常用的数量关系式.docx
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常用的数量关系式
常用单位换算
长度单位换算
1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1厘米=10毫米
面积单位换算
1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米
体（容）积单位换算
1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方分米=1升
1立方厘米=1毫升 1立方米=1000升
重量单位换算
1吨=1000千克 1千克=1000克 1千克=1公斤
人民币单位换算
1元=10角 1角=10分 1元=100分
时间单位换算
1世纪=100年 1年=12月 1日=24小时1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒
1世纪=100年 *平年1年=365天 *闰年一年=366天
一、三、五、七、八、十、十二是大月 大月有31天
四、六、九、十一是小月小月 小月有30天
平年2月有28天 闰年2月有29天
基本概念
第一章数和数的运算
自然数是整数的一部分，0也是自然数。
每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
这样的计数法叫做十进制计数法。
数位 计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。
数的整除
A:
整除：
整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
练习举例：
除数能除尽被除数的有（12÷3=44÷8=0.52÷0.1=203.2÷0.8=4），；除数能整除被除数的有（12÷3=4）。
能除尽的不一定都能整除，但能整除的一定能除尽。
B:
约数、倍数：
如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。
倍数和约数是相互依存的。
错误说法举例：
1、因为15÷5=3，所以15是倍数，5是约数。
（缺少相互依存）
2、因为4.6÷2=2.3，所以4.6是2的倍数，2是4.6的倍数。
（没在整除范围内）
注意：
约数和倍数是互相依存的，约数和倍数必须以整除为前提。
正确说法举例：
因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。
例如：
10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
3的倍数有：
3、6、9、12……其中最小的倍数是3，没有最大的倍数。
C:
公倍数、最小公倍数：
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
【2，4】=4
如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
求几个数的最小公倍数的方法是：
先用这几个数（或其中的部分数）的公约数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。
D:
公约数、最大公约数：
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。
（2，3）=1
其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，
求几个数的最大公约数的方法是：
先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只有公约数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数。
E:
质数：
一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
F:
合数：
一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。
1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。
如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。
G:
质因数：
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5叫做15的质因数。
H:
分解质因数：
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
分解质因数的方法：
把一个合数分解质因数，通常用短除法。
先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。
例如：
24=2×2×2×3分解质因数一般要从小往大排。
I:
互质数：
公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：
1和任何自然数互质。
相邻的两个自然数互质。
两个不同的质数互质。
当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。
成为互质关系的两个数：
1和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质； 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质。
两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。
J:
能被2、3、5、9整除的数的特征：
个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，
个位上是0或5的数，都能被5整除
一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，
一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。
能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。
K:
奇数、偶数：
能被2整除的数叫做偶数。
不能被2整除的数叫做奇数。
0也是偶数。
自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。
L:
习题举例：
1.判断下面的说法是不是正确，并说明理由。
（1）一个数的约数都比这个数的倍数小。
错 （3的约数有3，3的倍数也有3，3=3）
（2）1是所有自然数的公约数。
对 （在小学阶段不研究0）
（3）所有的自然数不是质数就是合数。
错（1既不是质数也不是合数）
（4）所有的自然数不是偶数就是奇数。
对（0是最小的偶数）
（5）含有约数2的数一定是偶数。
对（能被2整除的数就叫偶数）
（6）所有的奇数都是质数，所有的偶数都是合数。
错（9是合数但不是质数）
（7）有公约数1的两个数叫做互质数。
错（应该是只有）
2.按要求写出两个互质的数。
（1）两个数都是质数
（2）两个数都是合数
（3）一个数是质数，一个数是合数
3.数学书12册76页1——7题
（二）小数
一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几…… 在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。
小数的分类
① 纯小数：
整数部分是零的小数，叫做纯小数。
例如：
0.25
②带小数：
整数部分不是零的小数，叫做带小数。
例如：
3.25
③有限小数：
小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。
例如：
41.7、④无限小数：
小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。
例如：
4.33……3.1415926……
⑤无限不循环小数：
一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。
例如：
∏
⑥循环小数：
一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。
例如：
3.555……
一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。
例如：
3.99……的循环节是“9”，0.5454……的循环节是“54”。
⑦纯循环小数：
循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。
例如：
3.111……0.5656……
⑧混循环小数：
循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。
3.1222……0.03333……
（三）分数
把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。
2分数的分类
真分数：
分子比分母小的分数叫做真分数。
真分数小于1。
假分数：
分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。
假分数大于或等于1。
带分数：
假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。
3约分和通分
约分：
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数。
最简分数：
分子分母是互质数的分数。
通分：
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数。
（四）百分数
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。
百分数通常用"%"来表示。
百分号是表示百分数的符号。
二 方法
（一）数的读法和写法
整数的读法：
从高位到低位，一级一级地读。
读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。
每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。
百分数的写法：
百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。
（二）数的改写
一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。
有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。
近似数：
根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。
例如：
1302490015省略亿后面的尾数是13亿。
3.四舍五入法
4.大小比较
比较分数的大小:
分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的数，分母小的分数大。
分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。
（三）数的互化
1.小数化成分数：
原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。
2.分数化成小数：
用分母去除分子。
能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。
3.一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。
4.小数化成百分数：
只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。
5.百分数化成小数：
把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。
6.分数化成百分数：
通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数，百分数保留一位小数。
7.百分数化成小数：
先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。
（四）数的整除
1.把一个合数分解质因数，通常用短除法。
先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。
2.求几个数的最大公约数的方法是：
先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只有公约数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数。
3.求几个数的最小公倍数的方法是：
先用这几个数（或其中的部分数）的公约数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。
4.成为互质关系的两个数：
1和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质； 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质。
（五）约分和通分
约分的方法：
用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。
通分的方法：
先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
三 性质和规律
（一）商不变的规律
（二）小数的性质
（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化
（四）分数的基本性质
（五）分数与除法的关系
四 运算的意义
（一）整数四则运算
在乘法里，0和任何数相乘都得0. 1和任何数相乘都的任何数。
（二）小数四则运算
1.小数加法：
2.小数减法：
3.小数乘法：
4.小数除法：
（三）分数四则运算
1.分数加法：
2.分数减法：
3.分数乘法：
4.乘积是1的两个数叫做互为倒数。
5.分数除法：
（四）运算定律
1.加法交换律：
两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a。
2.加法结合律：
三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即（a+b）+c=a+（b+c）。
3.乘法交换律：
两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a×b=b×a。
4.乘法结合律：
三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即（a×b）×c=a×（b×c）。
5.乘法分配律：
两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即（a+b）×c=a×c+b×c。
6.减法的性质：
从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-（b+c）。
（六）运算顺序
第一级运算：
加法和减法叫做第一级运算。
第二级运算：
乘法和除法叫做第二级运算。
五 应用
（一）整数和小数的应用
应用题解题步骤：
a审题理解题意：
了解应用题的内容，知道应用题的条件和问题。
读题时，不丢字不添字边读边思考，弄明白题中每句话的意思。
也可以复述条件和问题，帮助理解题意。
b选择算法和列式计算：
这是解答应用题的中心工作。
从题目中告诉什么，要求什么着手，逐步根据所给的条件和问题，联系四则运算的含义，分析数量关系，确定算法，进行解答并标明正确的单位名称。
C检验：
就是根据应用题的条件和问题进行检查看所列算式和计算过程是否正确，是否符合题意。
如果发现错误，马上改正。
（7）常见的数量关系：
总价=单价×数量 路程=速度×时间
工作总量=工作时间×工效 总产量=单产量×数量
3典型应用题
（1）平均数问题：
解题关键：
在于确定总数量和与之相对应的总份数。
（2）归一问题：
解题关键：
从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。
例一个织布工人，在七月份织布4774米，照这样计算，织布6930米，需要多少天？
分析：
必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量。
6930÷（4774÷31）=45（天）
（3）归总问题：
例修一条水渠，原计划每天修800米，6天修完。
实际4天修完，每天修了多少米？
分析：
因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度。
所以也把这类应用题叫做“归总问题”。
不同之处是“归一”先求出单一量，再求总量，归总问题是先求出总量，再求单一量。
800×6÷4=1200（米）
（4）和差问题：
已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。
解题关键：
是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和），然后再求另一个数。
解题规律：
（和＋差）÷2=大数 大数－差=小数
（和－差）÷2=小数 和－小数=大数
例某加工厂甲班和乙班共有工人94人，因工作需要临时从乙班调46人到甲班工作，这时乙班比甲班人数少12人，求原来甲班和乙班各有多少人？
分析：
从乙班调46人到甲班，对于总数没有变化，现在把乙数转化成2个乙班，即94－12，由此得到现在的乙班是（94－12）÷2=41（人），乙班在调出46人之前应该为41+46=87（人），甲班为94－87=7（人）
（5）和倍问题：
已知两个数的和及它们之间的倍数关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。
解题关键：
找准标准数（即1倍数）一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标准数。
求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。
根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。
解题规律：
和÷倍数和=标准数 标准数×倍数=另一个数
例:
汽车运输场有大小货车115辆，大货车比小货车的5倍多7辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆？
分析：
大货车比小货车的5倍还多7辆，这7辆也在总数115辆内，为了使总数与（5+1）倍对应，总车辆数应（115-7）辆。
列式为（115-7）÷（5+1）=18（辆），18×5+7=97（辆）
（6）植树问题：
解题关键：
解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。
解题规律：
不封闭
棵树=段数+1 棵树=总路程÷株距+1
株距=总路程÷（棵树-1） 总路程=株距×（棵树-1）
封闭植树
棵树=总路程÷株距 株距=总路程÷棵树 总路程=株距×棵树
例沿公路一旁埋电线杆301根，每相邻的两根的间距是50米。
后来全部改装，只埋了201根。
求改装后每相邻两根的间距。
分析：
本题是沿线段埋电线杆，要把电线杆的根数减掉一。
列式为50×（301-1）÷（201-1）=75（米）
（9）年龄问题：
解题关键：
年龄问题与和差、和倍、差倍问题类似，主要特点是随着时间的变化，年岁不断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改变的，因此，年龄问题是一种“差不变”的问题，解题时，要善于利用差不变的特点。
例父亲48岁，儿子21岁。
问几年前父亲的年龄是儿子的4倍？
分析：
父子的年龄差为48-21=27（岁）。
由于几年前父亲年龄是儿子的4倍，可知父子年龄的倍数差是（4-1）倍。
这样可以算出几年前父子的年龄，从而可以求出几年前父亲的年龄是儿子的4倍。
列式为：
21（48-21）÷（4-1）=12（年）
（10）鸡兔问题：
解题关键：
解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是“鸡”或全是“兔”，然后根据出现的腿数差，可推算出某一种的头数。
解题规律：
（总腿数－鸡腿数×总头数）÷一只鸡兔腿数的差=兔子只数
兔子只数=（总腿数-2×总头数）÷2
如果假设全是兔子，可以有下面的式子：
鸡的只数=（4×总头数-总腿数）÷2
兔的头数=总头数-鸡的只数
例鸡兔同笼共50个头，170条腿。
问鸡兔各有多少只？
兔子只数（170-2×50）÷2=35（只）
鸡的只数50-35=15（只）
（二）分数和百分数的应用
1分数乘法应用题：
是指已知一个数，求它的几分之几是多少的应用题。
特征：
已知单位“1”的量和分率，求与分率所对应的实际数量。
解题关键：
准确判断单位“1”的量。
找准要求问题所对应的分率，然后根据一个数乘分数的意义正确列式。
3分数除法应用题：
特征：
已知一个实际数量和它相对应的分率，求单位“1”的量。
解题关键：
准确判断单位“1”的量把单位“1”的量看成x根据分数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意义列算式，但必须找准和分率相对应的已知实际
数量。
4 出勤率
发芽率=发芽种子数/试验种子数×100%
小麦的出粉率=面粉的重量/小麦的重量×100%
产品的合格率=合格的产品数/产品总数×100%
职工的出勤率=实际出勤人数/应出勤人数×100%
5 工程问题：
是分数应用题的特例，它与整数的工作问题有着密切的联系。
它是探讨工作总量、工作效率和工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题。
解题关键：
把工作总量看作单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后根据题目的具体情况，灵活运用公式。
数量关系式：
工作总量=工作效率×工作时间 工作效率=工作总量÷工作时间
工作时间=工作总量÷工作效率 工作总量÷工作效率和=合作时间
6利息
存入银行的钱叫做本金。
取款时银行多支付的钱叫做利息。
利息与本金的比值叫做利率。
利息=本金×利率×时间
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第三章代数初步知识
一、用字母表示数
1 用字母表示数的意义和作用
用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果。
3用字母表示数的写法
数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“.”，或者省略不写，数字要写在字母的前面。
当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写。
二、列方程解应用题的步骤
1、弄清题意，确定未知数并用x表示；2、找出题中的数量之间的相等关系；
3、列方程，解方程； 4、检查或验算，写出答案。
3、列方程解应用题的方法
*综合法：
从已知到未知。
*分析法：
从未知到已知。
五 比和比例
（3） 求比值和化简比
求比值的方法：
用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。
根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。
它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。
（4）比例尺
图上距离：
实际距离=比例尺
实际距离=图上距离：
比例尺
图上距离=实际距离×比例尺
比例尺分为数值比例尺和线段比例尺。
（5）按比例分配
方法：
首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。
2比例的意义和性质
（1）解比例
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。
求比例中的未知项，叫做解比例。
3正比例和反比例
（1）成正比例的量 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。
用字母表示y/x=k（一定）
（2）成反比例的量
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。
用字母表示x×y=k（一定）
第四章几何的初步知识
一线和角
（1）线
*直线 直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。
* 射线 射线只有一个端点；长度无限。
*线段 线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中，线段为最短。
*平行线 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
两条平行线之间的垂线长度都相等。
*垂线 两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。
从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。
（2）角
角的分类 锐角、直角、钝角、平角、周角。
二平面图形
1长方形特征 对边相等，4个角都是直角的四边形。
有两条对称轴。
2正方形特征：
四条边都相等，四个角都是直角的四边形。
有4条对称轴。
3三角形特征 由三条线段围成的图形。
内角和是180度。
三角形具有稳定性。
三角形有三条高。
三角形按角分为锐角三角形：
三个角都是锐角。
直角三角形：
有一个角是直角。
等腰三角形的两个锐角各为45度，
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