均值不等式练习试题docdoc.docx
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均值不等式练习试题docdoc
利用均值不等式求最值的方法
均值不等式abab（a0，b0，当且仅当a＝b时等号成立）是一个重要的不等式，利用它
2
可以求解函数最值问题。
对于有些题目，可以直接利用公式求解。
但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。
下面是一些常用的变形方法。
一、配凑
1.凑系数
例1.当0
x
4时，求y
x（8
2x）
的最大值。
解析：
由
0
x
4
知，8
2x0，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个
式子积的形式，但其和不是定值。
注意到
2x（8
2x）
8为定值，故只需将y
x（82x）凑上一个系
数即可。
yx（8
2x）
1
·
2x）]
1
（
2x
82x
）
2
8
2
[2x（8
2
2
当且仅当
2x
8
2x，即x＝2时取等号。
所以当x＝2时，y
x（8
2x）的最大值为8。
评注：
本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
2.凑项
例2.
已知x
5，求函数
f（x）
4
x2
1
的最大值。
4
4x
5
1
解析：
由题意知4x
5
0
，首先要调整符号，又（4x
2）·
不是定值，故需对4x
2进行凑
4x
5
项才能得到定值。
∵
x
5
，
x
4
5
4
0
∴f（x）4x
2
1
（54x
1
2（54x）
·
1
5
）3
3231
4x
5
4x
5
4x
当且仅当54
x
1
，即x
1
时等号成立。
5
4x
评注：
本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
3.分离
例3.
求y
x2
7x10（x≠1）的值域。
x1
解析：
本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。
y
x2
7x10
（x1）2
5（x1）4
（x
1）
4
x
1
x
1
5
x
1
当x
1
0
，即x
1时
y
2
（x
4
1）·
59（当且仅当x＝1时取“＝”号）。
x
1
当x
1
0，即x
1时
y
5
2
（x
1）·
4
时取“＝”号）。
1（当且仅当x＝－3
x1
∴y
x2
7x
10
（x≠－1）的值域为（
，1]
[9，
）。
x1
评注：
分式函数求最值，通常化成
ymg（x）
A
0），g（x）恒正或恒负的形式，
B（A0，m
g（x）
然后运用均值不等式来求最值。
二、整体代换
例4.
已知a
0，b
0，a
2b
1，求t
1
1的最小值。
解法1：
不妨将1
1
a
b
乘以1，而1
用a＋2b
代换。
a
b
（
1
1
）·1
（
1
1
）·（a
2b）
a
b
a
b
1
2b
a
2
a
b
3
2b
a
a
b
322b·aab
322
当且仅当2b
a
2b
a
a
21
时取等号，由a
b
，得
2
a
b
b
a
2b1
1
2
a
2
1
时，t
1
1的最小值为32
2。
即
1
2
b
a
b
2
解法2：
将1
1
分子中的
1用a
2b代换。
a
b
a
2b
a2b
2b
a
a
1
a
2
b
b
3
2b
a
2
2
a
3
b
评注：
本题巧妙运用“
1”的代换，得到t3
2b
a，而2b与a的积为定值，即可用均值不等式
1
1的最小值。
a
b
ab
求得t
a
b
三、换元
例5.
求函数y
x
2的最大值。
2x
5
解析：
变量代换，令
t
x2，则xt2
2（t
0），则y
t
1
2t
2
当t＝0时，y＝0
当t
0时，y
1
1
1
2
22t·1
4
2t
t
t
当且仅当2
1
t
2时取等号。
t
，即
2
t
故x
3时，ymax
2。
2
4
评注：
本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。
四、取平方
例6.
求函数y
2x1
52x（1
x
5）的最大值。
2
2
解析：
注意到2x
1与5
2x的和为定值。
y2
（2x1
52x）2
4
2（2x
1）（5
2x）
4
（2x1）
（5
2x）8
又y0
，所以0
y
2
2
当且仅当
2x1
52x
，即x
3时取等号。
2
故ymax22。
评注：
本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。
总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。
［练一练］
1.若0x2，求yx（63x）的最大值。
1
2.
求函数y
x
x（x
3）的最小值。
3
3.
求函数y
x2
8
1）的最小值。
x
（x
1
4.
已知x
0，y
0，且
1
1
9，求x
y的最小值。
x
y
参考答案：
1.
3
2.5
3.8
4.
4
9
新课标人教A版高中数学必修五典题精讲（3.4基本不等式）
典题精讲
例1
（1）已知0＜x＜1，求函数y=x（1-3x）的最大值;
3
（2）求函数y=x+1的值域.
x
思路分析：
（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，
可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数；
（2）
中，未指出x＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分
x＞0与x＜0讨论.
（1）解法一：
∵0＜x＜1,∴1-3x＞0.
1
3
1
3x
（1
3x）
1
1
1
［
2
，当且仅当
3x=1-3x，即x=
时，等号成立.∴x=
时，
∴y=x（1-3x）=
·3x（1-3x）≤
2
］=
12
6
6
3
1
3
函数取得最大值
.
12
解法二：
∵0＜x＜1
∴
1
-x＞0.
3
3
1
x
x
∴y=x（1-3x）=3x（
1
3
2
1
x=
1
1
时，等号成立.
］
，当且仅当
-x）≤3［
2
=
12
-x,即x=
3
3
6
∴x=1时，函数取得最大值
1
.
6
12
（2）解：
当x＞0时，由基本不等式，得
y=x+
1
≥2x
1
=2，当且仅当x=1时，等号成立.
xx
当x＜0时，y=x+1
=-［（-x）+
1
］.
x
（x）
1
∵-x＞0,∴（-x）+
（x）
≥2,当且仅当-x=
1
即x=-1时，等号成立.
x
∴y=x+1≤-2.
x
综上,可知函数y=x+1的值域为（-∞,-2］∪［2,+∞）.
x
绿色通道：
利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备.
变式训练1当x＞-1时，求f（x）=x+1的最小值.
x1
思路分析：
x＞-1x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与1的积为常数.
x1
解：
∵x＞-1,∴x+1＞0.
1
1
-1≥2（x1）
1
∴f（x）=x+
=x+1+
-1=1.
x1
x1
（x
1）
当且仅当x+1=
1
即x=0
时,取得等号.
x1
∴f（x）min=1.
变式训练
2求函数y=x4
3x2
3的最小值.
x2
1
思路分析：
从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求
解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开.
解：
令t=x2+1，则t≥1且x2=t-1.
∴y=x4
3x2
3=（t1）2
3（t1）3
t2
t1
t
11.
x2
1
t
t
t
∵t≥1,∴t+1≥2t
1
=2,当且仅当t=
1
即t=1时，等号成立.
t
t
t
∴当x=0时，函数取得最小值
3.
例2已知x＞0,y＞0，且1+9=1，求x+y的最小值.
xy
思路分析：
要求x+y的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会.
解法一：
利用“1的代换”,
19
∵+=1,
xy
∴x+y=（x+y）·（1+9）=10+y9x.
xyxy
∵x＞0,y＞0,∴y
9x
≥2
y
9x
=6.
x
y
x
y
当且仅当y9x
，即y=3x
时，取等号.
xy
又1+9=1,∴x=4,y=12.
xy
∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.
解法二：
由1
+
9
=1，得x=
y
.
x
y
y
9
∵x＞0,y＞0,∴y＞9.
x+y=
y
y9
9
9
9
+y=y+
y
=y+
+1=（y-9）+
+10.
y
9
9
y9
y9
∵y＞9,∴y-9＞0.
∴y
9
9
≥2
（y9）
9
=6.
y
9
y
9
当且仅当
9
，即y=12时，取得等号，此时
x=4.∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值
16.解法三：
由
y-9=
y
9
1
9
+
=1，得y+9x=xy,
x
y
∴（x-1）（y-9）=9.
∴x+y=10+（x-1）+（y-9）≥10+2
（x1）（y
9）=16,
当且仅当x-1=y-9
时取得等号.又1
+
9
=1,
x
y
∴x=4,y=12.
∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.
绿色通道：
本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足
的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察
学会变形，另外解法二，通过消元
化二元问题为一元问
题，要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响
.
黑色陷阱：
本题容易犯这样的错误：
1+9≥29①,即
6
≤1,∴xy≥6.
xyxy
xy
∴x+y≥2xy≥2×6=12②.∴x+y的最小值是12.
产生不同结果的原因是不等式①等号成立的条件是1=9，不等式②等号成立的条件是x=y.在同一个题目
xy
中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论.
变式训练已知正数a,b,x,y满足a+b=10,a
b=1，x+y的最小值为
18，求a,b的值.
x
y
思路分析：
本题属于“1的”代换问题.
解：
x+y=（x+y）（a
b
）=a+bx
ay+b=10+
bx
ay.
x
y
y
x
y
x
∵x,y＞0,a,b＞0，
∴x+y≥10+2ab=18，即ab=4.
又a+b=10，
a
2,
a
8,
∴
8
或
2.
b
b
例3求f（x）=3+lgx+
4的最小值（0＜x＜1）.
lgx
思路分析：
∵0＜x＜1,
∴lgx＜0,4＜0不满足各项必须是正数这一条件，不能直接应用基本不等式，正确的处理方法是加上负
lgx
号变正数.
解：
∵0＜x＜1,∴lgx＜0,4＜0.∴-4＞0.
lgx
lgx
∴（-lgx）+（-
4
）≥2（
lgx）（
4）=4.
lgx
lgx
∴lgx+4
≤-4.∴f（x）=3+lgx+
4≤3-4=-1.
lgx
lgx
当且仅当lgx=
4
即x=
1
时取得等号.
lgx
100
则有f（x）=3+lgx+
4
（0＜x＜1）的最小值为-1.
lgx
黑色陷阱：
本题容易忽略0＜x＜1这一个条件.
变式训练
1已知x＜5
，求函数y=4x-2+
1
的最大值.
4
4x
5
思路分析：
求和的最值，应凑积为定值.要注意条件x＜
解：
∵x＜5,∴4x-5＜0.
4
11
y=4x-5++3=-［（5-4x）+］+3
5
4
，则4x-5＜0.
4x554x
≤-2（54x）
1
+3=-2+3=1.
5
4x
当且仅当5-4x=
1
即x=1时等号成立.
4x
5
所以当x=1时，函数的最大值是
1.
变式训练
2当x＜3时，求函数y=x+
8
3
的最大值.
2
2x
思路分析：
本题是求两个式子和的最大值
但是x·8
并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一
1（2x-3）+
8
2x
3
3
3
2x
8
3
些技巧对原式变形
.可以变为y=
+
=-（
）+
再求最值.
2
2x
3
2
23
2x
2
解：
y=1（2x-3）+
8
3
+3=-（3
2x
3
8
）+3，
2
2x
2
2
2x
2
∵当x＜3时，3-2x＞0，
2
∴32x
8
≥2
3
2x
8
=4，当且仅当
32x
8
，即x=-
1时取等号.
2
32x
2
32x
2
32x
2
于是y≤-4+3
=
5
，故函数有最大值
5
.
2
2
2
例4如图3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成
.
图3-4-1
（1）现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
（2）若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？
思路分析：
设每间虎笼长为
xm，宽为ym，则
（1）是在4x+6y=36的前提下求xy的最大值；而
（2）则是在
xy=24的前提下来求4x+6y
的最小值.
解：
（1）设每间虎笼长为
xm，宽为ym，则由条件,知4x+6y=36，即2x+3y=18.
设每间虎笼的面积为
S，则S=xy.
方法一：
由于2x+3y≥22x3y=2
6xy,
∴26xy≤18,得xy≤27，即S≤27
.
2
2
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