用“假设法”来解答。

如今，“鸡兔同笼问题”已经演变成了各种题型。

鸡兔同笼方程解法

第一种教法：

　　在让学生用画图法和假设法解题后,要求学生用方程解题.于是学生列出了如下方程：

设鸡有X只,兔有（12-X）只

2X+4（12-X）=38

　　师：

你会解这个方程吗?

试试看

　　反馈：

　　2X+4（12-X）=38

　　2X+48-4X=38

　　48-2X=38（怎么想的?

生：

2X-4X抵消掉2X）

　　2X=10（想：

48—?

=38）

　　X=5

　　学生能自己解决这一问题.

　　第二种教法：

　　学生列出方程2X+4（12-X）=38后,对这个方程的解法应用等式的基本性质进行了讲

　　2X+48-4X=38

　　48-2X=38

　　-2X=-10（两边同时减48）

　　2X=10（告诉学生两边同是负号,可以去掉负号）

　　X=5

　　然后又安排形式相同的两道解方程进行练习.（结果有近三分之二的学生能做出正确结果,老师对自己的教学较为满意）

　　应用等式的基本性质教学解方程时,教材对形如A-X=B这种形式的方程不作要求,然而学生在列方程时,往往出现这种形式的方程,能避免出现这种形式的方程吗?

开放的课堂无法避免,两种不同的教学方法,反映了教师不同的教学观念,第一位教师当遇到问题后放手让学生自己去尝试、去探索.第二位老师认为学生没有能力独立解决这一问题,所以进行了讲解传授.教学中出现了负数,显然已经超出了学生可能理解接受的范围.就是班级中成绩最优秀的学生也听得一团雾水,做出正确的结果也只是依葫芦画瓢.如果用以下的解法进行进行引导学生就比较容易理解.当出现之后教师应该如何面对呢?

　　笔者以为：

　　第一,可以让学生进行尝试,相信学生能自己解决问题.如第一位老师放手让学生自己解决.

　　第二,教师可进行适当的引导,以下的解法学生比较容易理解.

　　2X+48-4X=38

　　48-2X=38（在等式左右两边同上加上2X,得）

　　48=38+2X

　　38+2X=48

　　2X=10

　　第三,鼓励解决问题方法多样化,当遇到困难时,可以想想有没有另外的方法.如以下的解法就避开了A-X=B的形式,学生都能解决.

设兔有X只,则鸡有（12-X）只

　　4X+2（12-X）=38

　　4X+24-2X=38

2X+24=38

2X=14

X=7