二、用树状图或列表法求概率
1、频率与概率的含义：
在实验中，每个对象出现的频繁程度不同，每个对象出现的次数叫频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率，即频率=频数／总次数。
把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率。
注：
频率是指在一次实验中某个对象出现的次数与总次数的比，概率是通过大量重复实验中频率的稳定性而得到的一个0～1之间的常数，它反映了事件发生可能性的大小。
2、利用稳定的频率估计某一事件发生的概率
在进行试验时，当试验的次数很大时，某个事件发生的频率稳定在相应的概率附近，可以通过多次试验用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。
注：
可以用稳定的频率估计某一事件发生的概率，但不能说频率等于概率，其区别在于：
频率是通过多次试验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性。
试验时应主要试验的随机性，要保证足够多的试验次数，随着试验次数的增加，频率的波动就会越小，即趋于相对稳定状态，得到的概率仅仅是估计值，而不是准确值。
3、用树状图或列表法求概率
定义：
当出现的结果的可能性相同时，将所有结果展示出来，符合条件的结果与所有结果的比值即为这一事件的概率。
列表法求概率：
用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
列表法的应用场合：
当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
一个因素作为行，另一个因素作为列，列出表格。
树状图法求概率：
就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
运用树状图法求概率的条件：
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。
注：
利用树状图或列表法可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果，能较方面的求出某些事件的概率。
当设及两步试验的随即事件的概率时，可用列表法或树状图法；当设及两步以上试验的随即事件的概率时，用树状图法求概率。
用树状图法或列表法求概率时可能出现的结果为有限个；各种结果出现的可能性相同。
三、利用频率估计概率
1、利用频率估计概率
在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。
2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。
必须设计出合乎题意的方案，常有摸球试验和用计算器产生随机数。
模拟实验具有多样性：
同一试验有各种各样的替代物。
模拟实验的原则：
替代试验必须在同等条件在进行。
用试验去估计随机事件发生的概率时应尽可能多的增加试验次数，当试验次数很大时，结果较为准确。
摸球试验中应记住每次摸出球后必须放回。
不是所有试验都能找到替代物。
3、随机数
在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。
把这些随机产生的数据称为随机数。
4、在实验中，每个对象出现的频繁程度不同，每个对象出现的次数叫频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率，即频率=频数／总次数
注：
频率是指在一次实验中某个对象出现的次数与总次数的比，概率是通过大量重复实验中频率的稳定性而得到的一个0～1之间的常数，它反映了事件发生可能性的大小。
对于本章的学习应注意以下几点：
1.体会用事件发生的频率来估计事件发生的概率的大小；
2.用列表或数状图的方法求概率时要注意每一种可能出现结果的等可能性；
3.对于通过实验的方法估计一个事件发生的概率有难度时，通常也采用模拟实验的方法来估计该事件发生的概率，如学会用计算器产生随机数来模拟实验等
专题训练：
一、选择题
1、（2013•绵阳）“服务他人，提升自我”，七一学校积极开展志愿者服务活动，来自初三的5名同学（3男两女）成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，则恰好是一男一女的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
2、（2014潍坊）右图是某市7月1日至10日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择7月1日至7月8日中的某一天到达该市，并连续停留3天．则此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量优良的概率是（）
A、
B、
C、
D、
3、（2016济南）某学校在八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程，若小波和小睿两名同学每人随机选择其中一门课程，则小波和和小睿选到同一课程的概率是（）
A．
B．
C．
D．
一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，摸到黄球的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
4、（2014•攀枝花）下列说法正确的是（ ）
A．
“打开电视机，它正在播广告”是必然事件
B．
“一个不透明的袋中装有8个红球，从中摸出一个球是红球”是随机事件
C．
为了了解我市今年夏季家电市场中空调的质量，不宜采用普查的调查方式进行
D．
销售某种品牌的凉鞋，销售商最感兴趣的是该品牌凉鞋的尺码的平均数
5、（2016泰安）在﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取两数m，n，则二次函数y=（x﹣m）2+n的顶点在坐标轴上的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
画树状图得：
6、（2014•玉林）一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
列表法与树状图法．
分析：
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到白球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答：
解：
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况，
∴两次都摸到白球的概率是：
=
．
故答案为：
C．
7、如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF、GH过点O，且点E、H在边AB上，点G、F在边CD上，向▱ABCD内部投掷飞镖（每次均落在▱ABCD内，且落在▱ABCD内任何一点的机会均等）恰好落在阴影区域的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
8、甲、乙、丙三位同学打乒乓球，想通过“手心手背”游戏来决定其中哪两个人先打，规则如下：
三个人同时各用一只手随机出示手心或手背，若只有两个人手势相同（都是手心或都是手背），则这两人先打，若三人手势相同，则重新决定。
那么通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的概率是______.
分别用A，B表示手心，手背。
画树状图得：
∵共有8种等可能的结果，通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的有4种情况，
∴通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的概率是：
9、如图，A. B是数轴上两点。
在线段AB上任取一点C，则点C到表示−1的点的距离不大于2） 的概率是（
A.
，B.
，C.
，D.
45
分析：
如图，C1与C2到表示−1的点的距离均不大于2，根据概率公式
故选：
D.
10、所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调査，并将调査结果分成四类，A：
特别好；B：
好；C：
一般；D：
较差；并将调査结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，张老师一共调査了名同学，其中C类女生有名，
D类男生有名；
（2）将上面的条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，张老师想从被调査的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
11、甲、乙两人用如图所示的两个转盘做游戏，转动两个转盘各1次
（1）若两次数字之差的绝对值为0，1或2，则甲胜，否则乙胜。
这个游戏对双方公平吗？
为什么？
（2）若两次数字和是2的倍数，则甲胜，而若和是3的倍数或5的倍数，则乙胜。
这个游戏对双方公平吗？
为什么？
12、（2014山东省德州市，19，8分）2014年5月，我市某中学举行了“中国梦·校园好少年”演讲比赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图。
根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）参加演讲比赛的学生共有人，并把条形图补充完整；
（2）扇形统计图中，m＝，n＝；C等级对应的圆心角为度；
（3）学校欲从获A等级的学生中随机选取2人，参加市举办的演讲比赛，请利用列表法或树形图法，求获A等级的小明参加市比赛的概率.
13、（2016丹东）甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．
（1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；
（2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？
请用概率的知识加以解释．
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】
（1）利用列表法得到所有可能出现的结果，根据概率公式计算即可；
（2）分别求出甲、乙获胜的概率，比较即可．
14、（2015•济南）八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”、“戏剧”、“散文”、“其他”
四个类别，每位同学仅选一项，根
据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．根据图表提供的信息，回答下列问题：
类别
频数（人数）
频率
小说
0.5
戏剧
4
散文
10
0.25
其他
6
合计
m
1
（1）计算m= ；
（2）在扇形统计图中，“其他”类所占的百分比为 ；
（3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从中任意选出2名同学参加学校的戏剧社团，请用画树状图或列表的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率．
考点：
列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图．
分析：
（1）用散文的频数除以其频率即可求得样本总数；
（2）根据其他类的频数和总人数求得其百分比即可；
（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是丙与乙的情况，即可确定出所求概率．
15、（2016菏泽）锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关，第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题锐锐都不会，不过锐锐还有两个“求助”可以用（使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
（1）如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，那么锐锐通关的概率是 ．
（2）如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，那么锐锐通关的概率是 ．
（3）如果锐锐将每道题各用一次“求助”，请用树状图或者列表来分析他顺序通关的概率．
【分析】
（1）锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，第一道肯定能对，第二道对的概率为
，即可得出结果；
（2）由题意得出第一道题对的概率为
，第二道题对的概率为
，即可得出结果；
（3）用树状图得出共有6种等可能的结果，锐锐顺利通关的只有1种情况，即可得出结果．
16、（2016东营）“校园安全”受到全社会的广泛关注，东营市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 60 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 90° ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数；
（4）若从对校园安全知识达到了“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
17、（2016德州）在甲、乙两名同学中选拔一人参加“中华好诗词”大赛，在相同的测试条件下，两人5次测试成绩（单位：
分）如下：
甲：
79，86，82，85，83
乙：
88，79，90，81，72．
回答下列问题：
（1）甲成绩的平均数是 83 ，乙成绩的平均数是 82 ；
（2）经计算知S甲2=6，S乙2=42．你认为选拔谁参加比赛更合适，说明理由；
（3）如果从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一次成绩进行分析，求抽到的两个人的成绩都大于80分的概率．
【考点】列表法与树状图法；算术平均数；方差．
【分析】
（1）根据平均数的定义可列式计算；
（2）由平均数所表示的平均水平及方差所衡量的成绩稳定性判断可知；
（3）列表表示出所有等可能的结果，找到能使该事件发生的结果数，根据概率公式计算可得．
18、（2016潍坊）今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，绘制了如图尚不完整的统计图表．
评估成绩n（分）
评定等级
频数
90≤n≤100
A
2
80≤n＜90
B
70≤n＜80
C
15
n＜70
D
6
根据以上信息解答下列问题：
（1）求m的值；
（2）在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小；（结果用度、分、秒表示）
（3）从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是A等级的概率．
【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图．
【分析】
（1）由C等级频数为15，占60%，即可求得m的值；
（2）首先求得B等级的频数，继而求得B等级所在扇形的圆心角的大小；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其中至少有一家是A等级的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：
（1）∵C等级频数为15，占60%，
∴m=15÷60%=25；
（2）∵B等级频数为：
25﹣2﹣15﹣6=2，
∴B等级所在扇形的圆心角的大小为：
×360°=28.8°=28°48′；
（3）评估成绩不少于80分的连锁店中，有两家等级为A，有两家等级为B，画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，其中至少有一家是A等级的有10种情况，
∴其中至少有一家是A等级的概率为：
=
．
19、（2016•威海）一个盒子里有标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，这些小球除标号数字外都相同．
（1）从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的小球的概率；
（2）甲、乙两人用着六个小球玩摸球游戏，规则是：
甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平．
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】
（1）直接利用概率公式进而得出答案；
（2）画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的情况数，即可求出所求的概率．
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