离散数学第二章.docx
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离散数学第二章
逻辑与推理密切相关，主要是为论证的有效性提供证明和技巧。
它与许多学科有广泛的联系。
如，与数学的交叉，
数理逻辑，与计算机科学的交叉，计算复杂性与机器证明，人工智能的交叉，精确推理与不精确推理，这些广泛的联系，日益显示其重要作用。
德国哲学家、数学家莱布尼茨是数理逻辑的创始人，至今有300多年的历史。
大约经历三个阶段。
1．初始阶段，用数学方法研究和处理形式逻辑，英国的布尔（Boole），德.摩根（DeMorgan）等人，逻辑代数和布尔代数；
2．研究数学思想方法和数学基础问题。
集合论的创建（康托），公理方法的发展（希尔伯特），逻辑演算的建立（皮亚诺、罗素），证明论。
3．发展阶段，与数学的各分支和计算机科学的广泛联系。
数理逻辑是使用逻辑的方法来研究思维规律的学科，为机器证明、自动程序设计、计算机辅助设计等应用和理论研究提供理论基础。
第二章数理逻辑MathematicalLogic
一．命题逻辑propositionallogical
2.1命题和命题联结词
语言的单位是句子，可分为疑问句，祁使句，感叹句，陈述句等。
陈述句具有真假意义。
（1）地球是圆的。
p
（2）2+3=5.q
（3）你说英语吗？
（4）3-X=5.
（5）吃两片阿斯匹林！
（6）土星表面温度是华氏800度。
r
（7）明天会出太阳。
s
命题statement是指一句有真假意义的话，可以判断真假的陈述.
2.2逻辑联结LogicalConnective与复合命题compoundstatement
用小写字母p,q,r,s,t等符号表示命题变量，可以使用一些逻辑联结词来将若干命题联接成复合命题。
（1）地球是圆的并且2+3=5.p∧q
（2）土星表面温度不是华氏800度。
~r
（3）因为地球是圆的，所以明天会出太阳。
p→s
（4）明天不会出太阳，除非2+3=5。
即，明天不会出太阳或2+3=5。
~s∨q
（5）明天出太阳，只要2+3=5。
q→s
（6）明天出太阳，仅当2+3=5。
s→q
常用的逻辑联结词有5种，如，否定联结词negation~,合取联结词conjunction∧,析取联结词disjunction∨,蕴涵联结词implication→,等价联结词equivalent
.
2.3条件命题conditionalstatements
若p,q是命题，称“ifpthenq”这种形式的复合命题为条件命题或称为蕴涵implication。
简单记为p→q。
相应地，p称为前提antecedent,hypothesis,q称为结论consequent,conclusion.
相应地,我们有
逆命题converseoftheimplication
q→p
否命题negationoftheimplication
~p→q
逆否命题
contrapositiveoftheimplication
~q→~p
众所周知,原命题与逆否命题是等价的,即,p→q~q→~p
下面，我们将这5种逻辑联结词再罗列如下：
否定negation~~p
合取conjunction∧p∧q
析取disjunction∨p∨q
蕴含implication→p→q
等价equivalence,biconditionalpq
其真值计算如下:
~p=1-p
p→q=~p∨q
pq=（p→q）∧（q→p）=（~p∨q）∧（~q∨p）
联结词的真值表truthtable
p
q
~p
p∧q
p∨q
p→q
q→p
pq
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
当然，由上面5种逻辑联结词还可以产生更多的联结词，如，异或联结词（p,q之中恰有一个成立）p
q，与非联结词（p与q合取的否定）↑，或非联结词（p与q析取的否定）↓。
Theorem1.基本等价公式，逻辑定律
交换律commutativeproperties
1.p∧q=q∧p
2.p∨q=q∨p
结合律associativeproperties
3.（p∧q）∧r=p∧（q∧r）
4.（p∨q）∨r=p∨（q∨r）
分配律distributiveproperties
5.p∧（q∨r）=（p∧q）∨（p∧r）
6.p∨（q∧r）=（p∨q）∧（p∨r）
幂等律idempotentproperties
7.p∨p=p
8.p∧p=p
双重否定propertyofnegation
9．~（~p）=p
DeMorgan’slaw
10.~（p∨q）=~p∧~q
11.~（p∧q）=~p∨~q
吸收律absorbproperties
12.p∨（p∧q）=p
13.p∧（p∨q）=p
零一律
14．p∨~p=1
15．p∧~p=0
16．p∨1=1
17．p∧1=p
18．p∨0=p
19．p∧0=0
Theorem2.
（a）p→q=~p∨q
（b）tr（p→q）=tr（~q→~p）
（c）pq（p→q）∧（q→p）
（d）~（p→q）=p∧~q
（e）~（pq）=（p∧~q）∨（q∧~p）
2.4量词Quantifier
简单命题可以被分解成个体词和谓词两部分。
个体词可以是一个具体的事物，也可以是一个抽象的概念；而谓词是用来刻画个体词的性质或个体词之间关系的词。
如：
小李是程序员，
2是整数，
在这里，“小李”、“2”是个体词，“…是程序员”、“…是整数”是谓词。
一般来说，除了个体词和谓词以外，还有表示数量的词，称表示数量的词为量词Quantifier.量词有两种：
1.全称量词UniversalQuantifier，其日常意义为“一切”、“所有的”、“任意的”，用符号“∀”来表示。
“∀xP（x）”,表示对于所有的个体x，都有性质P.
例如，
1）P（x）:
-（-x）=x，是谓词，x是实数，记为∀xP（x）；
2）Q（x）:
x+1<4,则∀xQ（x）假。
2.存在量词ExistentialQuantifier其日常意义为“存在着”、“有一个”、“至少有一个”，用符号“∃”来表示。
“∃xP（x）”,表示存在着某个个体，具有性质P.
令Q（x）:
x+1<4,则∃xQ（x）真。
有了这些符号，叙述就变得简单。
如，
∀x∃yQ（x,y）
令A,B是n行n列的矩阵，
∀A∃BA+B=I,其中I是单位矩阵。
令
是数列，
等价于∀
>0∃
∀
.
2.5命题公式propositionalformulas
我们使用p,q来表示命题，如果其真值确定的话，则称其为命题常项或命题常元；其真值可以变化的话，则称其为命题变项或命题变元；用p,q,r,等组成的复合命题形式称为命题公式。
命题公式是由命题常项、命题变项、联结词、括号等组成的符号串，但反之，并不正确。
命题公式用大写英文字母来表示，如，A,B,C.
下面，我们给出命题公式的递归定义
（1）单个命题变元是命题公式。
（2）如果A,B是命题公式，则有限次地应用（~A）,（A∧B）,（A∨B）,（A→B）,（AB）
都是命题公式。
例A=（（p∧（~q））→（（（~p）∨q）∧q））是命题公式.
如果简单一点的话,我们可以省略最外层的括号:
A=（p∧（~q））→（（（~p）∨q）∧q）
为了方便计算,我们必须
规定命题连接词的优先级：
~，∧，∨，→，，左边高于右边。
命题A可以化简为：
A=p∧~q→（~p∨q）∧q.
A可以记作A（p,q），p,q是A中变元.
命题公式的真值是不确定的，设A为一命题公式，p1,p2,…,pn为A中的命题变元，给定p1,p2,…,pn的一组真值，则称为对A的一个赋值。
若给定p1,p2,…,pn的一组值，使得A的值为真，称这组值为A的成真赋值；反之，为成假赋值。
对应于命题变元的一种真假取值。
n个变元共有2n种不同的赋值。
因此，命题公式A就得到真值表（所有赋值之下取值的真值生成的表）。
命题公式的真值表
truthtableofpropositions
A的真值表
p
q
~p
~q
p∧~q
~p∨q
（~p∨q）∧q
p∧~q→（~p∨q）∧q
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
设A为一个命题公式，
1）无论命题变元取什么值，命题公式A的取值都是1（真），则称A为tautology重言式，恒真式。
2）无论命题变元取什么值，命题公式A的取值都是0（假），则称A为
contradiction,absurdity矛盾式,恒假式。
3）若A至少存在一组赋值，使得命题公式A的取值为1（真），则称A为contingency可满足式。
2.6（逻辑）等价公式AB
设A,B为两命题公式，无论公式A,B中的命题变元如何取值,A,B都有相同的真值表，即AB是恒真式，则称A与B是等价公式，记作AB。
例如，验证A=p∧q与B=q∧p的等价性。
A与B的真值表
p
q
p∧q
p∨q
q∧p
q∨p
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
显然，用真值表可以判定一个公式是否为恒真式，恒假式和可满足公式，也可以判断两个公式是否为等价。
例证明下列公式都是恒真式：
（1）p→p
（2）~（~p）→p
（3）p→（q→p）
（4）（p→（（q→r））→（（p→q）→（p→r））
（5）（~q→~p）→（p→q）
Proof（3）.证法1：
真值表法
p
q
q→p
（~q∨p）
p→（q→p）
（~p∨（~q∨p））
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
证法2：
p→（q→p）=（~p∨（~q∨p））
=1∨q=1
p→（q→p）是恒真式。
Theorem3.
1.~（∀xP（x））=∃x~P（x）;
2.~（∃xP（x））=∀x（~P（x））;
3.∃x（P（x）→Q（x））=∀xP（x）→∃xQ（x）;
4.∃x（P（x）∨Q（x））=∃xP（x）∨∃xQ（x）
5.∀x（P（x）∧Q（x））=∀xP（x）∧∀xQ（x）
6.（（∀xP（x））∨（∀xQ（x）））⇒∀x（P（x）∨Q（x））是恒真式；
7.∃x（P（x）∧Q（x））⇒∃xP（x）∧∃xQ（x）是恒真式。
Theorem4.下列是恒真式
（a）p∧q→p
（b）p∧q→q
（c）p→p∨q
（d）q→p∨q
（e）~p→（p→q）
（f）~（p→q）→p
（g）p∧（p→q）→q
（h）~p∧（p∨q）→q
（i）~q∧（p→q）⇒~p
（j）（p→q）∧（q→r）⇒p→r
Theorem5多前提基本推理
（a）p,p→q⇒q
（b）~q,p→q⇒~p
（c）~q,p∨q⇒p
（d）p→q,q→r⇒p→r
（e）p∨q,p→r,q→s⇒r∨s
（f）p∨q,p→r,q→r⇒r
~q
p→q
~p
p→q
p____
p∨q
p→r
q→s
r∨s
q
p→q
q→r
p→r
p→q
~q_
~p
2.7命题公式的等价变换
利用基本等价公式可以进行公式的等价变换，（等值运算）把一个公式化为与之相等价的另一个公式；
因此,可以将一个公式化简，或化为某种特定形式。
例:
化简命题公式
A=p∧~q→（（~p∨q）∧q）
解A~（p∧~q）∨（（~p∨q）∧q）
（~p∨q）∨（（~p∨q）∧q）
~p∨q
~q
p→q
~p
p∨q
p→r
q→s
r∨s
p→q
q→r
p→r
HomeworkP56,23,24,25,26,27
HomeworkP61,13,15,17
数学归纳法
可以验证，
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