矢量基本概念讲解实用doc.docx

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矢量基本概念讲解实用doc

（一）矢量基本概念

定义既有大小又有方向的量称为矢量（或向量）。

表示法

定义有向线段的长度，称为向量的模（或向量的长度），记做AB，a。

特殊的向量

零矢量：

长度为0的向量。

零向量的方向是不确定的。

单位矢量：

长度为1的矢量。

向量之间的关系

两矢量相等：

长度相等，方向相同，与起点无关。

反矢量：

长度相同，方向相反的矢量。

共线矢量：

平行于同一直线的一组矢量。

共面矢量：

平行于同一平面的一组矢量。

关于向量之间的关系，有下面结论：

零矢量与共线（共面）的矢量组均共线（共面）；

共线矢量必共面；

两矢量必共面；

三矢量中若有两矢量共线，则这三矢量一定共面。

（二）矢量的運算

（一）矢量的加法

矢量的和（三角形法则）

设已知矢量a，b，以空间任意一点O为始点接连作矢量OAa，AB

b得一折线OAB，从折线的端

点O到另一端点B的矢量OBc，叫做两矢量a与b的和，记做ca

b。

矢量的和（平行四边形法则）

如图示，有cab。

一般地：

矢量的加法还满足多边形法则：

OAnOA1A1A2...An1An

运算规律：

1）1）交换律：

2）2）结合律：

矢量的差

abba；

（ab）ca（bc）。

若bca，则称c为矢量a与b的差，并记作cab。

由定义，得矢量减法的几何作图法：

矢量加法的性质

（1）a

b

a（b）

（2）|ab||a||b|

（3）|ab||a||b|

（4）|a

a

a

n

||a||a|

|a|

1

2

1

2

n

（二）矢量的数乘

定义（数量乘矢量）

实数

与矢量a的乘积

a是一个矢量，

（1）

（1）

其模为|

a||||a|；

（2）

（2）其方向由下列规则决定：

当

或a0时，是零向量，方向不定。

定义

如果a0与a同向，而且为单位向量，那么称

0

0

a

由定义，a|a|a

a

|a|

0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反；当0

a0为与a同向的单位向量，或a的单位向量。

数量乘法的运算规律

1）结合律：

（a）（）a

2）第一分配律：

3）第二分配律：

（）aaa

（ab）ab

由矢量加法与数乘运算规律知，对于矢量也可以象实数及多项式那样去运算。

例如：

1（1a

1b）2（2a

2b）

11a

11b

22a

22b

（11

22）a

（11

22）b

（三）两矢量的数性积

一、一、数性积的定义与性质

定义

|a|

|b|Cos

（a,b），叫做矢量a与b的数性积（也称内积或点积），记为ab。

即：

ab|a||b|Cos（a,b）。

性质

1）a

b

|a|

|b|Cos

（a,b）=|a|Prjab|b|Prjba。

2）a

a

|a|2，叫做a的数量乘方，并记作

a2。

3）a

b

ab0。

4）Cos

ab

。

（a,b）

|a||b|

矢量数性积的运算规律

1）

1）

交换律：

ab

ba。

2）

2）

结合律：

（

a）

b

（ab）

a（b）。

3）

3）

分配律：

（ab）c

ac

bc。

同矢量的加，减，数乘运算一样，矢量的数性积运算，也可以象多项式的乘法那样去展开。

二、矢量的坐标表示矢量的数性积

定理

在右手系直角坐标系中，

a

（x1,y1,z1），b

（x2,y2,z2），则ab

x1x2y1y2

z1z2

。

证明：

ab

（x1iy1j

z1k）

（x2i

y2j

z2k）

x1x2i

i

x1y2i

j

z1z2k

k

又ii

jj

kk

1，ij

ik

jk0，

abx1x2

y1y2

z1z2。

三、矢量的方向角与方向余弦：

定义

矢量与坐标轴所成的角叫做矢量的方向角，记为

。

方向角的余弦叫做矢量的方向余弦，记为

Cos,Cos

Cos。

定理

若

a

（x,y,z）

，

则

C

o

x

x

，

y

y

，

s

x2

y2

Cos

x2

y2

|a|

z2

|a|

z2

Cos

z

z

。

|a|

x2

y2

z2

证明：

ai

|a|Cos，且a

ix，|a|Cos

x

Cos

x

。

|a|

同理可证另两个结论。

推论

0

Cos,Cos

Cos

Cos2

Cos2

Cos2

1。

a

四、两矢量的夹角

若a

（x1,y1,z1），b

ab

x1x2

y1y2

z1z2

（x2,y2,z2），则Cos（a,b）

x12

y12

z12

x22

y22

z22

|a||b|

推论

ab

ab0

x1x2y1y2z1z20。

（四）两矢量的矢性积

一、一、

矢量积的定义与运算性质

定义

两个矢量a与b的矢性积（又叫外积，叉积）

a

b是这样一个矢量：

（1）

（1）

模长为|a

b||a|

|b|Sin

（a,b）；

（2）方向为：

与

a,b均垂直且使（a,b,a

b）成

右手系。

性质

1）

1）

若a,b中有一个为

0，则a

b

0。

2）

2）

ab0

a,b共线{或平行}。

3）

3）

几何意义：

|ab|表示以a,b为邻边的平行四边形的面积。

矢性积的运算规律

1）

1）

反交换律：

ab=

b

a。

2）

2）

结合律：

（a

b）

（

a）

b

a

（

b）。

3）

3）

分配律：

（a

b）

c

ac

b

c

c（ab）c

acb。

同矢量的加，减，数乘运算一样，矢量的数性积运算，也可以象多项式的乘法那样去展开。

二、二、坐标计算矢量的矢性积

定理

在右手系直角坐标系中，

a（x1,y1,z1），b（x2,y2,z2），

i

j

k

则abx1

y1

z1

（y1z2y2z1）i（z1x2z2x1）j（x1y2x2y1）k。

x2

y2

z2

证明：

ab（x1iy1

又iijj

ab（y1z2

jz1k）（x2ikk0，i

y2z1）i（z1x2

y2jz2k）x1x2iijk,jki,kz2x1）j（x1y2x2y1

x1y2ijz1z2kk

ij，

）k，用行列式可记成

ijk

abx1y1z1，便于记忆。

x2y2z2

（五）矢量的混合积

定义

（ab）c称为矢量的混合积，也可记为abc或（a,b,c）或（abc）。

（三）矢量的线性关系与矢量的分解

定义

由矢量a1,a2,

an

与数量1,

2,

n所组成的矢量a

1a1

2a2

nan

，叫做矢量a1,a2,

an的线

性组合。

或称a可以用矢量a1,a2,

an线性表示。

或称a可以分解成矢量a1,a2,

an的线性组合。

定义（线性相关）

对于n（n1）个矢量a1,a2,,an

，若存在不全为零的实数

1,2,

n，使得

1a1

2a2

nan

0，则

称矢量a1,a2,

an

线性相关。

不是线性相关的矢量叫做线性无关，即矢量a1,a2,,an

线性无关：

1a1

2a2

nan

0

1

2

n

0。

定理1

在n

2时，矢量a1,a2,

an

线性相关的充要条件是其中至少有一个矢量是其余矢量的线性组合。

证明：

设矢量a

a

,a

线性相关，则存在不全为零的实数

1,

2,,n使得

1

2

n

1a1

2a2

nan

0，且

1,

2,,

n中至少有一个不等于

0，不妨设

n

0，则

an

1a1

2a2

n1an1；

n

n

n

反过来，设矢量a1,a2,

an中有一个矢量，不妨设为

an，它是其余矢量的线性组合，即

an

1a1

2a2

n1an1

，即

1a1

2a2

n1an

1

（1）an

0。

因为数

1,2,,n

1

，-1不

全为0，所以矢量a1,a2,

an

线性相关。

显然，如果一组矢量中的部分矢量线性相关，那么这一组矢量就线性相关。

如果一组矢量中含有零矢量，那么这一组矢量就线性相关。

定理2

若e

0，则矢量r与e共线

r

xe且系数x被e,r唯一确定。

证明：

若r

xe，由定义知，矢量

r与e共线。

反过来，若矢量r与e共线，则一定存在实数

x，使得r

xe。

如果r

0，那么r

0e，即x

0。

最后证明唯一性。

若

r

xe

x'e，则（x

x'）e0，而e

0，所以x'x。

利用矢量间的线性相关的概念，可推广到更一般的形式：

定理2’

两矢量r与e共线

r,e线性相关。

定理3

若矢量e1,e2不共线，则矢量r

与e1,e2共面

r

xe1ye2，且系数x,y被e1,e2,r唯一确定。

证明省略。

推广到更一般的形式：

定理3’

三矢量r与e1,e2共面e1,e2,r线性相关。

定理4

若矢量e1,e2,e3不共面，则空间任意矢量

r均可以由矢量

e1,e2,e3线性表示，即r

xe1ye2ze3，且系数

x,y,z被e1,e2,e3，r唯一确定。

证明省略。

推广到更一般的形式：

定理4’

空间任意四个或四个以上的矢量总是线性相关的。

标架与坐标

一、一、坐标的定义

在第四节，曾经有个结论：

若矢量e1,e2,e3不共面，则空间任意矢量

r均可以由矢量

e1,e2,e3线性表示，即r

xe1ye2ze3，且系数

x,y,z被r，e1,e2,e3唯一确定。

定义

O;e1,e2,e3叫做空间中的一个标架，称作仿射标架。

若e1,e2,e3是单位矢量，则O;e1,e2,e3叫做笛卡儿标架。

若e1,e2,e3是相互垂直的笛卡儿标架，则叫做笛卡儿直角标架，简称直角标架。

定义（坐标）

取定标架

O;e1,e2,e3

，若rxe1ye2

ze3，称（x,y,z）为r

关于标架O;e1,e2,e3

的坐标。

取定标架

O;e1,e2,e3

，P为任意一点，OP称为点P的径矢，则OP关于标架的坐标

x,y,z称为点P的坐标。

由标架决定坐标系，则由仿射标架决定的坐标系叫做仿射坐标系，

今后我们用的通常是空间右手直角坐标系，

并记i,j,k为特定的坐标矢量。

O称为坐标原点，Ox,Oy,Oz称为坐标轴，xOy,xOz,yOz称为坐标面。

三个坐标面把整个空间分成八个部分，称为八个卦限。

二、二、

坐标表示矢量的线性运算

1．1．矢量的坐标等于其终点坐标减去其起点坐标。

已知A（x1,y1,z1）,B（x2,y2,z2），证明AB（x2

x1,y2

y1,z2

z1）。

证明：

由定义，OA（x1,y1,z1）,OB

（x2,y2,z2），

ABOBOA（x2x1,y2

y1,z2

z1）。

2．2．

若a（x1,y1,z1）,b

（x2,y2,z2）

，则

ba（x2x1,y2y1,z2z1），

b

a

（x2

x1,y2

y1,z2

z1）

，

a

x,y

z

。

1

1

1

根据坐标的定义既可证明。

x1

y1

z1

3．3．两非零矢量a

（x1,y1,z1）,b

（x2,y2,z2），则a,b共线

x2

y2

z2

。

x2

x1

y2

y1

z2

z1

推论：

三点A（x1,y1,z1）,B（x2,y2,z2）,C（x3,y3,z3）共线

x3

x1

y3

y2

z3

z1。

x1

y1

z1

1

x2

y2

z2

1

0

x3

y3

z3

1

4．4．三非零矢量

a

（x

y,z）,b（x,y

z

）,c（x

y,z

）

，则a,b,c共面

x4

y4

z4

1

。

1

1

1

22

2

3

33

证明：

共面

a

b

c

0

系数行列式D

0。

5．5．线段的定比分点坐标

定义

对有向线段P1P2

（P1

P2），若存在点P满足PP

PP

，则称点

P分线段

PP

成定比

。

1

2

1

2

定理

设

P（x

y

z）,P（x

y

z

）

，则分有向线段

12

的分点P的坐标是

11

1

1

22

2

2

PP成定比

x

x1

x2,y

y1

y2,z

z1

z2

1

1

1

。

x

x1

（x2

x）

y

y1

（y2

y）

证明：

1

2

z

z

（z

z）

，解出

x,y,z

即得。

PP

PP，用坐标表示，即

1

2

例

对于平行四边形ABCD，求A,D,AD,DB在仿射标架[C;AC,BD]中的坐标。

解：

作图如下

A（1,0）D（

1,1）AD

（1,1）B

（1,

1）DB

（0,1）

2

2