正弦与余弦定理练习题及答案.docx

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正弦与余弦定理练习题及答案

正弦定理练习题

1.在4ABC中，/A=45°,/B=60°,a=2,则b等于（）

D.26

2.在△ABC中，已知a=8,B=60°,C=75°，贝Sb等于（）

A.42B.43C.46

3.在△ABC中，角AB、C的对边分别为a、b、c,A=60°,a

=43,b=42,则角B为（）

A.

45°或135°

B

.135°

C.45

°D

.以上答案都不

对

4.

在厶ABC中，

a:

b:

c=1:

5:

6,贝S

sinA:

sinB:

sinC等于

（

）

A.1:

5：

6

B.

6:

5：

1

C.6:

1:

5

D

.不确定

5.在厶ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边，若A=105°,

B=45°,b=2,贝卩c=（）

A.1C.2

cosAb

6.在△ABC中，若cos_B=孑则厶ABC是（）

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形7.已知△ABC中,AB=“.3,AC=1,/B=30°，则△ABC的面积

或”,3或-2

8△ABC勺内角ABC的对边分别为a、b、c.若c=2,b=-6,

B=120°贝Sa等于（）

B.2

9.在△ABC中，角ABC所对的边分别为a、b、c,若a=1,c

3,C=-3，贝yA=.

10.在△ABC中,已知a=*,b=4,A=30°则sinB=.

11.在△ABC中，已知/A=30°,ZB=120°,b=12,则a+c

12.在△ABC中,a=2bcosC,则厶ABC的形状为.

13.在△ABC中，A=60°,a=63,b=12,SaABC—18.3，则a+b+c

—c—

sinA+sinE3+sinC一

14.在△ABC中，已知a=32,cosC=3,S^abc=43，贝Ub=

15.在△ABC中,a、b、c分别为角ABC的对边，若a=2,3,

Cc1a亠

sin匚cos：

=7,sinBsinC=cos：

求AB及b、c.

2242

16.AABC中,ab=603,sinB=sinC,AABQ的面积为153,求边b的长.

余弦定理练习题

1.在厶ABC中,如果BC=6,AB=4,cosB=3,那么AC等于（）

A.6B.26C.36D.46

2.在△ABC中,a=2,b=",3—1,C=30°，贝Uc等于（）

D.2

3.在△ABC中,a2=b2+c2+3bc,则/A等于（）

A.60°B.45°C.120°

D.150°4.在△ABC中/A、/B/C的对边分别为a、b、c,若（a2+c2

—b2）tanB=.3ac,则/B的值为（）

2n

3

5.在△ABC中,a、b、c分别是A、BC的对边，贝UacosB+bcosA等于（）

A.aB.bC.cD.以上均不对

6.已知锐角三角形ABC中,|AB=4,|AC=1,△ABQ的面积为心，

则AB・AtC勺值为（）

A.2B2C.4D4

7.在△ABO中，3,c=3,B=30°，贝Sa为（）

B.23或23D.2

8已知△ABO勺三个内角满足2B=A+C,且AB=1,BO=4,则边BO上的中线AD的长为.

9.已知a、b、c是厶ABC的三边，S是厶ABC的面积，若a=4,b

=5,S=5萌，则边c的值为.

10.在△ABC中,sinA:

sinB：

sinC=2:

3:

4,贝UcosA:

cos

B:

cosC=.

1

11.在厶ABC中,a=32,cosC^—3,Saabc=43,则b=.

3

222

a+b一c

12.已知△ABC的三边长分别是a、b、c,且面积S=

4

则角C=.

13.在△ABC中,BC=a,AC=b,a,b是方程X—23x+2=0的

两根，且2cos（A+B）=1,求AB的长.

14.在△ABC中,BO5,AC=3,sinC=2sinA

（1）求AB的值;

n

⑵求sin（2A-4）的值.

正弦定理

1.在△ABC中/A=45°,/B=60°,a=2，则b等于（

2.在△ABC中，已知a=8,B=60°,C=75°，贝Ub等于（）

A.42B.43C.46

asinB（-

解析：

选=45°，由正弦定理得b==46.

sinAw

3•在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=60°,a=43,b=42，则角

B为（）

A.45°或135°B.135°C.45°D.以上答案都不对

abbsinA\12

解析：

选C.由正弦定理=得：

sinB==，又•/a>b,aB<60°,aB

sinAsinBa2

=45°.

4.在△ABC中,a:

b:

c=1:

5:

6,贝VsinA：

sinB：

sinC等于（）

A.1:

5：

6B.6:

5：

1

C.6：

1：

5D.不确定

解析：

选A.由正弦定理知sinA：

sinB:

sinC=a:

b:

c=1:

5:

6.

5.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边，若A=105°,B=45°,b=2,

则c=（）

A.1C.2

bc\f2xsin30°

解析：

选=180°—105°—45°=30°,由=得c=——=1.

sinBsinCsin45

亠二卄cosAb“□

6.在△ABO中，若=，则△ABC是（）

cosBa

A.等腰三角形B.等边三角形O.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

sinAcosA=sinBcosB,.'.sin2A=sin2B

n即2A=2B或2A+2B=n，即卩A=B,或A+B=—.

2

7.已知△ABC中,AB=3,AC=1，/B=30°，则△ABC的面积为（）

或3或¥

解析：

选=-AC,求出sinC=¥，:

AB>AO

sinB2

•••/C有两解，即/C=60°或120°,^/A=90°或30°.

1.,…

再由sABC=ACsinA可求面积.

&△ABC的内角A、BC的对边分别为a、b、c.若c=2,b=,6,B=120°,贝Ua等

于（）

B.2

解析：

选D.由正弦定理得耐0°=洗,

1

•sinC=勺

又•••C为锐角，则C=30°,.・.A=30°,

△ABC为等腰三角形，a=c=2.

—亠nn

又Tavc，—A

36

答案:

10.在△ABC中，已知a=b=4,A=30°，贝UsinB=

解析：

由正弦定理得

a=b

sinAsinB

sin

B=

bsinA

a

4X2

4d3

答案:

11.在△ABC中，已知/A=30°,/B=120°,b=12,则a+c=

解析：

C=180°—120°—30°=30°,「.a=c,

•••a+c=83.

答案：

8,3

12.在△ABC中,a=2bcosC,则厶ABC的形状为

解析：

由正弦定理，得a=2R-sinA,b=2R-sinB,

代入式子a=2bcosC,得

2RSinA=2・2R・sinB•cosC,

所以sinA=2sinB•cosC

即sinB•cosC+cosB•sinC=2sinB•cosC

化简，整理，得sin（B-C=0.

•/0°

•••—180°

B—C=0°,B=C.

答案：

等腰三角形

•2X12Xsin60°xc=18'J3,

•-c=6.

答案：

126

1

14.在△ABC中，已知a=3飞.,|'2,cosC=3,S^abc=4,3，贝Ub=

解析：

依题意，sinC=~,S\abc=

3

解得b=23.

答案：

2.3

—CC1

15.在厶ABC中,a、b、c分别为角A、BC的对边，若a=2\：

3,sin?

cos?

=4,sinBsin

C=cos2A求AB及b、c.

CC11

解：

由sinqcosqh4,得sinC=空,

n5n

又C€（0,n），所以C=—或C=_6

由sinBsinC=cos2A,得

sin

BsinC=1[1—cos（B+C）],

即2sinBsinC=1—cos（B+C）,

即2sinBsinC+cos（B+C）=1，变形得

cosBcosC+sinBsinC=1,

即cos（B—C）=X所以B=C违,B=C=牛舍去）,

A=n—（B+C）=年

3n

（2）由

（1）知,

由正弦定理：

a=b=c得sinAsinBsinC

C=2-

C=T，二sin

5a=.10b=2c,即卩a=2b,c=5b.

•「a—b=：

..；2—1,「・；,>2b—b=寸2—1,.•.b=1.

•••a=2,c=5.

16.AABC中,ab=603,sinB=sinC,△ABO的面积为153,求边b的长.解：

由S=jabsinC得,153=jx603xsinC,

1

•sinC=j，•/C=30°或150°.

又sinB=sinC,故/B=ZC

当/C=30°时，/B=30°,/A=120°.

又•/ab=603,J=%，二b=215.

v?

sinAsinBv

当/C=150°时，/B=150°（舍去）.

故边b的长为215.

余弦定理

1

1.在△ABC中，如果BO6,AB=4,cosB=3，那么AC等于（）

A.6B.26

C.36D.46

解析：

选A.由余弦定理，得

AC=・\jAB+bC—2AB■BCCosB

=42+62-2X4X6X3=6.

2.在△ABC中,a=2,b=3—1,C=30°，贝Uc等于（）

D.2

解析：

选B.由余弦定理，得c2=a2+b2—2abcosC

=22+（3—1）2—2X2X（3—1）cos30°

•••c=2.

3.在△ABC中,a2=b2+c2+•3bc,则/A等于（）

A.60°B.45°

D.150°

C.120°

•/0°

4.在△ABC中，/A、/B/C的对边分别为a、b、c,若（a2+c2-b2）tanB=3ac,

则/B的值为（）

2n

~3

解析：

选D.由（a2+c2-b2）tanB=3ac,联想到余弦定理，代入得

a2+c2-b2313cosB

cosB==—_•=_•

2ac2tanB2sinB

显然/B诗,•sinB=于.•/B=3或号

5.在△ABC中,a、b、c分别是A、B、C的对边，则acosB+bcosA等于（）

1

=2x4XixsinA

•••sinA^-23，又•••△ABC为锐角三角形，

1

•cosA=2，

ff1

•AB-AC=4X1X2=2.

7•在△ABC中,b=3,c=3,B=30°，贝Ua为（）

B.23

或23D.2

解析：

选C.在厶ABC中，由余弦定理得b2=a2+c2—2accosB,即卩3=a2+9—33a,

•a—3*j3a+6=0,解得a=~J3或23.

8.已知△ABC的三个内角满足2B=A+C,且AB=1,BC=4，则边BC上的中线AD

的长为.

n

解析：

T2B=C,A+B+C=n,.・.B=§.

在厶ABD中,

AD=PAB+BD—2AB・BDjosB

=1+4—2X1X2X2=3.

答案：

.3

9.已知a、b、c是厶ABC的三边，S是厶ABC的面积，若a=4,b=5,S=53，则边c的值为.

1x/3

1

•cosC=±2’

解析：

S=?

absinC,sinC=y,•C=60°或120°.

又tc2=a2+b2—2abcosC,

•c2=21或61,「.c=21或.61.

答案：

.21或.61

10.在△ABC中,sinA：

sinB:

sinC=2:

3:

4,则cosA:

cosB：

cosC=

解析：

由正弦定理a:

b:

c=sinA：

sinB：

sinC=2:

3:

4,

设a=2k（k>0），贝Ub=3k,c=4k,

222222

a+c-b2k+4k-3k11

cosB===—,

2ac2X2kX4k16'

71

同理可得：

cosA=-，cosC=一一，

84

/•cosA:

cosB:

cosC=14：

11:

（—4）.

答案：

14：

11：

（—4）

又Saabc=^absinC=43,即2•b-32=4,3,

•••b=23.

答案：

2.3

2.22

a+b—c

a、b、c,且面积S=4，则角

=2abcosC,「.sinC=cosC•tanC=1,•C=45

答案：

45°

13.在△ABC中,BC=a,AC=b,a,b是方程x2—2.3x+2=0的两根，且2cos（A+B）

=1,求AB的长.

解：

tA+B+C=n且2cos（A+B）=1,

--cos（n—

11

C=2，即cosC=-2

又■/a,b是方程x2-23x+2=0的两根,

a+b=23,ab=2.

aB=aC+bC—2AC"BC"cosC

221

=a+b—2ab（—㊁）

222

=a+b+ab=（a+b）—ab

=（23）2—2=10,

•AB=.10.

14.在△ABC中,BO5,AC=3,sinC=2sinA.

（1）求AB的值；

n

（2）求sin（2.

sinC

得AB=s^BC=2BC=25

（2）在厶ABC中，根据余弦定理，得

cosA=

aB+AC-bC

2AB-AC

2.5

5

于是sin

A=1—cos2A=

从而sin2A=2sin

AcosA=4

5

cos2A=cos

A—sin

23

A=5.

nn

所以sin（2A—4）=sin2Acos-^—cos2Asin